筆試NO.秘笈-行測(cè)部分

行測(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)及注意事項(xiàng)2009年大筆經(jīng)行測(cè)\申論NO.1秘笈號(hào)外：2009年大面經(jīng)公布(已加精華）

我回來了。帶著面試88分(準(zhǔn)備時(shí)間不到15天），面試亦第一名。面試亦復(fù)習(xí)要點(diǎn)、心得與大家共享，現(xiàn)在開始發(fā)布。發(fā)心仍是一樣，在筆試后發(fā)心，面試后再發(fā)幾天時(shí)間總結(jié)的面試復(fù)習(xí)要點(diǎn)及注意事項(xiàng)。2009年大面經(jīng)，請(qǐng)點(diǎn)擊。

行測(cè)\申論復(fù)習(xí)要點(diǎn)及注意事項(xiàng)

前文

為什么發(fā)此文，為什么我說你會(huì)多得幾分？

我曾發(fā)愿通過公務(wù)員筆試之后,把我?guī)讉€(gè)月以來總結(jié)的行測(cè)和申論的復(fù)習(xí)要點(diǎn)以及注意事項(xiàng)發(fā)布出來。寫這篇文章，完全是發(fā)自內(nèi)心地真心地想幫助大家提高分?jǐn)?shù)；事實(shí)上，現(xiàn)在的成文比我當(dāng)初自己總結(jié)給自已看的要完善許多。之所以對(duì)我自己總結(jié)的東西大吹大捧，自賣自夸，沒有其它原因，我一不想出名，二不想賺才智幣。主要原因有兩：一是我對(duì)這些總結(jié)的內(nèi)容較為自信，我個(gè)人認(rèn)為我的部分方法可能前無古人，二是我希望各位能夠從中獲益，復(fù)習(xí)得全面，同時(shí)講究解題速度，少走些很多彎路，取得好成績(jī)，這是我發(fā)此帖的初衷——回報(bào)論壇。希望覺得有用的朋友幫頂起來，讓更多的朋友能夠看到這篇文章，從中獲益；我自信你認(rèn)真看完這篇文章之后，行測(cè)、申論至少會(huì)多得幾分?。?！而對(duì)公務(wù)員考試來說，幾分也許就是致命的。

同時(shí)，我寫這篇文章還希望帶給大家一個(gè)思路就是，勤加總結(jié)，善于總結(jié)。

關(guān)于本文優(yōu)點(diǎn)－－縱觀QZZN，也許前無古人，思路最新、總結(jié)最系統(tǒng)、最全面。

本文特點(diǎn)是句句要點(diǎn)，句句精華。有人說一篇文章一個(gè)精華就算多了，但我覺得這篇文章是每一篇都可做精華。文章是我精心總結(jié)大量要點(diǎn)、難點(diǎn)、解題方法之作，特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)解題思路，新、快、準(zhǔn)。

行測(cè)部分，對(duì)考點(diǎn)大量總結(jié)，對(duì)容易犯的錯(cuò)誤進(jìn)行提示，對(duì)眾多考點(diǎn)解題思路進(jìn)行歸納總結(jié)，力求在最短時(shí)間拿下最多的題目。其中，個(gè)人覺得總結(jié)最好的是數(shù)字推理題、圖形推理題部分，思路新穎，解題方法可能是前無古人的，在保證迅速做這些題目的同時(shí)，一般做這些大題，錯(cuò)一題。再如數(shù)學(xué)運(yùn)算，這里總結(jié)的專題都是我覺得較難又?？嫉?，很多考友沒有掌握，而像一些簡(jiǎn)單的專題，本文未列入其中；演繹推理則側(cè)重總結(jié)容易在考試中誤解的句子，其實(shí)我覺得這部分掌握了，演繹推理可以超過大部分人了；言語理解提供了不傳的秘笈；而常識(shí)題側(cè)重容易混淆的法律知識(shí)和2009年覺得出題可能性大的一些時(shí)事。文章有很多亮點(diǎn)，這里不一一贅述，等你發(fā)掘，相信你會(huì)收獲不少。

申論部分，第一階段李永新的申論書籍總結(jié)為藍(lán)本，第二階段加上眾多資料的體會(huì)總結(jié)，最為精華的部分是大量詞式、句式、陣式、段落、結(jié)尾等總結(jié)，同時(shí)精選四篇必背范文，以及覆蓋大部分社會(huì)問題的申論熱點(diǎn)總結(jié)。申論文章（尤其是申論下半部分），我觀QZZN,很多是前人沒有總結(jié)過的，尤其是申論的專用詞式、句式、排比陣式等等，相信各位能獲得很大的利益。

關(guān)于本文缺點(diǎn)－－個(gè)人觀點(diǎn)，可能不正確；不全面

我說我是最系統(tǒng)，是相對(duì)QZZN的文章來說的，但是相對(duì)市面上的行測(cè)，申論書來說，這篇文章是不全面的。這主要是時(shí)間的關(guān)系(大致行測(cè)40天+申論20天），同時(shí)文章可能會(huì)有些錯(cuò)誤，歡迎指正。這不是套話，復(fù)習(xí)時(shí)光靠我這篇文章是不夠的。如數(shù)學(xué)運(yùn)算縱使我整理了十?dāng)?shù)個(gè)專題，卻仍不全面，因?yàn)閿?shù)算可能會(huì)有幾十個(gè)專題；再如數(shù)字推理，不可能面面俱到，關(guān)鍵是自己平時(shí)要多加總結(jié)。所以你不能期待僅通過這篇文章就能保證通過筆試，還需要買本厚厚的書啃，還需通過QZZN加強(qiáng)，還需其它認(rèn)真、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)。

另外，請(qǐng)注意，文章中我的觀點(diǎn)可能是不正確的（包括我自認(rèn)為正確的觀點(diǎn)，尤其是申論，大部分是個(gè)人的觀點(diǎn)，僅供參考），而且并不具普適性、僅具參考價(jià)值（本人是省考），真的，希望各位能加以分辨。如果因?yàn)槲铱赡懿贿m或不正確的觀點(diǎn)誤導(dǎo)了你們，那真的是罪過了。

公務(wù)員考試的大準(zhǔn)則

一是，公務(wù)員考試感受最深的一句話是，“天道酬勤”，公務(wù)員是考出來的、念出來的，付出總會(huì)有回報(bào)，考公務(wù)員，要全身心地投入，各個(gè)模塊一個(gè)個(gè)突破，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，善于總結(jié)，不斷模擬真題，最重要的是要用心認(rèn)真地去學(xué)去念。我是一個(gè)腦瓜子極其平凡的人，但請(qǐng)相信，平凡的人如果勤奮，一旦認(rèn)真是會(huì)有好結(jié)果的，是不會(huì)比聰明的人差的。

二是，要善于總結(jié)。不僅是我總結(jié)，自己總結(jié)更關(guān)鍵，最好用一本子，或者用電腦WORD隨時(shí)寫下心得總結(jié)。有總結(jié)，心里才有底，有成就感，復(fù)習(xí)會(huì)更系統(tǒng)，同時(shí)一些要點(diǎn)、難點(diǎn)、錯(cuò)題寫下來了，以后再復(fù)習(xí)時(shí)就方便了，也不會(huì)忘復(fù)習(xí)了。時(shí)間倒不是最大問題，我用60天總結(jié)了筆試這么多內(nèi)容，事實(shí)上中間很多時(shí)間被我浪費(fèi)了。當(dāng)然，有時(shí)間，你的成績(jī)就更高了。

三是，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢的態(tài)度。我筆試、面試都是一個(gè)感覺，戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢，如履薄冰，如臨深淵，深怕自己什么地方漏了，什么地方答錯(cuò)了。這樣有好處，好處是復(fù)習(xí)會(huì)比較全面，精細(xì)，只要臨場(chǎng)發(fā)揮得正常就OK了；壞處也很明顯，壓力很大。

