案例九馬爾科夫預(yù)測

案例九馬爾科夫預(yù)測一、 市場占有率的預(yù)測重點例1：在北京地區(qū)銷售鮮牛奶主要由三個廠家提供。分別用1,2,3表示。去年12月份對2000名消費者進(jìn)行調(diào)查。購買廠家1,2和3產(chǎn)品的消費者分別為800，600和600。同時得到轉(zhuǎn)移頻率矩陣為：(320240240)N=36018060^36060180/其中第一行表示，在12月份購買廠家1產(chǎn)品的800個消費者中，有320名消費者繼續(xù)購買廠家1的產(chǎn)品。轉(zhuǎn)向購買廠家2和3產(chǎn)品的消費者都是240人。N的第二行與第三行的含義同第一行。（1） 試對三個廠家1~7月份的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。（2） 試求均衡狀態(tài)時，各廠家的市場占有率。解：（1）用800，600和600分別除以2000，得到去年12月份各廠家的市場占有率，即初始分布po=（0.4,0.3,0.3）。用800，600和600分別去除矩陣N的第一行、第二行和第三行的各元素，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：‘0.40.30.3)P=0.60.30.1^0.60.10.3/于是，第k月的絕對分布，或第月的市場占有率為：Pk=po-P(k)=poPk(1,2,3,,7)…‘0.40.30.3、k=1時，pl=(0.40.30.3)0.60.30.1=(0.520.240.24)"0.60.10.3)k=2時，p2=(0.40.30.3)P2=(0.520.240.24)P=(0.4960.2520.252)k=3 時p3=(0.40.30.3)P3=(0.4960.2520.252)P=(0.50080.24960.2496)類似的可以計算出p4，p5，p6和p7?，F(xiàn)將計算結(jié)果繪制成市場占有率變動表，如表所示：

從表中可以看到，廠家1的市場占有率隨時間的推移逐漸穩(wěn)定在50%，而廠家2和廠家3的市場占有率隨都逐漸穩(wěn)定在25%.由于轉(zhuǎn)移概率矩陣P是正規(guī)矩陣，因此P有唯一的均衡點r。由本例可知，|i=（0.50.250.25）。由定理可知，limp0-Pk=r=（0.50.250.25），即隨著ks時間的推移，三個廠家的市場占有率逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，各廠家的市場占有率分別為50%、25%和25%。由表可以看出，第三個月時，市場已經(jīng)基本達(dá)到均衡狀態(tài)，此時，各廠家的市場占有率與均衡狀態(tài)時的市場占有率的誤差已不足千分之一。例2：飛躍、金星、凱歌、英雄電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)同時在某市銷售，由于產(chǎn)品質(zhì)量、價格、經(jīng)營管理水平、服務(wù)態(tài)度、質(zhì)量等因素影響，每月訂戶都有變化。根據(jù)8、9月份的變化，預(yù)測本年后三個月各廠家的用戶占有率。（1）調(diào)查目前的用戶占有及變動情況8月1日的訂戶到9月1日發(fā)生變化的情況表7.5 8、9月各廠訂戶廠家飛躍（1）金星（II）凱歌（III）英雄（IV）8月份訂戶5454954173829月1日失去訂戶655552549月1日保留訂戶4804403653289月1日訂戶保留88.1%88.9%87.5%85.9%率7.6 8、9月各廠訂戶的變動廠家1IIIIIV8月用戶占有數(shù)1480302015545II244401615495III182036514417IV1525143283829月用戶占有數(shù)53751541537218399月份四廠總用戶為1839,各廠家的用戶占有率分別為：0.292,0.280,0.226,0.202①初始狀態(tài)向量S（o）二（0.2920.2800.2260.202）（2） 計算用戶轉(zhuǎn)移概率飛躍廠、金星廠同理可以計算得到凱歌廠。將以上計算結(jié)果寫成矩陣就是8~9月的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（3） 預(yù)測若本年后三個月各月之間用戶陣移概率不變，則可以采用（7.5）式的數(shù)學(xué)模型預(yù)測。