數(shù)學(xué)分析選講

第一章極限

1.Xf00時(shí)指數(shù)函數(shù)的極限：

/r、limax-+ooa>1

(1)卜TE,(2)

lim優(yōu)=0a>1

-00

lima'=Flimax=b=limax

X—>aCXf+aoXT—00

例1.(重點(diǎn)例子)計(jì)算：lim10、lim10',lim10’

X->+00XT-00

解:因?yàn)椋簂im10'=+8.lim10v=lim(—)-x=0?limit)'

XT-00X—>-001°X—>00

不存在.

例2.計(jì)算：lim3,

X->-00

例3.計(jì)算極限：所止！

tfx-1

角星：lim------=limCx2+^+l)=3

I】x-1x—>1

2.左右極限：

?a表示x可以從a的兩側(cè)趨于a,當(dāng)X從

〃的右側(cè)趨于〃時(shí)，記為m當(dāng)X從〃的左側(cè)

趨于時(shí)，記為31.

把lim/(x)=Z?叫小)在a點(diǎn)的右極限，把

x-a+

lim/(x)=b口,〃x)在a點(diǎn)的左極限，

x-a~

定理：lim/(x)=/7<=>lim/(x)-b-lim/(x)

x-ax-a+x-a~

例1.計(jì)算lim華包=0

3Jx-3

例2.證明limlO：不存在.

xrO

11

,x—>0+,>—8,limlO'=0

xio

/.limlO^不存在，

課堂作業(yè)：1：設(shè)g(x)=—J—,證明：1)物g(x)=O,

10；+1

limg(x)=1；

x->0-

2)8。)在點(diǎn)》=0不存在極限。

3.兩個(gè)重要極限與羅比塔法則

兩個(gè)重要極限：(1)lim皿=1；(2)lim(l+ir=e

x->0%xf+oo%

注：把上面的極限過(guò)程改寫(xiě)成：3心3±8,38

定理也成立.

例1.計(jì)算1)lim(上),,2)lim(l-2x2)7

XT8]+XX->0

分析：當(dāng)函數(shù)是塞指函數(shù)時(shí)，?？紤]第

二個(gè)重要極限。

11-/XXA1-11

17lim(---)=lim-----——=一

—81+xxfg(i+J_)xe

x

0\-L—!(-2)

Z)lim(l—2/)，=lim[l+(-2x2)]-2?

XTO,V->0

=lim{[l+(-2-)12/}-2=e-2

.sO

例2.計(jì)算(1)lim包包；(2)lim匕警；(3)

sin2xxf0x

tanx-sinx

lim

,r->0x3

分析：凡是函數(shù)的解析式中含有sinx

的因式時(shí)常考慮第一個(gè)重要極限。

c?2Rc?2X.x

2sin-2sin-sin—

1-cosX

2lim--------lim(i

解：（2）lim2lim

Xf0Xxf0x2x->02ioX2

2

3)原式

sinx.G?2%

-sinx------12sin-i

1-cosx21

二lim運(yùn)J一limcosxlim==lrim-------q=—

22

x->0xx->0COSX?XXT°COSX?X2

羅比塔法則：若Hm染是型和，叫未定式,則

Ia0(%)000

r/(x)r/⑴j

i0(x)…“(x)

注：把上面的極限過(guò)程改寫(xiě)成：…/…±8-00

定理也成立.

例L計(jì)算：(l)limJ%a/〉o)(2)尉廿一

*T°x1°sinx

71

(3)f冶,(4),lim—⑥(5)

xfy.10tan

sin—XT與■3x

x

1.Inx

lim——

Xf+8X，

解:

(2)

sinx-xcosx0—cosx-xsinxxsinxx1

hm----------------(―z)x-hm-----------------=lim---------=lim-------=-

xf。sinx0XT。3sinxcosx3sinxx->03sinx3

fQA尸arctanx0。一表x2

\O7lim-------------(一)=lim-------——=lrim-------=1

XT+OOsin10V)cos1x-xl+x

xXx

上面介紹了兩種類(lèi)型的未定式號(hào)，令的極

000

限,實(shí)際上還有五種類(lèi)型的未定式：

3.O-oo(limxlnx);4.P(lim(1+—)r);5.8°(lim1,加是常數(shù))

X->0+XT+OOXX-+0C

6.0°(lim(tanx)s,nA)7.00-00(lim(--------，))，這五種

.so+*旬Inxx-\

未定式的極限是不能直接應(yīng)用羅比塔法則

計(jì)算的，但是可以先化成1與方型的未定式再

000

應(yīng)用羅比塔法則計(jì)算其極限.