本文樓層分布（更新較快）

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樓層說明(一頁頁找很麻煩，請(qǐng)用只看功能）：

注：全文各樓層整理而成的WORD文檔已經(jīng)發(fā)布，詳見本樓附件。

第一部分?jǐn)?shù)字推理：本樓

第二部分圖形推理：13樓

第三部分演繹推理：33樓

第四部分?jǐn)?shù)字運(yùn)算上：38樓由于樓層有字?jǐn)?shù)限制，分成三個(gè)部分

第五部分?jǐn)?shù)字運(yùn)算中：39樓

第六部分?jǐn)?shù)字運(yùn)算下：40樓

第七部分言語理解與表達(dá)：74樓

秘笈

第八部分常識(shí)判斷（適合2009年公考考生）：123樓

第九部分申論上.第一階段復(fù)習(xí)：李永新版申論要點(diǎn)整理（436頁的書)等：

詳見175樓

第十部分申論下.第二階段復(fù)習(xí)：專用句式、詞式、段落總結(jié)+必背范文+我的申論念筆+我的看法185樓

本文附件說明（包括全文）：

行測(cè)部分

注：本文行測(cè)全部分的WORD文檔

申論部分

注：本文申論全部分的WORD文檔

奇跡300分邏輯解題十八套路邏輯推理超級(jí)強(qiáng)化推薦獲得高分強(qiáng)化途徑，如有時(shí)間，請(qǐng)過一遍。另：網(wǎng)上MBA邏輯書很多，可搜索并做更系統(tǒng)的復(fù)習(xí)

奇妙數(shù)學(xué)大世界

數(shù)學(xué)運(yùn)算超級(jí)強(qiáng)化推薦

如果這本書掌握了，你的數(shù)字運(yùn)算就無敵了，國家公考題有很多題在這本書里。

第一部分、數(shù)字推理

一、基本要求

熟記熟悉常見數(shù)列，保持?jǐn)?shù)字的敏感性，同時(shí)要注意倒序。

自然數(shù)平方數(shù)列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，169，196，225，256，289，324，361，400……

自然數(shù)立方數(shù)列：－8，－1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000

質(zhì)數(shù)數(shù)列：2，3，5，7，11，13，17……（注意倒序，如17,13,11,7,5,3,2）

合數(shù)數(shù)列：4，6，8，9，10，12，14…….（注意倒序）

二、解題思路：

1基本思路：第一反應(yīng)是兩項(xiàng)間相減，相除，平方，立方。所謂萬變不離其綜，數(shù)字推理考察最基本的形式是等差，等比，平方，立方，質(zhì)數(shù)列，合數(shù)列。

相減，是否二級(jí)等差。

8，15，24，35，（48）

相除，如商約有規(guī)律，則為隱藏等比。

4，7，15，29，59，（59*2－1）初看相領(lǐng)項(xiàng)的商約為2，再看4*2-1=7,7*2+1＝15……

2特殊觀察：

項(xiàng)很多，分組。三個(gè)一組，兩個(gè)一組

4，3，1，12，9，3，17，5，（12）三個(gè)一組

19，4，18，3，16，1，17，（2）

2，－1，4，0，5，4，7，9，11，（14）兩項(xiàng)和為平方數(shù)列。

400，200，380，190，350，170，300，（130）兩項(xiàng)差為等差數(shù)列

隔項(xiàng)，是否有規(guī)律

0，12，24，14，120，16（7^3－7）

數(shù)字從小到大到小，與指數(shù)有關(guān)

1，32，81，64，25，6，1，1/8每個(gè)數(shù)都兩個(gè)數(shù)以上，考慮拆分相加（相乘）法。

87，57，36，19，（1*9+1）

256，269，286，302，（302+3+0+2）

數(shù)跳得大，與次方（不是特別大），乘法（跳得很大）有關(guān)

1，2，6，42，（42^2+42）

3，7，16，107，（16*107-5）

每三項(xiàng)/二項(xiàng)相加，是否有規(guī)律。

1，2，5，20，39，（125－20－39）

21，15，34，30，51，（10^2-51）

C=A^2－B及變形（看到前面都是正數(shù)，突然一個(gè)負(fù)數(shù)，可以試試）

3，5，4，21，（4^2-21）,446

5，6，19，17，344,(-55)

-1，0，1，2，9，（9^3+1）

C=A^2+B及變形（數(shù)字變化較大）

1，6，7，43，（49+43）

1，2，5，27，（5+27^2）

分?jǐn)?shù)，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之間有聯(lián)系。/也有考慮到等比的可能

2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）

3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相減為質(zhì)數(shù)列

1/2，5/4，11/7，19/12，28/19，（38/30）分母差為合數(shù)列，分子差為質(zhì)數(shù)列。

3，2，7/2，12/5，（12/1）

通分，3,2變形為3/1，6/3，則各項(xiàng)分子、分母差為質(zhì)數(shù)數(shù)列。

64，48，36，27，81/4，（243/16）等比數(shù)列。

出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，則要考慮合數(shù)數(shù)列變種的可能。

7，9，11，12，13，（12+3）

8，12，16，18，20，（12*2）

突然出現(xiàn)非正常的數(shù)，考慮C項(xiàng)等于A項(xiàng)和B項(xiàng)之間加減乘除，或者與常數(shù)/數(shù)列的變形

2，1，7，23，83，（A*2+B*3）思路是將C化為A與B的變形，再嘗試是否正確。

1，3，4，7，11，（18）

8，5，3，2，1，1，（1－1）

首尾項(xiàng)的關(guān)系，出現(xiàn)大小亂現(xiàn)的規(guī)律就要考慮。

3，6，4，（18），12，24首尾相乘

10，4，3，5，4，（－2）首尾相加

旁邊兩項(xiàng)（如a1,a3)與中間項(xiàng)(如a2)的關(guān)系

1，4，3，－1，－4，－3，（－3―（－4））

1/2，1/6，1/3，2，6，3，(1/2)

B項(xiàng)等于A項(xiàng)乘一個(gè)數(shù)后加減一個(gè)常數(shù)

3，5，9，17，（33）

5，6，8，12，20，(20*2－4)

如果出現(xiàn)從大排到小的數(shù)，可能是A項(xiàng)等于B項(xiàng)與C項(xiàng)之間加減乘除。

157,65,27,11,5,(11-5*2)

一個(gè)數(shù)反復(fù)出現(xiàn)可能是次方關(guān)系，也可能是差值關(guān)系

－1，－2，－1，2，（－7）差值是2級(jí)等差

1，0，－1，0，7，（2^6－6^2）

1，0，1，8，9，（4^1）

除3求余題，做題沒想法時(shí)，試試（亦有除5求余）

4,9,1,3,7,6,(C)A.5B.6.C.7D.8（余數(shù)是1,0,1,0,10,1)

3.怪題：

日期型

2100－2－9，2100－2－13，2100－2－18，2100－2－24，（2100-3-3）

結(jié)繩計(jì)數(shù)

1212，2122，3211，131221，（311322）2122指1212有2個(gè)1，2個(gè)2.

