2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識梳理第十二章第二節(jié)　直線與橢圓的位置關(guān)系(一)

第二節(jié)直線與橢圓的位置關(guān)系(一)復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.直線與橢圓相切問題.2.直線與橢圓相交問題(1)交點個數(shù).(2)相交弦問題.3.直線與橢圓的對稱問題.1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點.這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題,因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)而不求,或與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決.2.解析幾何題目部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線,因此相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理,將簡化解題運(yùn)算量.一、直線與橢圓的位置關(guān)系1.若直線斜率不存在,數(shù)形結(jié)合分析.2.若直線斜率k存在,設(shè)直線方程為y=kx+m,聯(lián)立QUOTEy=kx+m,b2x2+a2y2=a2b2,得關(guān)于x的方程(b直線與橢圓相交?有兩個交點?Δ>0,直線與橢圓相切?有一個交點?Δ=0,直線與橢圓相離?沒有交點?Δ<0.1.概念理解(1)直線與橢圓位置關(guān)系的判定有兩種方法:幾何法和代數(shù)法,幾何法即借助橢圓與直線的圖形進(jìn)行判定,代數(shù)法即直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,然后再判定直線與橢圓的關(guān)系,解題時應(yīng)根據(jù)情況,進(jìn)行判定.(2)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切,過橢圓上一點有且僅有一條直線與橢圓相切,過橢圓內(nèi)一點的直線均與橢圓相交,這與直線與圓的位置關(guān)系類似.2.與直線與橢圓的位置相關(guān)的結(jié)論(1)若P0(x0,y0)在橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1上,則過P0的橢圓的切線方程是QUOTEx0xa2+QUOTEy0yb2=1.(2)若P0(x0,y0)在橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1外,則過點P0作橢圓的兩條切線,切點為P1,P2,則切點弦P1P2的直線方程是QUOTEx0xa2+QUOTEy0yb2=1.二、直線與橢圓相交問題的處理方法1.常規(guī)方法(通法)(1)設(shè)直線y=kx+m與橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1的交點為A(x1,y1),B(x2,y2);(2)把直線與橢圓方程聯(lián)立,得方程組;(3)消去y得關(guān)于x的一元二次方程(或消去x得關(guān)于y的一元二次方程);(4)由韋達(dá)定理得x1+x2,x1·x2的值(或y1+y2,y1·y2的值);(5)求解(用中點公式、弦長公式等).2.點差法Ⅰ型(1)設(shè)直線y=kx+m與橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1的交點為A(x1,y1),B(x2,y2);(2)把點的坐標(biāo)代入橢圓方程且作差可得kAB,弦長公式|AB|=QUOTE1+k2·|x1-x2|=QUOTE1+1k2·|y1-y2|.3.點差法Ⅱ型(弦AB的中點為(a,b))(1)設(shè)交點坐標(biāo)為A(x,y),B(2a-x,2b-y);(2)把點的坐標(biāo)代入橢圓方程;(3)作差后依題意求解.1.概念理解常規(guī)方法是直線與橢圓相交問題的通用方法,運(yùn)算量較大,運(yùn)算應(yīng)細(xì)心,按步驟整理,避免出錯.在涉及中點、斜率問題時,可考慮點差法.設(shè)出點的坐標(biāo),在遇到垂直、夾角問題時,可考慮運(yùn)用向量法進(jìn)行解題,基本思路是先設(shè)元(設(shè)點的坐標(biāo)),后消元.2.與直線與橢圓相交問題相關(guān)的結(jié)論(1)AB是橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1的不平行于對稱軸的弦,M(x0,y0)為AB的中點,則kOM·kAB=-QUOTEb2a2,即kAB=-.(2)若P0(x0,y0)在橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1內(nèi),則被P0所平分的中點弦的方程為QUOTEx0xa2+QUOTEy0yb2=QUOTEx02a2+QUOTEy02b2.1.若直線y=kx+1與橢圓QUOTEx25+QUOTEy2m=1總有公共點,則m的取值范圍是(D)(A)m>1 (B)m>0(C)0<m<5且m≠1 (D)m≥1且m≠5解析:由QUOTEy=kx+1,m消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.