例2.計(jì)算limxlnx

.t->0+

limx\nx(0.oo)=lim""(―)=lim—^―=-limT=0

角聚：+

A—>o*1()+Loo4->o+—i-2*->o

Xx

作

x+a(x-a)-(x+a))

、彩百.(一/

\H匕/.?li-imxIin-X--+---(0-co)=hrm—m—(―0)=lim----------------=lim-l-a--x----二2

18X-aXT810XT8—_LXTCO/一〃2

XX

例3.計(jì)算hma+與(m是常數(shù))

xfyX

解：lim(1+與(r)=lim=lim,

X-XXT+<?X-4+OO

mln(l+—)1+絲，x'機(jī)

,/limx\n(l+—)(0?oo)=lim-------lim—￡-------=lim；~~-=m

XT+COXX->+00-Lx—>+coLXf+X"]+3

xx2

lim(l+-)A=em

XT+XX

例4.limC-1——

-Inxx-1

解：

].(x-1)一Inx,0、,1~7lim)-J——-(-)1

lim—------------㈠=lim-------------------lim

(x-1)Inx0…iInx+(x—1)?，X-xInx+(x-1)0x-1Inx+1+

例5.問(wèn)a與b取何值時(shí)，有極限1期(岑+,匕)=0

分析：???郵券+“)=。不能求極限，所以先通

分

解：)(乎+.+份二Y一3x：一.(二、-。，要使

分式存在極限，必須lim(sin3x+奴+對(duì))=。)A

I。0

..3cos3工+。+3。工2/0、..-9sin3x+bx0..一9cos3x+6b八

=lim--------z------(—)=lim------------(z—)x=lim-------------=0

.io3X0IOx0106

??9

??lim(-9cos3x+2b)=0,??^=~

3^?lim(3cos3x+a+3bx2)=0(?)

x->0

*

??3+Q=0,a=-3

例6.設(shè)函數(shù)小)在a點(diǎn)可導(dǎo)，且/⑷/0,求極

/(?+-)T

______n_

lim

限:/(a)■

(應(yīng)用羅比塔法則)：分析：令X」，則

n

/2-?00<=>x->0，

解法二：先計(jì)算極限1與建f：因?yàn)轹繉媐

…叱/(?)」…叱/(?)_

(1")—lime，，⑷

XTO

,.1iml.ln/^2(0.oo)=limUn—/W=/…=上

—ox/(a)iox'io1/(a)

所以lim「g^f=e緇，所以.上皇=e需.

T于(a)J…/⑷

注：本例告訴我們：有些數(shù)列極限可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限來(lái)

求！

課堂作業(yè)：求極限：Hm(〃tan與2

KT8n

作業(yè)：1.計(jì)算：(1)lim(cosx)，(=1);(2)lim(tanx)sinA(=1);

A->0XfO+

(3).("+的.+%尸(%>0,i=1,2,3)(=y]a]a2ai);

2.計(jì)算：(1)lim"一'(=a"(lna-1))；

i"x-a

(2)lim”~+揚(yáng)](a,&>0).

"T2J

1

(5)limf任用"(=cota)⑹lim萬(wàn)啦魴.….而(=2).

4.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

定理：設(shè)函數(shù)/")連續(xù)，則積分上限函數(shù)F(x)="⑴力的

導(dǎo)數(shù)：

，f

尸(x)="⑺力=/(x).注：=/ie(x)]/(x)；

\?J\aJ

f

，例x)、

=f[(p(x)]-(p'(x)-/[v(x)]-v\x).

I心aJ

sin2x

xfln(l+t)dt

例1.求極限：(1)lim'f上理力；(2)1*---------.