第四部分、數(shù)學(xué)運(yùn)算上

一、利用“湊整法”求解的題型例題：1.5的值為A.29

B.28

C.30

D.29.2答案為A?！皽愓ā笔呛?jiǎn)便運(yùn)算中最常用的方法，方法是利用交換律和結(jié)合律，把數(shù)字湊成整數(shù)，再進(jìn)行計(jì)算，就簡(jiǎn)便多了。二、利用“尾數(shù)估算法”求解的題型例題：425+683+544+828的值是A.2488

B.2486

C.2484

D.2480答案為D。如果幾個(gè)數(shù)的數(shù)值較大，又似乎沒有什么規(guī)律可循，可以先考察幾個(gè)答案項(xiàng)尾數(shù)是否都是唯一的，如果是，那么可以先利用個(gè)位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算得到尾數(shù)，再從中找出唯一的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。如上題，各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)相加=5348=20，尾數(shù)為0，所以很快可以選出正確答案為D。三、利用“基準(zhǔn)數(shù)法”求解的題型（尾數(shù)更快）例題：1997+1998+1999+2000+2001A.9993

B.9994

C.9995

D.9996答案為C。當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)相加，且他們的值相近時(shí)，可以找一個(gè)中間數(shù)作為基準(zhǔn)，然后再加上每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)的差，從而求得他們的和。在該題中，選2000作為基準(zhǔn)數(shù)，其他數(shù)分別比2000少3，少2，少1，和多1，故五個(gè)數(shù)的和為9995。這種解題方法還可以用于求幾個(gè)相近數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。四、比例分配問題例題：一所學(xué)校一、二、三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)450人，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生比例為2：3：4，問學(xué)生人數(shù)最多的年級(jí)有多少人？A.100B.150C.200D.250答案為C。解答這種題，可以把總數(shù)看作包括了234=9份，其中人數(shù)最多的肯定是占4/9的三年級(jí)，所以答案是200人。五、路程問題例題：某人從甲地步行到乙地，走了全程的2/5之后，離中點(diǎn)還有2.5公里。問甲乙兩地距離多少公里？A.15B.25C.35D.45答案為B。全程的中點(diǎn)即為全程的2.5/5處，離2/5處為0.5/5，這段路有2.5公里，因此很快可以算出全程為25公里。六、工程問題例題：一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做，15天完成；乙隊(duì)單獨(dú)做，10天完成。兩隊(duì)合作，幾天可以完成？A.5天B.6天C.7.5天D.8天答案為B。此題是一道工程問題。工程問題一般的數(shù)量關(guān)系及結(jié)構(gòu)是：工作總量／工作效率＝工作時(shí)間我們可以把全工程看作“1”，工作要n天完成推知其工作效率為1/n,兩組共同完成的工作效率為1/n11/n2,根據(jù)這個(gè)公式很快可以得到答案為6天。另外，工程問題還可以有許多變式，如水池灌水問題等等，都可以用這種思路來解題。七、植樹問題——線段+1，封閉不變例題：若一米遠(yuǎn)栽一棵樹，問在345米的道路上栽多少棵樹？A.343B.344C.345D.346答案為D。這種題目要注意多分析實(shí)際情況，如本題要考慮到起點(diǎn)和終點(diǎn)兩處都要栽樹，所以答案為346八、連續(xù)自然數(shù)21.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為1680，它們的和為(A)

A.26

B.52

C.20

D.28四個(gè)連續(xù)自然數(shù),為兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，它們的和可以被2整除，但是不能被4整除，選項(xiàng)中只有26符合要求。即4X+1+2+3=4X+6九、“抽屜原則”——最不利原則7．有8種顏色的小球,數(shù)量分別為2、3、4、5、6、7、8、9，將它們放進(jìn)一個(gè)袋子里面，問拿到同顏色的球最多需要幾次？？a、6；b、7；c、8；d9

解題思路：8種小球，每種取一個(gè)，然后任取一個(gè)，必有重復(fù)的，所以是最多取9個(gè)。和球的數(shù)量無關(guān)，最多比顏色數(shù)多一次就能有兩個(gè)顏色相同的球。在數(shù)學(xué)里，叫做“抽屜原則”。十、1000以內(nèi)有多少個(gè)1？——10n=n*10(n-1)一般方法：從1到99共有20個(gè)1，以此類推，201-299，301-399，……，901-999之間均有20個(gè)1。解析：（方法一）101-199之間為99+20個(gè)1，加上100和1000所含的1，共有10*20+99+2=301個(gè)。個(gè)位上含“1”的有1000-90-91（1，11（只計(jì)算了個(gè)位的1），21，…111（只計(jì)算了個(gè)位的1）…991），

十位上含“1”的有1000-910-9（10，11（只計(jì)算了十位的1），12，…111（只計(jì)算了十位的1）…

百位上含“1”的有10010-90-9（100，101，…111（只計(jì)算了百位的1）…可以重復(fù)：10n=n*10(n-1)；即1000是103=3*10*10+11.關(guān)于含“1”的頁數(shù)例：一本300頁的書中含“1”的有多少頁？答：136頁（重復(fù)0-211、10-91、110-9、111被3次消除應(yīng)計(jì)1次）方法一：個(gè)位上含“1”的有30頁0-20-91（1，11，21，101…111…291），

十位上含“1”的有30頁0-210-9（10，11，12，…111…

百位上含“1”的有100頁10-90-9（100，101，…111…

故100+30+30=160160-(3+10+10)+1=136方法二：一位數(shù)：1兩位數(shù)：1-91=10和10-9=10三位數(shù)：1-20-91=20和1-210-9=20和10-90-9=100（重復(fù)0-211、10-91、110-9、111被3次消除）161-23=1361）1~200，數(shù)字0一共出現(xiàn)31次。個(gè)位為0：0-10-90=20十位為0：100-9=100、00、000都為1個(gè)數(shù)0，除掉它，-1總數(shù)：20+10-1+2=31十一、關(guān)于“多米諾骨牌”的問題——2的N次方最大值例：有300張多米諾骨牌，從1——300編號(hào)，每次抽取奇數(shù)牌，問最后剩下的一張牌是多少號(hào)？答：第256號(hào)總結(jié)：不論題中給出的牌數(shù)是多少，小于等于總牌數(shù)的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序號(hào)。（抽完奇數(shù)，剩下總數(shù)的2/1，再抽剩下1/4，抽N次，剩下1/2的N次方）（例題中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一張牌是256號(hào)。再舉個(gè)例子：153張牌按1——153排序，每次抽取奇數(shù)牌，最后剩下幾號(hào)？答：2的7次方等于128，故最后剩下的是128號(hào)牌）十二、用韋恩圖分析——容斥定理3）某班有50名學(xué)生，第一次測(cè)驗(yàn)中游26人滿分，第二次測(cè)驗(yàn)中有21人滿分，這兩次測(cè)驗(yàn)中有21人從沒有得到滿分，那么兩次測(cè)驗(yàn)中都獲得滿分的人數(shù)是多少？a14b12

c18

d20答案1為a2為a第一題：50--21=29,（26+21）--29=18用韋恩圖分析畫個(gè)圖就可以弄明白的了。應(yīng)該選C十三、牛吃草問題?！剂?增加量*時(shí)間=減少量*時(shí)間這類問題的數(shù)量關(guān)系是（牛數(shù)*吃草較多天數(shù)-牛數(shù)*吃草較少天數(shù)）/（吃草較多天數(shù)-吃草較少天數(shù)）=草地每天新長(zhǎng)草量（牛數(shù)-草地每天新長(zhǎng)草量）*吃草天數(shù)=原有草量，即牛數(shù)*吃草天數(shù)-草地每天新長(zhǎng)草量*吃草天數(shù)=原有草量，36．一牧場(chǎng)的草,27頭牛6周吃完,23頭牛9周吃完,21頭牛要幾周才吃完?(假定草的生長(zhǎng)速度不便)a13.5

b13

c12

d103.請(qǐng)問，一個(gè)牧場(chǎng)的草，27頭牛6周吃完，23頭牛9周吃完，21頭牛需要幾周吃完？（假定草地生長(zhǎng)速度不變）解析：假設(shè)每頭牛每周吃草一份，“27頭牛吃6周”，可知6周內(nèi)牧場(chǎng)共有青草27×6=162份，又“23頭牛吃9周”，可知9周內(nèi)牧場(chǎng)共有青草23×9=207份。每周生長(zhǎng)青草（207－162）/（9－6）=15份，原有青草162－15*6=72份。21頭牛中的15頭牛吃每周長(zhǎng)出的青草，剩下的6頭吃牧場(chǎng)上原有的青草，72/6=12周吃完。所以這片牧場(chǎng)可供21頭牛吃12周。