10月各廠的用戶占有率為S（i）=S（0）-P廠.8810.0550.0370.027=（0.2920.2800.2260.202） 0.0490.8890.0320.0300.0430.0480.8750.034I.一0.0390.0650.0370.859二（0.2890.2890.2250.197）11月各廠用戶占有率為 S⑵=S（1）■P,-0.8810.0550.0370.02、二(0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.0320.030^0.0430.0480.8750.03^0.0390.0650.0370.859二(0.2860.2970.2240.193)12月各廠用戶占有率為S(3)=S⑵?P=(0.2860.2970.2240.193)-P二(0.2840.3030.2230.190)預(yù)測結(jié)果表明，如果各廠家占有用戶的變化依上述規(guī)律進(jìn)行，到該年底，原來用戶占有率比較接近的四個廠家將產(chǎn)生很大差異。金星廠的用戶占有率將明顯高于其他廠，由9月份的第二位躍進(jìn)居第一位，而英雄廠則大大低于其他廠。馬爾科夫穩(wěn)態(tài)了解二、人力資源預(yù)測重點例：某高校為編制師資發(fā)展規(guī)劃，需要預(yù)測未來教師隊伍的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)在對教師狀況進(jìn)行如下分類：青年，中年，老年和流退(流失或退休)。根據(jù)歷史資料，各‘0.80.1500.05、類教師(按一年為一期)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=000.7500.20.80.050.210001/目前青年教師400人，中年教師360人，老年教師300人。試分析3年后教師的結(jié)構(gòu)以及為保持編制不變，3年內(nèi)應(yīng)進(jìn)多少碩士和博士畢業(yè)生充實教師隊伍。解：設(shè)目前的教師結(jié)構(gòu)為〃。=(4003603000)，則一年后教師結(jié)構(gòu)為：ni=n0P=(32033031298)，流退人員98人，為保持編制不變，第一年學(xué)校需進(jìn)98人，此時青年教師為320+98=418人。教師結(jié)構(gòu)為：ni=(4183303)。20*兩年后教師結(jié)構(gòu)為：n2=ni-P=(4183303120)P=(334310316100)*第二年流退100人，因此第二年需進(jìn)100名碩士和博士畢業(yè)生，此時青年教師為334+100=434人。教師結(jié)構(gòu)為n：=(4343103160)。三年后教師結(jié)構(gòu)為：n3=n2-P=(4343103160)P=(347298315100)*第三年流退100人，因此第三年需進(jìn)100名碩士和博士畢業(yè)生，此時青年教師為347+100=447人，教師結(jié)構(gòu)為n：=(4472983150)。綜上所述，3年內(nèi)需進(jìn)碩士和博士畢業(yè)生298名。三年后教師結(jié)構(gòu)為：青年教師447人，中年教師298名，老年教師315名。三、項目選址問題例：某汽車修理公司在北京市有甲、乙、丙3個修理廠，由于公司注重對員工的技術(shù)培訓(xùn)，樹立顧客至上、信譽(yù)第一的理念，采用先進(jìn)管理模式，所以公司在本行業(yè)具有良好的形象，形成了一定規(guī)模的、穩(wěn)定的客戶群。對客戶的調(diào)查顯示，'0.80.20、客戶在甲、乙、丙3個修理廠之間的轉(zhuǎn)移概率為：P=0.200.8"0.20.20.6)由于公司的原因，公司目前打算只對其中的一個維修廠進(jìn)行改造，并擴(kuò)大規(guī)模。