例2.已知曲線y=/(x)在x=l處的切線方程是y=x-1,求極限

1-V-

lim—-------一一)小

1°xIncosx*

作業(yè)：1.求導(dǎo)數(shù)尸(x)：已知F(x)=H產(chǎn)力.

2.求極限：(1)Vl+2sin.r-￡-l

lim(2)lim(q3-;

1。xln(l+x)

第二章無(wú)窮小

1.無(wú)窮小定義：若lim/(x)=O,則稱/(x)是當(dāng)XT?。時(shí)的無(wú)窮小。

即：在某一個(gè)極限過(guò)程中，以極限為0的變量叫無(wú)窮小.

例.出下列函數(shù)，是什么時(shí)候的無(wú)窮小.

(1)y=x2；(2)/(x)=^sinx(x->0,x—>kjr)；(3)/(x)=——

x+1

(4)y=(3，(5)y=3'(6)=^—(7)/(x)=0

2.窮小的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小.

討論：△也是不是無(wú)窮小?(不一定!)舉例說(shuō)明。

g(x)

(2)當(dāng)時(shí)/(x)是無(wú)窮小，g(x)(xw〃(a))是有界量：3M>0,

Vx&U(a)WIg(x)l<M,則/(x)g(x)是無(wú)窮小(x->0).

即：無(wú)窮小與有界量的積任是無(wú)窮小.

上面性質(zhì)是非常重要的，請(qǐng)記住.

例1.計(jì)算limxsin，(?.?當(dāng)xf0時(shí)，sin,不存在極限，,本題是不能用極限

10XX

的運(yùn)算法則求之，而只能根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)求之：:X是無(wú)窮小(xf0),sin，是

X

有界量，，xsinL仍是無(wú)窮小，，心也,—>0)

xx

3.無(wú)窮小階的比較

我們知道兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小，但商可能是無(wú)窮小，非無(wú)窮

小，甚至還可能是無(wú)窮大，例如：limx=O,lim/=0,10才，.,?當(dāng)工_>0時(shí)，x

XTOXTO

2

與f都是無(wú)窮小，但lim2=8,lim二=0,為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的現(xiàn)象呢？這

x->0x/x->0x

是因當(dāng)Xf0時(shí)■,x,10x,y都在f0,但它們趨于0的速度是不同的，步較快，x

與10x差不多，那么怎樣來(lái)刻畫(huà)無(wú)窮小趨0的速度(快慢)呢？給出下面定義：

(1)無(wú)窮小階的比較：設(shè)當(dāng)時(shí)，/(x),g(x)都是無(wú)窮?。磺襣(x)#O,

則：(1)若lim以2=0,稱/(x)比g(x)是高階無(wú)窮小，記為/(x)=o(g(x))；

Dg(x)

(2)若lim/^=bwO,稱/(x)比g(x)是同階無(wú)窮??；

fg(x)

特別地：若lim3=l,稱/(x)與g(x)是等階無(wú)窮小，/(x)-g(x).

』g(x)

從上面定義我們看到，/(x)比g(x)的高階無(wú)窮小，是指x->a時(shí)，/(x)與

g(x)都趨于0，但/(x)趨于0的速度比g(x)更大：

例如：x:0.10.010.001........

x-0：X-.0.10.0010.00001.......

而/(x)與g(x)是同階無(wú)窮小，指的是/(x)與g(x)趨于0的速度基本差不多;

/(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，則它們趨于0的速度是完全一樣的.

(3)定理：高階無(wú)窮小的和、差、積仍是高階無(wú)窮??；高階無(wú)窮小與有界

量的積仍是高階無(wú)窮小.

本節(jié)需要記憶的概念：

1.無(wú)窮小的性質(zhì)：無(wú)窮小的和、差、積、與有界量的積，仍是無(wú)窮小.

2.定理：limf(x)=￡><=>f(x)-b=a(x)是無(wú)窮小(x—>a).

.r—

3.無(wú)窮小階的比較：即(x)與g(x)都是無(wú)窮小，則：

⑴若1沁/(2=0,稱/(x)比g(x)是高階無(wú)窮小，記為/(x)=o(g(x))；

-0g(x)

(2)若lim/(x)/g(x)=6w0,稱/(x)比g(x)是同階無(wú)窮小；

特別地：若=稱/(x)與g(x)是等階無(wú)窮小，/(x)?g(x).