由題意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0對一切k∈R恒成立,即5mk2+m2-m≥0對一切k∈R恒成立,由于m>0且m≠5,所以m≥1且m≠5.故選D.2.已知橢圓QUOTEx216+QUOTEy24=1,過點P(2,1)且被點P平分的橢圓的弦所在的直線方程是(B)(A)8x+y-17=0 (B)x+2y-4=0(C)x-2y=0 (D)8x-y-15=0解析:設(shè)過點P(2,1)且被點P平分的橢圓的弦為AB,A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=4,y1+y2=2,又因為A,B兩點均在橢圓上,所以QUOTEx12+4QUOTEy12=16,QUOTEx22+4QUOTEy22=16,兩式作差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以QUOTEy1-y2x1-x2=-QUOTEx1+x24(y1+即弦AB所在的直線的斜率為-QUOTE12,由直線方程的點斜式可得直線方程為y-1=-QUOTE12(x-2),整理得x+2y-4=0.3.F1,F2是橢圓QUOTEx22+y2=1的左、右焦點,過F2作傾斜角為QUOTEπ4的弦AB,則△F1AB的面積為(C)(A)QUOTE12 (B)1 (C)QUOTE43 (D)2解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得AB的方程為y=x-1,代入橢圓方程得3x2-4x=0,則x1+x2=QUOTE43,x1x2=0.所以|x1-x2|=QUOTE43,|y1-y2|=QUOTE43.所以QUOTES△F1AB=QUOTES△AF1F2+QUOTES△BF=QUOTE12|F1F2||y1-y2|=QUOTE43.故選C.4.已知A,B是橢圓3x2+y2=m(m>0)上不同兩點,線段AB的中點為N(1,3),則m的取值范圍為,AB所在的直線方程為.

解析:由題意,N(1,3)在橢圓3x2+y2=m(m>0)內(nèi),所以3×12+32<m,得m>12.又由點差法得直線AB斜率為k=-1,所以AB所在的直線方程為x+y-4=0.答案:(12,+∞)x+y-4=05.直線y=x+m與橢圓QUOTEx24+y2=1相切,則m=.

解析:聯(lián)立方程組QUOTEy=x+m,將①代入②,得QUOTEx24+(x+m)2=1,整理,得5x2+8mx+4mΔ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-解得m=±QUOTE5.答案:±QUOTE5考點一直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長問題[例1](1)已知直線l:y=2x+m,橢圓C:QUOTEx24+QUOTEy22=1,試問當(dāng)m取何值時,直線l與橢圓C:①有兩個不重合的公共點;②有且只有一個公共點;③沒有公共點.(2)求直線l:x-y+b=0被橢圓QUOTEx23+y2=1所截得的弦MN的長度的最大值.解:(1)將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得方程組QUOTEy=2x+m,(將(i)代入(ii),整理得9x2+8mx+2m2方程(iii)根的判別式Δ=(8m)2-4×9×(2m2=-8m2①當(dāng)Δ>0,即-3QUOTE2<m<3QUOTE2時,方程(iii)有兩個不同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點.解:②當(dāng)Δ=0,即m=±3QUOTE2時,方程(iii)有兩個相同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點,即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.③當(dāng)Δ<0,即m<-3QUOTE2或m>3QUOTE2時,方程(iii)沒有實數(shù)根,可知原方程組沒有實數(shù)解.這時直線l與橢圓C沒有公共點.解:(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),將x-y+b=0與+y2=1聯(lián)立,得消去y得4x2+6bx+3b2-3=0,x1+x2=-QUOTE32b,x1x2=QUOTE3b2-34,由Δ>0得-2<b<2,又|MN|=QUOTE1+k2|x1-x2|=QUOTE32(4-b2)故當(dāng)b=0時,|MN|的最大值為QUOTE6.(1)直線與橢圓公共點個數(shù)的討論,是直線與橢圓位置關(guān)系等其他問題的基礎(chǔ).(2)依據(jù)直線與橢圓的交點個數(shù),求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元得到一元二次方程,將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.(3)當(dāng)直線斜率存在時,則可用弦長公式求弦長.1.若P(m,n)是橢圓QUOTEx24+QUOTEy23=1上任意一點,則2m+n的取值范圍是.