十三、路程問題——距離=速度*時(shí)間；——相對(duì)距離=速度差*相對(duì)時(shí)間；

1介紹：這是我們經(jīng)常碰到的一類題目，一開始碰到時(shí)我們不知道從何下手，通過帖子里月滿西樓Q友的解答，我頓時(shí)明白。例題：一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人在一條街上相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍。每隔10分鐘有一輛公式汽車超過行人，每隔20分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，如果公共汽車從始發(fā)站每次間隔同樣的時(shí)間發(fā)一次車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？

（

）

A、10

B、8

C、6

D、4

Q友月滿西樓的解答：

汽車間距不變，當(dāng)一輛汽車超過行人時(shí)，下一輛汽車與行人之間的距離就是汽車的間距

每隔10分鐘有一輛汽車超過行人，說明當(dāng)一輛汽車超過行人時(shí)下一輛汽車需要10分鐘才能追上行人，由此得：

汽車間距=（汽車速度-行人速度）*10=（汽車速度-騎車速度）*20

推出：汽車速度=5*步行速度

又因?yàn)椋浩囬g距=汽車速度*間隔時(shí)間

可設(shè)行人速度為x，間隔時(shí)間為t，可得：（5x-x）*10=5x*t

t=8（分鐘）十四、相遇問題——第二次相遇他們一共走了三個(gè)路程例題：兩艘渡輪在同一時(shí)刻駛離H河的甲、乙兩岸相向而行，一艘從甲岸駛向乙岸，另一艘從乙岸開往甲岸，他們?cè)诰嚯x甲岸720米處相遇。到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)后，每艘船都要停留10分鐘，以便讓乘客上船下船，然后返航。這兩艘船在距離乙岸400米處又重新相遇。問：該河的寬度是多少？

A1120米

B1280米

C

1520米

D1760米

Q友gfirst的解答：

第一次相遇在一個(gè)路程里甲走了720米，

第二次相遇他們一共走了三個(gè)路程，那么甲應(yīng)該走2160米，

雖然后面的路程里他們都停了10分鐘，他們的速度下降比是一樣的，走的路程的比例不變

那么河寬就是2160-400=1760米例題：甲乙兩車同時(shí)從A.B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，他們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。A.B兩地相距多少千米？（提示：相遇時(shí)他們行了3個(gè)全程）一個(gè)行程乙就走了54千米，甲乙第二次相遇時(shí)，一共走了3個(gè)行程，所以乙一共走了3*54=162千米。從圖中可以知道甲一共走了2X–42

千米，兩者一共行走了3X。所以2X–42+3*54=3X，解出X=120千米。

3、介紹：相遇問題是我們碰到的最多的行程問題之一，而在行測(cè)中出現(xiàn)的往往不是簡(jiǎn)單的一次相遇，這無疑給我們的運(yùn)算帶來了很大的麻煩。下面我介紹一個(gè)比較復(fù)雜的相遇問題。例題：甲、乙、丙三人沿湖邊散步，同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)。甲按順時(shí)針方向行走，乙與丙按逆時(shí)針方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分鐘遇到丙.再過3又3/4分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2/3，湖的周長(zhǎng)為600米.則丙的速度為：()

A.24米/分；B.25米/分；C.26米/分；D.27米/分

Q友fansyang的解答：

設(shè)甲的速度為X，乙的速度為2X/3，丙的速度為Y，甲乙從出發(fā)到第一次相遇需要的時(shí)間為T，根據(jù)題意：

（X+2X/3）*T=600（1）

（X+Y）*（T+5/4）=600（2）

（X+2X/3）*（T+5）=1200（3）

根據(jù)（1）式和（3）式，可知X=72米/分；T=5分鐘。

根據(jù)（2）式，可知Y=24米/分。

所以丙的速度為24米/分，

所以：答案為A

這是比較常規(guī)的解答方式。他還提供了另外的一種比較簡(jiǎn)單的算法。

因?yàn)轭}目里面有個(gè)600米，所以答案是6的倍數(shù)幾率很大，直接選擇答案A，比較節(jié)約時(shí)間

十五、追及問題。例題：甲從A地步行到B地，出發(fā)1小時(shí)40分鐘后，乙騎自行車也從同地出發(fā)，騎了10公里時(shí)追到甲。于是，甲改騎乙的自行車前進(jìn)，共經(jīng)5小時(shí)到達(dá)B地，這恰是甲步行全程所需時(shí)間的一半。問騎自行車的速度是多少公里/小時(shí)？

A．12

B．10

C．16

D．15第一個(gè)是總時(shí)間等于5小時(shí)則

5/3+10/V自+(S-10)/V自=5

解得3S=10V自

第二個(gè)方程

S/V步=10

得到S=10V步

所以由以上兩個(gè)結(jié)果得到

V自=3V步

然后把他們帶入

就能夠解出來

V自=12

Q友stopsurf的解答：

乙走完全程花了5小時(shí)--5/3小時(shí)=10/3小時(shí)（可以把甲看成一直在騎車）

V甲：V乙===10/3：10

可得===V乙==3V甲

遇到追及問題了

路程差=速度差X時(shí)間

5/3*V甲=(V乙-V甲)*10\V乙

最后得到答案了

例題：甲班與乙班同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去某公園，甲班步行的速度是每小時(shí)4千米，乙班步行的速度是每小時(shí)3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使這兩班學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，那么，甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離之比是：（

）

A.15：11

B.17：22

C.19：24

D.21：27

Q友gfirst的解答：

1、此題作為考試的話，可以根據(jù)題意甲的速度快，所以應(yīng)該多走路，答案明顯選A

2、作為解答來講，車無論先帶誰走，答案都是一樣的。

解答的關(guān)鍵：車先帶一組A走，走到某一位置放下該組A，讓A自己走，車這時(shí)返回遇到另一組B的時(shí)間帶上B，要求車與A組同時(shí)到達(dá)公園

列寫公式即可

這個(gè)題解答出來的通用公式就是

S甲：S乙=（V車/V乙-1）：（V車/V甲-1）=（48/3-1）：（48/4-1）=15：11十六、日期問題34．今天是星期二，55×50天之后(A)。

A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期四解題思路：從55是7的倍數(shù)減1,50是7的倍數(shù)加1，快速推出少1天。如果用55×50÷7=396余6，也可推出答案，但較費(fèi)時(shí)。十七、價(jià)格問題33．商店各以3000元賣出兩件商品，其中盈虧均為20%，則該店應(yīng)(D)。A.賺500元

B.虧300元

C.持平

D.虧250元解題思路：快速算出賺20%的商品成本應(yīng)為2500元，而虧20%的商品成本肯定不只2500元，即刻排除A、C，再由虧兩折算出成本為3750元，因而，750元-500元為250元。成本=3000/（1+1/5）+3000/(1-1\5)十八、排列組合及相關(guān)40．把10個(gè)蘋果分成三堆，每堆至少1個(gè)，應(yīng)有(A)種分法。

A.8

B.9

C.10

D.11解題思路：用枚舉法列出，快速去掉重復(fù)的。十九、整除法42．有80份文件，甲、乙、丙3人參加處理。乙比甲多8份，但只是丙的份數(shù)的3/5，他們處理文件份數(shù)的比是(D)。

A.2:4:6

B.2:4:5

C.2:5:8

D.2:3:5解題思路：既然文件都是單獨(dú)處理的即都是整數(shù)的，那么如果三者之比的總和不能除盡80而出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，應(yīng)當(dāng)予以排除。44．某校男生人數(shù)比全校生數(shù)的5/9還少15人，女生人數(shù)比全?？倲?shù)4/9還多15人，該?？偵鷶?shù)應(yīng)為(D)。

