2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)六中教研聯(lián)合體高考模擬（三）數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)六中教研聯(lián)合體高考模擬（三）數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．已知向量，（其中為實(shí)數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，4．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．35．已知，則的值等于（）A． B． C． D．6．已知，，，則()A． B． C． D．7．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（）A． B． C． D．9．若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知集合（），若集合，且對(duì)任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．11．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．12．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計(jì)劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．14．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_______．15．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金．若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．16．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對(duì)于給定的正整數(shù)k，若各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）證明：等比數(shù)列是“數(shù)列”；（2）若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.18．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和，又單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，.(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求證：.21．（12分）據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個(gè)地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，兩切線的交點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)．（1）證明：點(diǎn)始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．2、A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．5、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導(dǎo)公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題6、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對(duì)比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因?yàn)闉橹匦?，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.8、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算．【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10、C【解析】

根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.12、B【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：種本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

判斷的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用單調(diào)性，可得到所求解集．【詳解】令，易知函數(shù)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，即，∴∴，即x＞故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．15、20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.16、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：即可證明.（2）既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，，則對(duì)于任意都成立，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為，驗(yàn)證得答案.【詳解】（1）證明：由是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：等比數(shù)列是“數(shù)列”.（2）證明：既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”，可得，（）（），（）可得：對(duì)于任意都成立，即成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，設(shè)，（）數(shù)列是“數(shù)列”時(shí)，由（）可得：時(shí)，由（）可得：，可得，同理可證成等比數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力，屬于難題.18、(I)π；(II)-【解析】

(I)化簡(jiǎn)得到fx(II)f(α2)=2sin【詳解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π)，故α+故α+π12∈sin(2α+【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值號(hào)，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得，無解；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，且又所以當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論，函數(shù)的最值，屬于中檔題.20、（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，∴，∵等比數(shù)列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，即.）21、（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??；（2）；（3）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為【解析】

（1）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值，可得結(jié)果.（2）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過的地區(qū)個(gè)數(shù)，然后可得結(jié)果.（3）計(jì)算退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中選兩個(gè)地區(qū)總數(shù)，退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)為，列出所有取值并計(jì)算相應(yīng)概率，然后可得結(jié)果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.（2）記事件A：在