解析:設(shè)t=2m+n,因為點P(m,n)是橢圓QUOTEx24+QUOTEy23=1上的點,所以直線2x+y-t=0與橢圓相交或相切.聯(lián)立得QUOTEx24+y2消去y,整理得19x2-16tx+4(t2-3)=0,所以Δ=(-16t)2-4×19×4(t2-3)≥0,解得-QUOTE19≤t≤QUOTE19,所以2m+n的取值范圍是[-QUOTE19,QUOTE19].答案:[-QUOTE19,QUOTE19]2.(2019·嘉興基礎(chǔ)測試)已知橢圓QUOTEx2a2+y2=1(a>1),直線l經(jīng)過點P(0,QUOTE22)交橢圓于A,B兩點.(1)當(dāng)l∥x軸時,|AB|=2,求橢圓方程;(2)求|AB|的取值范圍.解:(1)當(dāng)l∥x軸時,A,B的坐標(biāo)是(±1,QUOTE22).所以+QUOTE12=1,a2=2,故橢圓方程為QUOTEx22+y2=1.解:(2)當(dāng)l⊥x軸時,|AB|=2.當(dāng)斜率存在時,設(shè)l:y=kx+QUOTE22,A(x1,y1),B(x2,y2).由QUOTEx2+2y2=2,y=12(2kx+1)?(2k2Δ=8k2+4(2k2+1)=4(4k2+1),x1+x2=-QUOTE22k2k2+1,x1x2=-QUOTE12k2+1|AB|=QUOTE1+k2|x1-x2|=QUOTEk2+1·QUOTE24k2+12k2=2QUOTE(k2+1)(4k令2k2+1=t,則t≥1,|AB|=2QUOTEt+12·(2t-1)t2=因為0<QUOTE1t≤1,所以2≤|AB|≤QUOTE322.(當(dāng)QUOTE1t=QUOTE12,即t=2時,|AB|max=QUOTE322),故2≤|AB|≤QUOTE322,即|AB|的取值范圍是[2,QUOTE322].考點二橢圓中弦的相關(guān)問題[例2](1)求直線l:x-y+b=0被橢圓+y2=1所截得的弦MN的中點軌跡方程;(2)已知點A(0,-1),能否找到一條直線l:x-y+b=0與橢圓QUOTEx23+y2=1交于兩個不同的點M,N,使得AM⊥AN,若存在,求出b的值;若不存在,請說明理由.解:(1)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x,y),直線x-y+b=0與橢圓+y2=1聯(lián)立得消去y得4x2+6bx+3b2-3=0,由Δ>0得-2<b<2,又x1+x2=-QUOTE32b,x=QUOTEx1+x22=-QUOTE34b,-QUOTE32<x<QUOTE32,y=QUOTEy1+y22=QUOTEx1+x2+2b2=QUOTEb4消去參數(shù)b,得y=-QUOTE13x(-<x<QUOTE32).所以弦MN的中點的軌跡方程為y=-QUOTE13x(-QUOTE32<x<QUOTE32).解:(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由QUOTEx-y+b=0,x23+所以x1+x2=-QUOTE32b,x1x2=QUOTE3(b2-1)4.又因為AM⊥AN,所以QUOTEAM→·QUOTEAN→=0,即(x1,y1+1)·(x2,y2+1)=0,又因為y1=x1+b,y2=x2+b,故2x1x2+(1+b)(x1+x2)+b2+2b+1=0,整理得2b2+b-1=0,所以b=-1或b=QUOTE12.當(dāng)b=-1時,直線過A(0,-1),不符合題意,所以當(dāng)b=QUOTE12時,存在滿足題意的直線l.(1)直線與橢圓相交,常設(shè)一些中間變量而并不解出這些變量,利用這些變量架起已知量與未知量之間的橋梁,從而使問題得到解決,這種方法稱為設(shè)而不求法,點差法和消參法都是設(shè)而不求法的一種,注意使用這些方法.(2)直線與橢圓相交,與弦相關(guān)的垂直、夾角問題,可考慮引入向量,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能簡化一些繁雜的運(yùn)算.已知橢圓QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1(a>b>0)過點(1,QUOTE32),且離心率e=QUOTE12.(1)求橢圓方程;(2)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過定點G(QUOTE18,0),求k的取值范圍.解:(1)因為橢圓的離心率e=QUOTE12,所以QUOTEb2a2=1-QUOTE14=QUOTE34,即4b2=3a2,①又橢圓過點(1,QUOTE32),所以QUOTE1a2+QUOTE94b2=1,②由①②得a2=4,b2=3,所以橢圓的方程為QUOTEx24+QUOTEy23=1.解:(2)由QUOTEy=kx+m,x(3+4k2)x2+8mkx+4m2因為直線與橢圓交于不同的兩點,所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m整理得m2<4k2+3.