總體分布的正態(tài)性檢驗(yàn)

總體分布的正態(tài)性檢驗(yàn)第一頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第1頁，共35頁。正態(tài)檢驗(yàn)法偏度、峰度檢驗(yàn)法（樣本容量大于100）K-s正態(tài)性檢驗(yàn)Lilliefor正態(tài)性檢驗(yàn)W檢驗(yàn)（2<n≤50）第二頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第2頁，共35頁。（一）偏度、峰度檢驗(yàn)法由于中心極限定理知道，正態(tài)分布隨機(jī)變量是較為廣泛地存在，因此，當(dāng)研究一個(gè)連續(xù)型總體時(shí)候，往往先考察它是否服從正態(tài)分布。上面介紹的擬合檢驗(yàn)法雖是一般方法，但他在檢驗(yàn)正態(tài)時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率較大。下面來介紹“偏度、峰度檢驗(yàn)法”，還有“夏丕羅-威爾克法”也較為有效。第三頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第3頁，共35頁。隨機(jī)變量X的偏度和峰度指的是X的標(biāo)準(zhǔn)化變量的三階矩和四階矩：當(dāng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布時(shí)第四頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第4頁，共35頁。若X服從正態(tài)分布，當(dāng)n充分大時(shí)第五頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第5頁，共35頁。H0為真，當(dāng)n充分大一般說來G1與v1的偏離不應(yīng)該太大，同樣G2與v2的偏離也不應(yīng)該太大。取顯著水平α下，H0的拒絕域?yàn)椋夯驒z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：第六頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第6頁，共35頁。男子的頭顱的最大寬度（mm），141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145例1下面給出了84個(gè)伊特拉斯坎（Etruscan）人數(shù)據(jù)的“頻率直方圖”.現(xiàn)在來畫這些第七頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第7頁，共35頁。解：這里第八頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第8頁，共35頁。計(jì)算樣本中心距：帶入觀察值得第九頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第9頁，共35頁。由拒絕域的公式，所以拒絕域?yàn)椋含F(xiàn)算得：故接收H0。Matlab中計(jì)算命令：skewness(偏度)

kurtosis(峰度)第十頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第10頁，共35頁。用Fn(x)表示樣本量為n的隨機(jī)樣本觀察值的累計(jì)分布函數(shù)，且Fn(x)=i/n（i是等于或小于x的所有觀察結(jié)果的數(shù)目，i=1，2，…，n）。F(x)表示正態(tài)分布的累計(jì)概率分布函數(shù)。（二）k-s檢驗(yàn)（D檢驗(yàn)）第十一頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第11頁，共35頁。K-S單樣本檢驗(yàn)通過樣本的累計(jì)分布函數(shù)Fn(x)和理論分布函數(shù)F(x)的比較來做擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是F(x)與Fn(x)間的最大偏差Dn：若對每一個(gè)x值來說，F(xiàn)(x)與Fn(x)都十分接近，則表明實(shí)際樣本的分布函數(shù)與理論分布函數(shù)的擬合程度很高。第十二頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第12頁，共35頁。1.建立假設(shè)組：H0：Fn(x)=F(x)

H1：Fn(x)≠F(x)

2.計(jì)算樣本累計(jì)頻率與理論分布累計(jì)概率的絕對差，令最大的絕對差為Dn；3.用樣本容量n和顯著水平a查出臨界值Dna；4.通過Dn與Dna的比較做出判斷，若Dn＜Dna，則認(rèn)為擬合是滿意的即接收H0。第十三頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第13頁，共35頁。K-s檢驗(yàn)只能做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗(yàn)，所以，用該方法檢驗(yàn)前先將數(shù)據(jù)中心化Z=ZSCORE(X)，然后再對Z進(jìn)行檢驗(yàn)。第十四頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第14頁，共35頁。該檢驗(yàn)是對Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)的修正，參數(shù)未知時(shí)，由可計(jì)算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。三、Lilliefor正態(tài)性檢驗(yàn)第十五頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第15頁，共35頁。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，W的值應(yīng)接近于1，若值過小，則懷疑原假設(shè)，從而拒絕域?yàn)樵诮o定的下，可求出臨界值c（四）Shapiro-Wilk(W檢驗(yàn))第十六頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第16頁，共35頁。將數(shù)據(jù)按數(shù)值大小重新排列，使計(jì)算有表可以查。