試分析應(yīng)選擇那個維修廠?！?.680.320.32、解：由于P2=0.160.200.16的所有元素都大于0,所以P是正規(guī)矩陣。"0.160.480.52)因此P存在唯一的概率向量目=("七七)。解線性方程組：］("T*t=0［日+日+日=1'—0.2旦+0.2旦+0.2旦=0日n 0.2L一旦+20.2旦=0即< 1 2 30.8旦—0.4旦=023旦+旦+旦=1得唯一解：R=［ 試分析兩年后應(yīng)收賬款的分布情況。111 試分析兩年后應(yīng)收賬款的分布情況。"263)由此可以看出，長期趨勢表明，當(dāng)公司的客戶在3個維修廠之間的轉(zhuǎn)移達(dá)到均衡狀態(tài)時，大約有50%的客戶在甲廠維修，大約有16.67%的客戶在乙廠維修，大約有33.33%的客戶在丙廠維修，因此應(yīng)選甲廠進(jìn)行項目投資。四、最佳經(jīng)營策略選擇例：北京地區(qū)銷售鮮牛奶是由3個廠家提供的，該地區(qū)客戶總數(shù)為100萬戶，假設(shè)廠家從每個客戶那里每年平均獲利50元。廠家2的市場調(diào)查顯示，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：‘0.40.30.3、P=0.60.30.1"0.60.30.1)均衡狀態(tài)下市場占有率分別為50%，25%和25%,廠家2認(rèn)為應(yīng)采取積極的營銷策略，提高市場占有率，為此設(shè)計了兩套方案。方案一旨在吸引老客戶。方案一的實施需花費約450萬元，實施方案后估計轉(zhuǎn)移‘0.40.30.3、概率矩陣為：P=0.30.701"0.60.10.3)方案二希望吸引廠家1和廠家3的客戶，方案的實施需花費大約400萬元。實施‘0.30.50.2、方案后，估計轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P=0.60.30.1試選擇最佳方案。2"0.40.50.1)解：方案一，顯然解：方案一，顯然P「的所有元素都大于0，所以q為正規(guī)矩陣。故q有唯一的固定點^=(七,七,叩。解線性方程組：]("T*「=0[^+r+p=1—0.6p+0.3p+0.6p—0板 0.3/-0叩1 試分析應(yīng)收賬款的最終分布情況。+0.早解：這是一個馬爾科夫鏈問題。狀態(tài)空間為S 試分析應(yīng)收賬款的最終分布情況。解：這是一個馬爾科夫鏈問題。狀態(tài)空間為S=(1,2,3,4,5)，其中狀態(tài)4是還清，狀態(tài)5是呆賬。即{ 1 2 30叩-0.7^—023^+^+^—1得唯一解^=(0.39,0.44,0.17)因此，當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，廠家2的市場占有率達(dá)到44%，比原來增加了19個百分點，由此帶來的利潤為：0.19x100x50—950(萬元)方案一成本為450萬元，因而實際比原來多獲利500萬元。方案二，類似地可得到P2的固定概率向量為r=(0.44,0.42,0.14)，即當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，廠家2的市場占有率為42%，比原來增加了17個百分點，由此帶來的利潤為：0.17x100x50—850(萬元)實施方案2的成本為400萬元，因而實際比原來多獲利450萬元。比較方案一和方案二可知，實施方案一要比實施方案二多獲利50萬元。因此應(yīng)選擇方案~0五、銀行貸款回收問題X例：某商業(yè)銀行在結(jié)算時發(fā)現(xiàn)，賬目未結(jié)清的客戶共有800戶。其中欠款時間為-年的有400戶，兩年的為250戶，三年的有150戶。銀行規(guī)定，如果三年后仍不還款，則將其列入呆賬(指無法收回的應(yīng)收賬款)。根據(jù)以往經(jīng)驗，還款情況隨時間轉(zhuǎn)移的概率分布如表所示。表 還款情況隨時間轉(zhuǎn)移的概率分布表123還清呆賬100.300.60.12000.50.30.230000.40.6還清00010呆賬00001(00.300.60.1\000.50.30.2由題設(shè)知，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:P=3450.4100.60由題設(shè)知，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:P=3450.4100.601(00.30'(0.60.1)000.5R=0.30.2"0 0 0)"0.40.6/恰好是標(biāo)準(zhǔn)形。其中Q=(00