A.600

B.610

C.620

D.630解題思路：能被9整除的即是，因?yàn)槿酥荒苁钦麛?shù)。5、+1法

一條長(zhǎng)廊長(zhǎng)20米，每隔2米放置一盆花，一共需要多少盆花？

A、10

B、11

C、12

D、13

答案B6、—1法

張晉孔嘉住三樓，每層樓階梯數(shù)是15，那么張晉孔嘉每次回家要爬多少層樓梯？

A、20

B、30

C、40

D、45

答案B

7、青蛙跳井的問題

井深10米，青蛙每次向上跳5米，又向下滑4米，問他幾次能夠跳上井？

A、5

B、6

C、10

D、9

答案B10、比例分配法

學(xué)校一、二、三年級(jí)學(xué)生總數(shù)是450人，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例是

2：3：4，問人數(shù)最多的年級(jí)是多少人？

A、100

B、150

C、200

D、250

答案11、還原與年齡

——年齡差永遠(yuǎn)不變1.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個(gè)數(shù)是多少？解答：（6×6+6）÷6-6=1，這個(gè)數(shù)是1.2.兩個(gè)兩位數(shù)相加，其中一個(gè)加數(shù)是73，另一個(gè)加數(shù)不知道，只知道另一個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字增加5，個(gè)位數(shù)字增加1，那么求得的和的后兩位數(shù)字是72，問另一個(gè)加數(shù)原來是多少？解答：和的后兩位數(shù)字是72，說明另一個(gè)加數(shù)變成了99，所以原來的加數(shù)是99-51=48.3.有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時(shí)哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？解答：先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）÷2=14，弟弟是26-14=12，然后來還原：1.哥哥還給弟弟5塊：哥哥是14-5=9，弟弟是12+5=17；2.弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是17-9=8；3.哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是8+8=16塊.弟：X哥：YX+Y=26A=X/2B=Y+X/2A1=A+B/2B1=B/2A2=A1-5B2=B1+5A2=(26-2)/2=12B2=(26+2)/2=14倒推回：A1=17,B1=9；A=8,B=18；X=16,Y=10.4.甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多；最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)斯灿?1元，那么三人原來的錢分別是多少元？解答：三人最后一樣多，所以都是81÷3=27元，然后我們開始還原：1.甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63；2.甲和丙把錢還給乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57；3.最后是乙和丙把錢還給甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍。現(xiàn)在三人的糖豆一樣多。如果開始時(shí)甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？解答：先假設(shè)后來三個(gè)人都是4份，還原后得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實(shí)際上甲原來有51粒，51÷3=17，那么我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆17×5=85粒.甲X=51乙Y丙ZA=2X=102B=Y-XZA=102B1=2BC=Z-BA1=A-CB1=2BC1=2CA=102,A-C=2B=2C解得：C=34,B=34;Y=85,Z=68。6.有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè)蘋果；取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩兩個(gè)；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個(gè)。問：這筐蘋果至少有幾個(gè)？解答：如果最后的1份只有1個(gè)的話，我們很快就可以發(fā)現(xiàn)前面的1份就是（1×3+2）÷2=2.5個(gè)，這是不可能的，所以最后的那一份至少是2個(gè)，那么這筐蘋果原來至少有：[（2×3+2）÷2×3+2]÷2×3=2=23個(gè).7.今年父親的年齡是兒子的5倍，15年后，父親的年齡是兒子年齡的2倍，問：現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？解答：今年父子的年齡差是兒子的5-1=4倍，15年后父子的年齡差是兒子的2-1=1倍，這說明在過了15年后，兒子的年齡是現(xiàn)在的四倍，根據(jù)差倍問題的公式可以計(jì)算出兒子今年的年齡是15÷（4-1）=5歲，父親今年是5×5=25歲.8.有老師和甲乙丙三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在老師的年齡剛好是三個(gè)學(xué)生的年齡和；9年后，老師年齡為甲、乙兩個(gè)學(xué)生的年齡和；又3年后，老師年齡為甲、丙兩個(gè)學(xué)生的年齡和；再3年后，老師年齡為乙、丙兩個(gè)學(xué)生的年齡和。求現(xiàn)在各人的年齡。解答：老師=甲+乙+丙，老師+9=甲+9+乙+9，比較一下這兩個(gè)條件，很快得到丙的年齡是9歲；同理可以得到乙是9+3=12歲，甲是9+3+3=15歲，老師是9+12+15=36歲.9.全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。四年前他們?nèi)业哪挲g和為58歲，而現(xiàn)在是73歲。問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？解答：73-58=15≠4×4，我們知道四個(gè)人四年應(yīng)該增長(zhǎng)了4×4=16歲，但實(shí)際上只增長(zhǎng)了15歲，為什么呢？是因?yàn)樵?年前，弟弟還沒有出生，那么弟弟今年應(yīng)該是幾歲呢？我們可以這樣想：父親、母親、姐姐三個(gè)人4年增長(zhǎng)了12歲，15-12=3，3就是弟弟的年齡！那么很快能得到姐姐是3+2=5歲，父母今年的年齡和是73-3-5=65歲，根據(jù)和差問題，就可以得到父親是（65+3）÷2=34歲，母親是65-34=31歲.10.學(xué)生問老師多少歲，老師說：“當(dāng)我象你這么大時(shí)，你剛3歲；當(dāng)你象我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲了。”求老師與學(xué)生的年齡。解答：不管如何變，老師與學(xué)生年齡差永遠(yuǎn)不變，即3（老師年齡－學(xué)生年齡）=39-3即我們可以先求出這個(gè)差是多少：（39-3）÷3=12，所以學(xué)生年齡是3+12=15歲，老師年齡是15+12=27歲.11.哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的3倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲。問：哥哥現(xiàn)在多少歲？解答：假設(shè)弟弟當(dāng)年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因?yàn)楦绺绠?dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因?yàn)榈艿墚?dāng)年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當(dāng)年年齡），哥哥現(xiàn)在年齡這三個(gè)數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當(dāng)年年齡）就剛好是2份，那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是3+2=5份，一份就是30÷5=6，哥哥現(xiàn)在是6×3=18歲.12.梁老師問陳老師有多少子女，她說：“現(xiàn)在我和愛人的年齡和是子女年齡和的6倍；兩年前，我們的年齡和是子女年齡和的10倍；六年后，我們的年齡和是子女年齡和的3倍?！眴栮惱蠋熡卸嗌僮优?。解答：2年前，年齡差是子女年齡和的10-1=9倍；今年，年齡差是子女年齡和的6-1=5倍；6年后，年齡差是子女年齡和的3-1=2倍。這個(gè)時(shí)候可以看到這個(gè)題中的年齡差不是一定的，否則年齡差是9，5，2倍數(shù)，至少是90，這是不合常理的，也就是說子女個(gè)數(shù)不會(huì)是2個(gè)。如果這個(gè)題目不用方程的話，我想最好的方法就是先假設(shè)陳老師有1個(gè)子女，很快就會(huì)得到矛盾，最后可以算出陳老師是3個(gè)子女。本題推薦使用方程求解！13.今年是1996年。父母的年齡和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后，父的年齡是弟的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)是公元哪一年？解答：四年后，父母的年齡和是78+8=86歲，兄弟的年齡和是17+8=25歲，父=弟×4，母=兄×3，那么父+母=弟×4+兄×3=3×（弟+兄）+弟，即86=3×25+弟，所以弟是11歲，兄是25-11=14歲，父是11×4=44歲，母是14×3=42歲（以上都是4年后的年齡，即公元2000年），很顯然再過1年后父親45歲，兄是15歲，父親是哥哥年齡的3倍，所以答案就是公元2001年.14.甲、乙、丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，丙是38歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多少歲？解答：假設(shè)當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時(shí)，甲是a歲，乙就是2×a歲，丙38歲；當(dāng)甲17歲的時(shí)候，注意到甲乙的年齡差不變，都是a，所以乙是17+a歲，那么丙是乙的2倍，就是2×（17+a），再根據(jù)甲丙的年齡差可以得到：38-a=2×（17+a）-17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7歲，乙14歲，丙38歲，和是7+14+38=59歲，（113-59）÷3=18，再過18年后，三人年齡和是113歲，所以乙今年的年齡是14+18=32歲.15.