(*)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中點A(x0,y0),則x1+x2=-QUOTE8mk3+4k2,x1x2=QUOTE4m2-123+4k所以x0=-QUOTE4mk3+4k2,所以y0=kx0+m=-QUOTE4mk23+4k2+m=QUOTE3m3+4k2所以點A的坐標(biāo)為(-QUOTE4mk3+4k2,QUOTE3m3+4k2),所以直線AG的斜率為kAG=QUOTE3m3+4k2-4mk3+4k2-18又直線AG和直線MN垂直,所以QUOTE24m-32mk-3-所以m=-QUOTE3+4k28k,將上式代入(*)式,可得(QUOTE3+4k28k)2<4k2+3,整理得k2>QUOTE120,即k>QUOTE510或k<-QUOTE510.所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-)∪(QUOTE510,+∞).考點三橢圓中的對稱問題[例3]已知橢圓C的方程為QUOTEx24+QUOTEy23=1,試確定m的取值范圍,使得橢圓C上有不同的兩點關(guān)于直線l:y=4x+m對稱.解:法一設(shè)橢圓上A,B兩點關(guān)于直線l對稱,且直線AB交l于M,則由已知可設(shè)直線AB的方程為y=-x+n,解方程組QUOTEy=4x+m,得xM=QUOTE417(n-m).由QUOTEy=-14x消去y,得13x2-8nx+16n2-48=0,(*)所以xM=QUOTExA+xB2=QUOTE4n13,所以QUOTE417(n-m)=QUOTE413n,即n=-QUOTE134m.又A,B在橢圓上,所以(*)中Δ=64n2-4×13(16n2-48)>0,即4n2<13,所以4×QUOTE16916m2<13,所以-QUOTE21313<m<QUOTE21313.即m的取值范圍為(-QUOTE21313,QUOTE21313).法二設(shè)A,B關(guān)于直線l對稱,且直線AB交l于M,則由已知可設(shè)直線AB的方程為y=-QUOTE14x+n.解方程組QUOTEy=4x+m,得xM=QUOTE417(n-m).由QUOTEy=-14x消去y,得13x2-8nx+16n2-48=0,所以xM=QUOTExA+xB2=QUOTE4n13,所以QUOTE417(n-m)=QUOTE413n,即n=-QUOTE134m.所以QUOTExM=413×即M(-m,-3m).因為A,B在橢圓上,所以M在橢圓內(nèi),所以QUOTE(-m)24+QUOTE(-3m)23解得-QUOTE21313<m<QUOTE21313.即m的取值范圍為(-QUOTE21313,QUOTE21313).法三設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB與l的交點M(x0,y0),則QUOTEx124+QUOTEy123=1,①Q(mào)UOTEx224+QUOTEy223=1.②①-②得QUOTEy1-y2x1-x2=-QUOTE34×QUOTEx1+x=-QUOTE3x04y0=-QUOTE14,所以y0=3x0.③又M∈l,所以y0=4x0+m,④聯(lián)立③④解得M(-m,-3m).因為A,B在橢圓上,所以M在橢圓內(nèi),所以QUOTE(-m)24+QUOTE(-3m)23解得-QUOTE21313<m<QUOTE21313.即m的取值范圍為(-QUOTE21313,QUOTE21313).橢圓上有A,B兩點關(guān)于直線l對稱,可轉(zhuǎn)化為三個已知條件:(1)直線AB⊥直線l,即kAB·kl=-1;(2)由弦AB的中點在直線l上,即求得弦AB中點坐標(biāo)代入直線l方程,方程成立;(3)點A,B在橢圓上,即設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則點的坐標(biāo)代入橢圓方程成立,從而可用點差法解題.已知橢圓QUOTEx22+y2=1上兩個不同的點A,B關(guān)于直線y=mx+QUOTE12對稱.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).解:(1)由題意知m≠0,可設(shè)直線AB的方程為y=-QUOTE1mx+b.由QUOTEx22+y2消去y,得(QUOTE12+QUOTE1m2)x2-QUOTE2bmx+b2-1=0.因為直線y=-x+b與橢圓QUOTEx22+y2=1有兩個不同的交點,所以Δ=-2b2+2+QUOTE4m2>0,①設(shè)AB的中點為M,則M(QUOTE2mbm2+2,QUOTEm2bm2+2)代入直線方程y=mx+QUOTE12,解得b=-QUOTEm2+22m2,由①②得m<-QUOTE63或m>QUOTE63.解:(2)令t=QUOTE1m∈(-QUOTE62,0)∪(0,QUOTE62),則t2∈(0,QUOTE32).則|AB|=QUOTEt2+1·QUOTE-2t4+2t2+3且O到直線AB的距離為d=QUOTEt2+12t2設(shè)△AOB的面積為S(t),所以S(t)=QUOTE12|AB|·d=QUOTE12-2(t2-12)