00"。所以兩年后結(jié)清欠款的客戶(1)因為連續(xù)兩年的轉(zhuǎn)移概率矩陣為:P(2)=P2=00000的)0.150.690.16)00.50.500.40.6010001)構(gòu)成為：(400,250,150,0,0)P(2)=(0,0.60,461,279)這說明兩年后，800戶中平均有461戶已結(jié)清，279戶已變成呆賬，還有60戶尚未還清。(10.3所以B=MR(10.3所以B=MR=0 1"000.15丫0.60.50.30.1\(0.750.20.51火0.40.6)"0.40.25)0.50.6/1(10.30.15'由于M=(I-Q)-1=201°.53^00 1/(3)由矩陣B可以看出，處于狀態(tài)1，即欠款一年的400個應(yīng)收賬款中有75%將被狀態(tài)4吸收，其余25%被狀態(tài)5吸收。也就是說，平均有300個應(yīng)收賬款將結(jié)清,其余100個將成為呆賬，同理欠款兩年的250個應(yīng)收賬款中，平均有一半會結(jié)清，另一半會成為呆賬。欠款三年的150個應(yīng)收賬款中，平均有60個將結(jié)清，其余90個將成為呆賬。因此，在總共800個應(yīng)收賬款中，平均來說，最終將有485個結(jié)清，其余315個成為呆賬。六、保修費估計問題，X例：某手機(jī)生產(chǎn)廠家出售的手機(jī)有三年的保修期。假設(shè)保修期內(nèi)一旦產(chǎn)品需要修理，修理后就能保證在保修期內(nèi)不需再修理。對出售的產(chǎn)品分5種狀態(tài)進(jìn)行考察。狀態(tài)i表示產(chǎn)品出售時間在第i年內(nèi)(i=1,2,3)，0狀態(tài)4表示保修期滿，狀態(tài)5表示產(chǎn)品需要修理。根據(jù)以往經(jīng)驗，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

1(00.95000.05)2000.900.1P=30000.80.24000105"00001)假設(shè)最近三年已售出產(chǎn)品的情況為：出售時間在一年內(nèi)的有30萬個，滿一年不到兩年的有20萬個，滿兩年不足三年的有10萬個，用向量。二（30,20,10）表示。試對已售出產(chǎn)品所需的保修費進(jìn)行估計（假設(shè)平均每個手機(jī)的修理費為20元）。1(00.950\解：這是馬爾科夫鏈問題。轉(zhuǎn)移矩陣恰好是標(biāo)準(zhǔn)形，其中Q=20 0 0.9"0 0 01R=21R=23(00.05'1(100.855)00.1基本矩陣為：M=(I-Q)-1=2010.9^0.80.2/3"001)于是：B=MR=(100.855)(00.05'1(0.6840.316、010.900.1=20.720.28"001>^0.80.2/3"0.80.2)由矩陣B可以看出，在出售時間不滿一年的30萬個手機(jī)中，約有30x31.6%=9.48萬個需要修理，滿一年不足兩年的20萬個手機(jī)中，約有20x28%=5.6萬個需要修理，滿兩年不滿三年的10萬個手機(jī)中，約有10x20%=2萬個需要修理。因此，在已售出的60萬個手機(jī)中，約有17.08萬個需要修理。顯然，通過計算(0.6840.316\UB=(30,20,10)0.720.28=(42.92,17.08)可直接得到修理的手機(jī)為17.08萬"0.8 0.2)個。修理費用約為17.08x20=341.6萬元。七、其他方面的應(yīng)用例1：例1.某廠晶體管袖珍收音機(jī)銷售的分析預(yù)測該廠自投放市場以來各個月的銷售情況如表，分析下月可能的銷量。（1）選擇預(yù)測方法該廠業(yè)務(wù)推銷員通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，影響該收音機(jī)銷量的因素很多，除產(chǎn)品質(zhì)量、價格、經(jīng)營管理水平等外，還與某個時期是否有同類新產(chǎn)品投放市場有關(guān)。鑒于各種隨機(jī)因素影響，產(chǎn)品銷量波動較大，難以用因果回歸分析法預(yù)測，擬采用時間序列分析法。