今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明年齡的4倍。求：祖父今年是多少歲？解答：觀察年齡差：今年的年齡差是小明年齡的5倍；幾年后的年齡差是小明當(dāng)時(shí)年齡的4倍；又過幾年以后的年齡差是小明年齡的3倍，所以年齡差是5，4，3的倍數(shù)，很快就能得到年齡差應(yīng)該是60（當(dāng)然不可能是120，180等等），今年小明的年齡是：60÷（6-1）=12歲，那么祖父就是12+60=72歲.-抽屜原則——元素先平均分配個(gè)給箱子的，有剩余元素再多分給箱子的。抽屜原則，又叫狄利克雷原則，它是一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，應(yīng)用它可以解決各種有趣的問題，并且常常能夠得到令人驚奇的結(jié)果，許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無從下手的問題，利用它能很容易得到解決．那么，什么是抽屜原則呢？我們先從一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子談起．將三個(gè)蘋果放到兩只抽屜里，想一想，可能會(huì)有什么樣的結(jié)果呢？要么在一只抽屜里放兩個(gè)蘋果，而另一只抽屜里放一個(gè)蘋果；要么一只抽屜里放有三個(gè)蘋果，而另一只抽屜里不放．這兩種情況可用一句話概括：一定有一只抽屜里放入了兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果．雖然哪只抽屜里放入至少兩個(gè)蘋果我們無法斷定，但這是無關(guān)緊要的，重要的是有這樣一只抽屜放入了兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果．如果我們將上面問題做一下變動(dòng)，例如不是將三個(gè)蘋果放入兩只抽屜里，而是將八個(gè)蘋果放到七只抽屜里，我們不難發(fā)現(xiàn)，這八個(gè)蘋果無論以怎樣的方式放入抽屜，仍然一定會(huì)有一只抽屜里至少有兩個(gè)蘋果．如果將上述問題中的蘋果換成兔子、糖果、書本或數(shù)，同時(shí)，將抽屜相應(yīng)地?fù)Q成兔籠、小孩、學(xué)生或數(shù)的集合，仍然可以得到相同的結(jié)論．由此可以看出，上面推理的正確性與具體的事物是沒有關(guān)系的．如果我們把一切可以與蘋果互換的事物稱為元素，而把一切可以與抽屜互換的事物叫做集合，那么上面的結(jié)論就可以敘述為：八個(gè)元素（相同）以任意方式分到七個(gè)集合（不同）之中，一定有一個(gè)集合中至少有兩個(gè)元素．只要元素比集合多一個(gè)時(shí)，某集合里必有2個(gè)元素即元素重復(fù)。同樣，蘋果與抽屜的具體數(shù)目也是無關(guān)緊要的，只要蘋果的數(shù)量比抽屜的數(shù)量多，推理依然成立．通過上面的分析，我們可以將上面問題中包含的基本原理寫成下面的一般形式．抽屜原理（一）：把多于幾個(gè)的元素按任一確定的方式分成幾個(gè)集合，那么一定至少有一個(gè)集合中，至少含有兩個(gè)元素．應(yīng)用抽屜原理來解題，首先要審題，即分清什么作為“元素”，什么做為“抽屜”；其次要根據(jù)題目的條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，來設(shè)計(jì)抽屜，在應(yīng)用抽屜原理解題時(shí)，正確地設(shè)計(jì)抽屜是解題的關(guān)鍵．下面，我們先來看一看如何運(yùn)用這一原則解決日常生活中的一些有趣的問題．例1在某個(gè)單位里，任意選出13個(gè)人，則這13個(gè)人至少有兩個(gè)人的屬相相同．證明屬相一共有12種，不妨假設(shè)12種屬相為12個(gè)“抽屜”，而將13個(gè)人當(dāng)作13個(gè)“蘋果”．根據(jù)抽屜原則知，有一只“抽屜“里至少放入了兩個(gè)“蘋果”，也就是說，至少有兩個(gè)人的屬相相同．例2求證同一年出生的四百個(gè)人中，一定有兩個(gè)人的生日相同．分析也許有的同學(xué)看了這個(gè)問題以后會(huì)說，只要查一查這四百個(gè)人的戶口就知道了，如果我們規(guī)定不能查戶口，那么，怎樣才能說明其中的道理呢？其實(shí)，完全沒有必要查看戶口，我們只要將一年中的每一天看作一只“抽屜”，而將每一個(gè)人的生日看作一個(gè)“蘋果”，這樣，運(yùn)用抽屜原則就可以很方便地解答此問題．證明把一年中的三百六十五天（閏年三百六十六天）中的每一天看作一個(gè)“抽屜”，將四百人的每一個(gè)人的生日看成一個(gè)“蘋果”，由于“蘋果”數(shù)目多于“抽屜”數(shù)目，根據(jù)抽屜原則可知，一定有一個(gè)“抽屜”里至少有兩個(gè)“蘋果”．也就是說，至少有兩個(gè)人的生日相同．例3有紅、黃、綠三種顏色的小球各四顆混放在一只盒子里，為了保證一次能取到兩顆顏色相同的小球，一次至少要取幾顆？解答將三種不同的顏色看作三個(gè)抽屜，為了保證一次能取到兩顆顏色相同的小球，即要求至少有兩顆小球出自同一抽屜，因此一次至少要取4顆小球．例4某班有30名學(xué)生，班里建立一個(gè)小書庫，同學(xué)們可以任意借閱，問小書庫中至少要有多少本書，才能保證至少有一個(gè)同學(xué)一次能至少借到兩本書？解答將30名同學(xué)看作30個(gè)“抽屜”，而將書看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原則，“蘋果”數(shù)目要比“抽屜”數(shù)目大，才能保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的“蘋果”，因此，小書庫中至少要有31本書，才能保證至少有一位同學(xué)一次能借到兩本或兩本以上的圖書．以上四例中有關(guān)“抽屜”和“蘋果”的選擇比較簡(jiǎn)單．但在很多情況下，“抽屜”和“蘋果”并非一下子就能選好，而是要進(jìn)行認(rèn)真的分析與思考才能找到，有時(shí)“抽屜”和“蘋果”的數(shù)目也不是現(xiàn)成的，需要我們通過分析，才能計(jì)算出結(jié)果．例5紅色，黃色，綠色的球各6個(gè)，混雜地放在一起，要想閉著眼睛從中取出顏色不同的兩對(duì)球，問至少要取多少才能保證達(dá)到要求？分析這個(gè)問題不能象前四例那樣一下就能找到“抽屜”和“蘋果”，從而直接運(yùn)用抽屜原則來解決．由于各種顏色的球混合在一起，我們又是閉著眼睛取球，這樣，如果取出的球數(shù)不多于6個(gè)，就有可能取出的球都是同一種顏色，這是最不利的情況，因此，要保證取出顏色不同的兩對(duì)球，取出的球數(shù)必須超過6個(gè)，為了保證達(dá)到要求，我們從最壞的情況出發(fā)，取出的球中有6個(gè)都是同一種顏色，這樣，問題就變成了怎樣才能使余下的球中保證有兩個(gè)是同顏色的．這時(shí)剩下的顏色只有兩種，把兩種顏色當(dāng)作兩只“抽屜”，而將球當(dāng)作“蘋果”，根據(jù)抽屜原則，只要有三個(gè)球，就能保證其中有兩個(gè)是同顏色的，即在最不利的情況下，只要取出9個(gè)球，就能保證其中一定有兩對(duì)顏色不同的小球，在其它情況下，就更無問題了．答：至少要取出9個(gè)球才能達(dá)到要求．例6在某班學(xué)生中，有8個(gè)人都訂閱了《小朋友》，《少年報(bào)》，《兒童時(shí)代》中的一種或幾種，問：這8個(gè)人中至少有幾個(gè)人所訂的報(bào)刊種類完全相同？解答8位同學(xué)訂閱的報(bào)刊種類可分成如下7類：｛小朋友｝，｛少年報(bào)｝，｛兒童時(shí)代｝，｛小朋友，少年報(bào)｝，｛小朋友，兒童時(shí)代｝，｛少年報(bào)，兒童時(shí)代｝，｛小朋友，少年報(bào)，兒童時(shí)代｝我們將這七類看作七個(gè)抽屜，訂閱相同種類報(bào)刊的學(xué)生“放到”同一抽屜中，因?yàn)?=1×7＋1，即有1＋1=2個(gè)訂閱相同種類報(bào)刊的學(xué)生“放到”同一抽屜中，即至少有兩名學(xué)生訂閱的報(bào)刊種類完全相同．在上一課中，我們學(xué)習(xí)了抽屜原則（一），通過學(xué)習(xí)我們可以發(fā)現(xiàn)，很多表面看來很難說清楚的問題，通過我們合理地構(gòu)造抽屜，都可用抽屜原則〈一〉巧妙地進(jìn)行解決．抽屜原理除去我們?cè)谏弦徽n中所接觸的結(jié)論，還有以下更一般的結(jié)論．抽屜原則（二）：把多于m×n個(gè)物體放到n個(gè)抽屜里，那么一定有一個(gè)抽屜里有m＋1個(gè)或者m＋1個(gè)以上的物體．我感覺應(yīng)該是M個(gè)或M+1或M+1個(gè)以上例題分析：例1某班組織全班45人進(jìn)行體育比賽，項(xiàng)目有A、B、C三項(xiàng)，規(guī)定每人至少參加一項(xiàng)，最多參加兩項(xiàng)，至少有幾個(gè)人參加的項(xiàng)目完全相同？解：按要求，我們將比賽項(xiàng)目分組：｛A｝，｛B｝，｛C｝，｛A，B｝，｛A，C｝，｛B，C｝．我們將上述6種情況看作6個(gè)“抽屜”，由于45=6×7＋3，根據(jù)抽屜原則〈二〉，至少有8個(gè)人參加的項(xiàng)目完全相同．(本人觀點(diǎn):這種情況,如果班級(jí)里只有42個(gè)人,即42=6*7,那么至少有7個(gè)人參加的項(xiàng)目完全相同,也就是說這里余下的3可以表示有3個(gè)項(xiàng)目（箱子）有8人（元素）同時(shí)參加)問題：在上述問題中，如果規(guī)定每個(gè)人必須參加，且只能參加一項(xiàng)比賽，情況如何？如果不加限制條件呢？例2在一次釣魚比賽中共有100人參加，比賽結(jié)束后，裁判宣布最少的釣了7條魚，最多的釣了20條魚，問這100人中，至少有幾個(gè)人釣的魚一樣多？解答：這100個(gè)人所釣的魚按條數(shù)分為14種情況，將每一種情況看作一個(gè)抽屜，將100個(gè)人任意放入這14個(gè)抽屜中，由于100=7×14＋2，由抽屜原則〈二〉可知，至少有8個(gè)人釣的魚條數(shù)一樣．例3某班學(xué)生40人開展讀書比賽活動(dòng)，他們從學(xué)校圖書館借書，要保證其中至少有一人一次能借到5本書，圖書館至少應(yīng)為這個(gè)班準(zhǔn)備多少本書？解答：將這個(gè)班的40個(gè)人看作40個(gè)“抽屜”，將圖書館為他們準(zhǔn)備的書看作“蘋果”，要使40個(gè)抽屜中至少有一個(gè)抽屜里放入了5個(gè)蘋果，根據(jù)抽屜原則〈二〉可知，蘋果數(shù)至少應(yīng)為40×4+1，即：圖書館至少應(yīng)為這個(gè)班的學(xué)生準(zhǔn)備161本書．例4將25支筆放入六個(gè)鉛筆盒中，證明至少有一個(gè)鉛筆盒中放入了不少于5支筆．證明，將六個(gè)鉛筆盒看作六個(gè)“抽屜”，將25支筆看作“蘋果”，由于25=4×6＋1，根據(jù)抽屜原則〈二〉，至少有一個(gè)鉛筆盒中放入的筆不少于5支．