2當(dāng)且僅當(dāng)t2=QUOTE12時,等號成立,此時滿足t2∈(0,QUOTE32).故△AOB面積的最大值為QUOTE22.考點四橢圓中與三角形相關(guān)的問題[例4]已知橢圓C:QUOTEx2a2+QUOTEy2b2=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為QUOTE22,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)△AMN的面積為QUOTE103時,求k的值.解:(1)由已知條件得a=2,e=QUOTEca=QUOTE22,c=QUOTE2,b=QUOTE2,故橢圓C的方程為QUOTEx24+QUOTEy22=1.解:(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由QUOTEy=k(x-消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.因為直線y=k(x-1)過橢圓內(nèi)的點(1,0),所以直線y=k(x-1)與橢圓C恒有兩個不同交點,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=QUOTE4k21+2k2,x1x2=QUOTE2k2-41+2S△AMN=QUOTE12×1×|y1-y2|=QUOTE12×|kx1-kx2|=QUOTE|k|2(x1=QUOTE|k|2×QUOTE16+24k21+2k2=QUOTE103,即7k4-2k2-5=0,解得k=±1.(1)橢圓中涉及三角形面積可考慮用S△=QUOTE12×底×高求面積,這時三角形底一般是直線與橢圓相交弦的長,用弦長公式求得,高一般用點到直線的距離公式求得;(2)求三角形面積時,可根據(jù)具體問題選擇便于求出底邊長及高的情況進(jìn)行求解,這也是求三角形面積應(yīng)注意的問題;(3)四邊形面積可以通過分割的方法轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2019·金華模擬)已知直線y=x+m(m>0)與橢圓3x2+y2=1交于A,B不同兩點,O為坐標(biāo)原點.(1)若QUOTEOA→⊥QUOTEOB→,求m的值;(2)若△OAB為銳角三角形,求△OAB面積S的取值范圍.解:(1)設(shè)A(x1,x1+m),B(x2,x2+m),x1<x2,聯(lián)立方程組QUOTEy=x+m,消元得4x2+2mx+m2-1=0,則x1+x2=-QUOTEm2,x1x2=QUOTEm2-14,由Δ>0,得m2<QUOTE43.由QUOTEOA→⊥QUOTEOB→,得QUOTEOA→·QUOTEOB→=x1x2+(x1+m)(x2+m)=m2-QUOTE12=0,又m>0,解得m=QUOTE22.解:(2)由(1)得4x2+2mx+m2-1=0,解得x1=QUOTE-m-4-3m24,x2=QUOTE-m+因為△OAB為銳角三角形,故QUOTEOA→·QUOTEOB→>0,QUOTEAO→·QUOTEAB→>0,QUOTEBA→·QUOTEBO→>0,即有QUOTEx1x2+(解得QUOTE22<m<1.|AB|=QUOTE2|x1-x2|=QUOTE224-3m2,原點O到直線AB的距離為QUOTEm2,所以△OAB面積S=QUOTEm44-3m=QUOTE14-3(m2-又QUOTE12<m2<1,所以△OAB面積S的取值范圍是(QUOTE14,QUOTE36].直線與橢圓相交弦問題[例題]已知橢圓G:QUOTEx24+y2=1,過點(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點.(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率;(2)將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得a=2,b=1,所以c=QUOTEa2-b2=QUOTE3.所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(-QUOTE3,0),(QUOTE3,0),離心率為e=QUOTEca=QUOTE32.解:(2)由題意知|m|≥1.當(dāng)m=1時,切線l的方程為x=1,點A,B的坐標(biāo)分別為(1,QUOTE32),(1,-QUOTE32),此時|AB|=QUOTE3.當(dāng)m=-1時,同理可得|AB|=QUOTE3.當(dāng)|m|>1時,設(shè)切線l的方程為y=k(x-m).由QUOTEy=k(x-得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=QUOTE8k2m1+4k2x1x2=QUOTE4k2m2-4又由l與圓x2+y2=1相切,得QUOTE|km|k2+1即m2k2=k2+1.