時序（t）銷量時序（t）銷量時序（t）銷量183.4870.91563.5285.99138.316103.93106.110124.71777.84154.41195.818114.45132.012139.019157.6647.51363.720190.2745.81485.121105.9（2） 繪制時序曲線圖從圖形看，時間序列無明顯的趨勢變動，也沒有季節(jié)變動，無法采用趨勢外推法或季節(jié)變動預(yù)測法。但可以將其看作一隨機(jī)平穩(wěn)序列。收音機(jī)在時刻t的銷售狀況一般來說只與其前一刻即t-1時的銷售狀況有關(guān)，而與t-1時以前的狀況無關(guān)，所以考慮采用馬爾可夫法。由于只需預(yù)測下一月銷量的可能性，故用一重鏈狀相關(guān)預(yù)測。（3） 狀態(tài)劃分銷量直接與利潤多少相聯(lián)系，根據(jù)利潤情況劃分產(chǎn)品銷售狀態(tài)。（1）如每月能銷售100千臺，可以做到不虧損。維持低水平生產(chǎn)。（2）銷售150千臺，除繳納各種銳金，完成企業(yè)必要留利外，職工可以得獎金15元/人■月，正常銷售狀態(tài)。（3）銷售大于150千臺，就處于高水平生產(chǎn)，暢銷狀態(tài)。銷量記作Y,銷量的三個狀態(tài)可作如下劃分Y<100（千臺） （低水平銷售狀態(tài)）100（千臺）WYW150（千臺） （正常銷售狀態(tài)）Y>150（千臺） （暢銷狀態(tài)）（4） 計算初始概率Pi各種狀態(tài)出現(xiàn)總點數(shù)（N）和分別處于不同狀態(tài)的點數(shù)（M,，計算各狀態(tài)的初始概率。（表7-2）表7.2 各狀態(tài)初始概率狀態(tài)低水平（E） 1 正常（E）暢銷（E） 3 狀態(tài)界限（千臺）處于該狀態(tài)的總數(shù)M初始概率P 1 YV1001010/212100WYW15088/21Y>150EM=N=213/21（5）計算一步轉(zhuǎn)移概率Pij從某一狀態(tài)向另一狀態(tài)轉(zhuǎn)移的點數(shù)Mij，計算出一步轉(zhuǎn)移概率。因為M1=10,M1j5，M12=5,M13=0（轉(zhuǎn)移點數(shù)10=5+5）所以P11=5/10,P12=5/10， P13=0（一步轉(zhuǎn)移概率）因為M=8,M=4,M=1,M=2（轉(zhuǎn)移點數(shù)10=5+5）2212223所以P21=4/7,P22=1/7,P23=2/7（一步轉(zhuǎn)移概率）因為M3=3,M3i=0,I'2，M33=1所以P31=0,P32=2/3,P33=1/3（一步轉(zhuǎn)移概率）寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P「1/21/20、P=4/71/72/702/31/3（6）預(yù)測t+1期只與t期有關(guān)，即：22期只與21期相關(guān)，第21期的銷量為105.9千臺，屬于正常銷售狀態(tài)E2，（100W105.9W150）由此經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)各個狀態(tài)的概率關(guān)系：P21=4/7>P23=2/7>P22=1/7P21突出地大于P23和P22，這說明銷量在目前狀態(tài)下，經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到低水平的可能性最大。故預(yù)測第22期收音機(jī)的銷量不會超過100千臺。例2.分析預(yù)測我國鋼鐵消耗比鋼材和生鐵是機(jī)械工業(yè)的主要用材，1990年我國機(jī)械工業(yè)鋼材和生鐵的消耗量之比（鋼鐵消耗比）將會有多大，這是經(jīng)濟(jì)管理人員和工程技術(shù)人員關(guān)心的問題，進(jìn)行分析預(yù)測。（1） 遠(yuǎn)擇預(yù)測方法：它沒有明顯的上升或下降趨勢，波動較大，帶有很大隨機(jī)性，無法采用趨勢外推法。一般情況下，t年的狀態(tài)與前一年（t-1）的狀態(tài)有關(guān)，而與t-1年以前的狀態(tài)關(guān)系不大，可近似地認(rèn)為具有馬爾可夫性。1958年大煉鋼鐵使鋼鐵比數(shù)值發(fā)生較在波動，其他年份我國機(jī)械工業(yè)在鋼鐵