以上幾例抽屜和蘋果均較明顯，解決起來比較方便，而有些問題，抽屜和蘋果較隱蔽，要想將問題解決，需要我們通過分析，合理地構(gòu)造抽屜，才能使問題得到解決．例5某單位購進(jìn)一批桔子共計(jì)90箱，每箱至少110個(gè)，至多138個(gè)，現(xiàn)將桔子數(shù)相同的箱子作為一組，箱子數(shù)最多的一組至少有幾箱桔子？解答：根據(jù)題意，由于每箱至少110個(gè)，至多138個(gè)，按每箱的桔子個(gè)數(shù)，可構(gòu)造29個(gè)“抽屜”，將90個(gè)元素放入到29個(gè)抽屜中，由抽屜原則〈二〉可知，箱子數(shù)最多的一組，至少有4箱桔子．例6某年級(jí)共有學(xué)生300人，年齡最大的15歲，最小的13歲，問：其中至少有多少人是同年同月出生的？解答：根據(jù)題意，在這300名學(xué)生中，年齡最大的和年齡最小的相差三個(gè)年份，共計(jì)36個(gè)月份，將這36個(gè)月份看作36個(gè)抽屜，那么，將300個(gè)元素投放到36個(gè)抽屜中．因?yàn)?00=8×36＋12．所以必有不少于9個(gè)元素在同一抽屜中．即：其中至少有9名同學(xué)是同年同月出生的．排列組合例1：某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析：某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食。其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法。故可以由乘法原理解決：解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法。例2：書架上有6本不同的外語書，4本不同語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少本不同的取法？分析：要做的事情是從外語、語文書中各取一本。完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）。所以，用乘法原理解決。解：從架上各取一本共有６×４＝２４種不同的取法。例3：由數(shù)字０、１、２、３組成的三位數(shù)，問：（1）、可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？（2）、可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在確定由０、１、２、３組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定。所以，每個(gè)問題都可以看成是分三個(gè)步驟來完成。（1）：要求組成不相等的三位數(shù)。所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有４種不同的取法；個(gè)位上，也有４種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4＝48個(gè)不相等的三位數(shù)。（2）：要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能?。?，有３種不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下０和其它兩個(gè)數(shù)字，故有３種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有２種取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。例4：現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析：要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來做。如先取一解的，再取貳角的，最后取壹元的。但注意到，?。矎堃唤堑娜嗣駧藕腿。睆堎E角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的。這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣４張和貳角的人民幣２張統(tǒng)一起來考慮。即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種。分析得知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共８種情況。整個(gè)問題就變成了從８張壹角的人民幣和３張壹元的人民幣中分別取錢。這樣，第一步，從８張壹角的人民幣中取，共９種取法，即０、１、２、３、４、５、６、７、８；第二步，從３張壹元的人民幣中取共４種取法，即０、１、２、３.由乘法原理，共有９×４＝３６種情形，但注意到，要求“至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減掉。所以有３５種不同的情形。例5：學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書。小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？分析：在這個(gè)問題中，小明選一本書有三類方法。即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說。所以，是就用加法原理的問題。解：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法。例6：一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同。問：（1）、從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）、從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？分析：（1）、從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問題。（2）、要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再從第二個(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題。解：（1）：3＋8＝11（種）（2）：3×8＝24（種）例7：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析：要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮。第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)。由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放。放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有3×3＝9種不同的情形。第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有9種不同的情形。所以，最后再由加法原理即可求解。9＋9＝18（種）==============================================植樹問題的解題要點(diǎn):(1)在沒有封閉的線路(如:一條直線,折線半圓等)上植樹,由于頭尾兩端都可以種植一棵樹,應(yīng)比要分的段數(shù)多1,棵數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距+1(2)如果兩端已經(jīng)種樹(或兩端不必種樹)再在樹間種樹時(shí),則種樹的棵數(shù)應(yīng)比可分的段數(shù)少1,棵數(shù)=段數(shù)-1=全長(zhǎng)÷株距-1(3)在封閉線路(如:圓,正方形,長(zhǎng)方形,閉合曲線等)上種樹,因?yàn)轭^尾兩端重合在一起,所以種樹的棵數(shù),就等于可分的段數(shù)?？脭?shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距巧求四位數(shù)例1.有一個(gè)四位數(shù)3AA1，它能被9整除，請(qǐng)問數(shù)A代表幾？（1980年美國長(zhǎng)島小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）分析與解：已知四位數(shù)3AA1能被9整除，那么它的數(shù)字和（3＋A＋A＋1）一定是9的倍數(shù)。因?yàn)锳是一個(gè)數(shù)字，只能是0、1、2、3、……、9中的某一個(gè)整數(shù)，最大值只能是9。若A=9，那么3＋A＋A＋1＝22，22＜27，所以3AA1的各位數(shù)字和只能是9的1倍或2倍，即9或18。當(dāng)3＋A＋A＋1＝9時(shí)，A=2.5，不合題意。當(dāng)3＋A＋A+1=18時(shí)，A=7，符合題意，所以A代表7，這個(gè)四位數(shù)是3771。例2只有1和它本身為約數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，例如2、3、5、7、11……都是質(zhì)數(shù)。如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬均為質(zhì)數(shù)個(gè)單位，并且周長(zhǎng)是36個(gè)單位，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積最多可以是多少個(gè)平方單位？（1990年美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽試題）分析與解：假設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積最大時(shí)長(zhǎng)為A個(gè)單位，寬為B個(gè)單位。根據(jù)題意可知：（A＋B）×2=36因此，A＋B＝18長(zhǎng)方形的面積S＝A×B。經(jīng)過嘗試可知A和B均為質(zhì)數(shù)個(gè)單位，而A與B的和是18，可有三組結(jié)果①A＝17，B＝1；②A＝13，B=5；③A＝11，B=7。當(dāng)A與B越接近，長(zhǎng)方形的面積越大，因此，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積最多可以是11×7＝77個(gè)平方單位。本題的解答依據(jù)了這樣一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)A與B的和一定時(shí)，A與B越接近，兩者的積越大。當(dāng)A與B相等時(shí)，積最大。而本題要求A、B均為質(zhì)數(shù)，所以A=B＝9不合題意。這個(gè)性質(zhì)在實(shí)際生活中經(jīng)常運(yùn)用，請(qǐng)小朋友一定記住并能靈活運(yùn)用1.