步驟：第十七頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第17頁，共35頁。若W值小于判斷界限值Wα（可通過查表求得），按表上行寫明的顯著性水平α舍棄正態(tài)性假設(shè)；若W>Wα,接受正態(tài)性假設(shè)。第十八頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第18頁，共35頁。正態(tài)性方法比較1.經(jīng)常使用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)的檢驗(yàn)功效較低，在許多計(jì)算機(jī)軟件的Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)無論是大小樣本都用大樣本近似的公式，很不精準(zhǔn)，一般使用Shapiro-Wilk檢驗(yàn)和Lilliefor檢驗(yàn)。2.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)只能檢驗(yàn)是否一個(gè)樣本來自于一個(gè)已知樣本，而Lilliefor檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)是否來自未知總體。3.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)和Lilliefor檢驗(yàn)都是進(jìn)行大小排序后得到的，所以易受異常值的影響。4.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)只適用于小樣本場合（3n50）,其他方法的檢驗(yàn)功效一般隨樣本容量的增大而增大。第十九頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第19頁，共35頁。5.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)都采用實(shí)際頻數(shù)和期望頻數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，前者既可用于連續(xù)總體，又可用于離散總體，而Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)只適用于連續(xù)和定量數(shù)據(jù)。6．?dāng)M合優(yōu)度檢驗(yàn)的檢驗(yàn)結(jié)果依賴于分組，而其他方法的檢驗(yàn)結(jié)果與區(qū)間劃分無關(guān)。7.偏度和峰度檢驗(yàn)易受異常值的影響，檢驗(yàn)功效就會(huì)降低。8.假設(shè)檢驗(yàn)的目的是拒絕原假設(shè)，當(dāng)p值不是很大時(shí)，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)背景再作討論。第二十頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第20頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令最值：max(x),min(x)(1)max(X)：返回向量X的最大值，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。(2)

max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。(3)

[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。(4)

max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十一頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第21頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令求和：

(1)

sum(X)，返回向量X各元素的和。(2)sum(A)，返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。(3)sum(A,dim)，當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。乘積：(1)

prod(X)

，返回向量X各元素的乘積。(2)prod(A),返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列元素的乘積。(3)prod(A,dim)，當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之乘積。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十二頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第22頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令累加和與累乘積

在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。cumsum(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十三頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第23頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令相關(guān)系數(shù)

MATLAB提供了corrcoef函數(shù)，可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)用格式為：corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個(gè)變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef([X,Y])的作用一樣。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十四頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第24頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令排序

MATLAB中對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十五頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第25頁，共35頁。Matlab相關(guān)命令類似的用法，請自己借助matlab在線幫助功能自己了解：中位數(shù)：median(x)標(biāo)準(zhǔn)差：std(x)

方差：var(x)偏度：skewness(x)

峰度：kurtosis(x)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理基本命令第二十六頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第26頁，共35頁。常見的概率分布二項(xiàng)式分布Binomialbino卡方分布Chisquarechi2指數(shù)分布ExponentialexpF分布Ff幾何分布Geometricgeo正態(tài)分布Normalnorm泊松分布PoissonpoissT分布Tt均勻分布Uniformunif離散均勻分布DiscreteUniformunid第二十七頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第27頁，共35頁。概率密度函數(shù)【例】繪制卡方分布密度函數(shù)在自由度分別為1、5、15的圖形x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,1);plot(x,y1,':')holdon【例】繪制標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖.x=-4:0.1:4;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)title('N(0,1)的概率密度曲線圖')第二十八頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第28頁，共35頁。累積分布函數(shù)(cdf)【例】求服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間[－2,2]上的概率.>>P=normcdf([-2,2])ans=0.02280.9772>>P(2)-P(1)ans=0.9545第二十九頁，編輯于星期六：十八點(diǎn)三十四分。第29頁，共35頁。累積分布函數(shù)(cdf)>>u_alpha=norminv(0.9,0,1)u_alpha=1.2816>>t_alpha=tinv(0.25,4)t_alpha=-0.7407>>F_alpha=finv(0.1,14,10)F_alpha=0.4772>>X