所以|AB|=QUOTE(x2-x1=QUOTE(1+k2)[(x=QUOTE(1+k2)[=QUOTE43|m|m2由于當(dāng)m=±1時,|AB|=QUOTE3也適合上式,所以|AB|=QUOTE43|m|m2+3,m∈(-∞,-1]∪因為|AB|=QUOTE43|m|m2+3=QUOTE43|m|且當(dāng)m=±QUOTE3時,|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.規(guī)范要求:(1)求離心率e,要緊扣其定義e=QUOTEca.(2)聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解是此類問題的常用解法.溫馨提示:解答本題時易忽略的步驟(1)對m的范圍不作出判斷.(2)判斷出m的范圍后不去分m=-1,m=1,|m|>1進(jìn)行討論.(3)化簡|AB|=QUOTE43|m|m2+3時,易忽略m的范圍而化簡|AB|=QUOTE43mm(4)對|AB|的最值求法不會使用基本不等式變形求最值.對于直線與橢圓的綜合問題,因為其綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,能力要求較強(qiáng),注意平時訓(xùn)練要嚴(yán)謹(jǐn),以提高綜合解題能力.[規(guī)范訓(xùn)練](2018·天津卷)設(shè)橢圓QUOTEx2a2+=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的離心率為QUOTE53,點A的坐標(biāo)為(b,0),且|FB|·|AB|=6QUOTE2.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P,且l與直線AB交于點Q.若QUOTE|AQ||PQ|=QUOTE524sin∠AOQ(O為原點),求k的值.解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有QUOTEc2a2=QUOTE59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=QUOTE2b,由|FB|·|AB|=6QUOTE2,可得ab=6,從而a=3,b=2.所以橢圓的方程為QUOTEx29+QUOTEy24=1.解:(2)解設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1,y1),點Q的坐標(biāo)為(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因為|AQ|=QUOTEy2sin∠OAB,而∠OAB=QUOTEπ4,所以|AQ|=QUOTE2y2.由QUOTE|AQ||PQ|=QUOTE524sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程組QUOTEy=kx,x29+y24=1,消去x,可得y1=易知直線AB的方程為x+y-2=0,由方程組QUOTEy=kx,x+消去x,可得y2=QUOTE2kk+1.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3QUOTE9k2+4,兩邊平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=QUOTE12或k=QUOTE1128.所以k的值為QUOTE12或QUOTE1128.類型一直線與橢圓的位置關(guān)系問題1.直線y=x+2與橢圓QUOTEx2m+QUOTEy23=1有兩個公共點,則m的取值范圍是(B)(A)(1,+∞) (B)(1,3)∪(3,+∞)(C)(3,+∞) (D)(0,3)∪(3,+∞)解析:由QUOTEy=x+2,x2(m+3)x2+4mx+m=0(m>0).由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.故選B.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+QUOTE3y+4=0有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為(C)(A)3QUOTE2 (B)2QUOTE6 (C)2QUOTE7 (D)4QUOTE2解析:根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為QUOTEx2b2+4+QUOTEy2b2=1(b>0),則將x=-QUOTE3y-4代入橢圓方程,得4(b2+1)y2+8QUOTE3b2y-b4+12b2=0,因為橢圓與直線x+QUOTE3y+4=0有且僅有一個交點,所以Δ=(8QUOTE3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,所以b2=3,長軸長為2QUOTEb2+4=2QUOTE7.故選C.類型二直線與橢圓的弦長問題3.斜率為1的直線l與橢圓QUOTEx24+y2=1相交于A,B兩點,則|AB|的最大值為(C)(A)2 (B)