一個(gè)體積為1立方米的正方體，如果將它分為體積各為1立方分米的正方體，并沿一條直線將他們一個(gè)一個(gè)連起來，可連多少米？()

A.10B.100C.1000D.100001立方米=1000立方分米

所以可以有1000個(gè)

每個(gè)的邊是1分米=0.1米

所以就是100米

答案：B排列組合問題I一、知識(shí)點(diǎn)：1分類計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有種不同的方法3．排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列4．排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示5．排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：=8組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合9．組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示．10．組合數(shù)公式：或11組合數(shù)的性質(zhì)1：．規(guī)定：；2：＝+二、解題思路：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有________個(gè).（答案：30個(gè)）科學(xué)分類法對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有_______種.（答案：350）插空法解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是______.(答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是________種.（答案：240）排除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如：從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條.（答案：30）三、講解范例：例1由數(shù)字１、２、３、４、５、６、７組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)(1）求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)解(1)：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)２、４、６必須相鄰，所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：第一步將１、３、５、７四個(gè)數(shù)字排好有種不同的排法；第二步將２、４、６三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有種不同的“捆綁”方法;第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”(包括兩端的兩個(gè)位置)中的其中一個(gè)位置上,有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有＝720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)解（2）：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)２、４、６互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：第一步將１、３、５、７四個(gè)數(shù)字排好，有種不同的排法；第二步將２、４、６分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置）中的三個(gè)位置上，有種“插入”方法根據(jù)乘法原理共有＝1440種不同的排法所以共有1440個(gè)符合條件的七位數(shù)例２將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三組，可以分為三類辦法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法下面分別計(jì)算每一類的方法數(shù)：第一類（１－１－４）分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法解法一：從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組，余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組，有種不同的分法解法二：從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有種選法，再從余下的五個(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有種選法，最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組，由于第一步和第二步各選取出一個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算，應(yīng)除以所以共有＝15種不同的分組方法第二類（１－２－３）分法，這是一類整體和局部均不等分的問題，首先從六個(gè)不同的元素中選取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有種不同的選法，再從余下的五個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的選法，余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組，根據(jù)乘法原理共有＝60種不同的分組方法第三類（２－２－２）分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同元素作為一個(gè)組有種不同的取法，再從余下的四個(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有種不同的取法，最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應(yīng)除以，因此共有＝15種不同的分組方法根據(jù)加法原理，將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六個(gè)元素分成三組共有：15＋60＋15＝90種不同的方法例３一排九個(gè)坐位有六個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個(gè)坐位六個(gè)人坐，空了三個(gè)坐位，每個(gè)空位兩邊都有人，等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰，可以看做將六個(gè)人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”（不包括兩端）之中的三個(gè)不同的位置上有種不同的“插入”方法根據(jù)乘法原理共有＝7200種不同的坐法排列組合問題II一、相臨問題——整體捆綁法例1．7名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.一般地:個(gè)人站成一排,其中某個(gè)人相鄰,可用“捆綁”法解決，共有種排法。練習(xí)：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?分析此題涉及到的是排隊(duì)問題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題.解因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有種排法,其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.二、不相臨問題——選空插入法例2．7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種.插入法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.若個(gè)人站成一排，其中個(gè)人不相鄰，可用“插空”法解決，共有種排法。練習(xí)：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.解先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.三、復(fù)雜問題——總體排除法或排異法有些問題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類不清或多種時(shí)，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可考慮用“排除法”，先求出它的反面,再從整體中排除.解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對(duì)其構(gòu)成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè).解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有種，但其中正六邊形的對(duì)角線所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有－3＝32個(gè).練習(xí)：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便.這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程.解43人中任抽5人的方法有種,正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.四、特殊元素——優(yōu)先考慮法對(duì)于含有限定條件的排列組合應(yīng)用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。例4．(1995年上海高考題)1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法種．解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個(gè)位置上任選一個(gè)位置，有種，而其余學(xué)生的排法有種，所以共有＝72種不同的排法.例5．（2000年全國高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊(duì)員，有種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有種排法，所以不同的出場(chǎng)安排共有＝252種.五、多元問題——分類討論法對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類討論，最后總計(jì)。例6．（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A） A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的兩個(gè)新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數(shù)為：A62+A22例7．（2003年全國高考試題）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）解：區(qū)域１與其他四個(gè)區(qū)域相鄰，而其他每個(gè)區(qū)域都與三個(gè)區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色．用三種顏色著色有=24種方法,用四種顏色著色有=48種方法,從而共有24+48=72種方法,應(yīng)填72.六、混合問題——先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（） A．種 B．種 C．種 D．種解：本試題屬于均分組問題。則12名同學(xué)均分成3組共有種方法