-g(x)

4.定理：高階無(wú)窮小的和、差、積仍是高階無(wú)窮??；高階無(wú)窮小與有界量的

積仍是高階無(wú)窮小.

作業(yè)：

1.證明：(1)/(x)=sinx?與g(x)=/是等價(jià)無(wú)窮小(x—>0).

(2)a=—二比2=——是高階無(wú)窮小(x->oo)

"1+?4"?3+5

Y+21

2.證明：(1)-..=o(―),(x->oo)；(2)x3-1~3(x-l),(x-?1).

x+3廠

3.確定常數(shù)a/,c的值，使lim""snr(c^0)

3產(chǎn)+“)力

x2

4.計(jì)算(1)Hm=「1(2)lie*"j(l+x)

m3

x->0X，KTOx

5.確定常數(shù)。,b,c的值，使e'（l+云+。n2）=1+〃犬+。（工3）.

(答案：a=—,b=,c=—)

336

4*.等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用:

(1)五個(gè)等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

1°)sinx~tanx?x?arctanx(x->0),(注：把上面的x換成/(x),

(/(x)->0)其等價(jià)關(guān)系也成立！)

2")若/(x)f1,則：lnf(x)?〃》)一1

3。)若“X)->0,則:e/w-l-/(x)

4。)若/0)30,則：1—cos/(x)?gr(x),特別地：1—cosx?g/(xf0)

5。)若/(x)f0,則:[l+f(x))-1?4(x)

（2）用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限：

在求極限時(shí)連乘積中的因式可以用等價(jià)無(wú)窮小代換

/2—2cosx

例1.（2012年.數(shù)三.10分）求極限（m、一;__

Xx4

分析：本題目直接應(yīng)用羅比塔法則非常困難，先用等價(jià)無(wú)窮小代換.

,J-e2-2cosx

2

「e-2-2cosx(/eCN-2+2COSX—1I\)..e^x-2+2cos.r-i1x2-2+2cosx1

lim---------------------------=lim-----------------二lim

44

XTOXX—0104

xx12

例2.（2010年.數(shù)三.10分）求極限lim（＞-1）右.

分析：本題化為（0-1）±=6在*’7下面無(wú)法再計(jì)算下去了.考慮等價(jià)無(wú)窮小

11.Inx1....

一,、1?iij_Inri.——In———(InInx-ln^)

nr1,1T

代換：—1)~(----)in*=/nxx=Inx(X->+00)

X

ii,inxi.

,,1_j_InX-L-——in----------(Inlnx-ln.r)

解：因?yàn)椋簂im(xx-l)lnx=lim(----),nx=lime}nxx=limelnx.

,r->4-30XT+8Xx—>+O0.V—>-K0

lnlnx-lnxoo備,1一：1-lnx

???lim-----(—)=lim~~-lim

XT+XInx00XT+X*->+ccInx

.1.lim(x,-l)'°x=e'.

Xf+8

sin2x

Jln(l+f)力

例3.（數(shù)二.10分）計(jì)算：lim0(提示：71+x4-l--x4)

XTOTI+JF-I2

十杳//1\rxx-sinx

填空：(1)hm-------------=________；(/2o)lrim-.............=_______

Xx

DE-cosxXT。1(e-1)

/c、「arctanx-x

(3)lim------------

ln(l+2x3)

解：(1)因?yàn)楫?dāng)x-?0時(shí)，

1-V1-X2=-[71-X2-1]=-[1+(-x2)]"---(-x2)=-x2,e'-cosx?x,所

22

i/iLT-^(-x2)

〔Hm—=_2——=0.

ex-cosxx

(2)因?yàn)??x(x-?0),所以

x-sinx..x-sinx0_1-cosx-sinx1

lim-............=lim——z-----(—)x=lim------z—=lim------=一

x2{ex-1)x-x03x2°6x6

(3)因?yàn)閘im(l+2/)=1,所以:ln(l+2%3)?(1+2/)-1=2一,所以

「arctanx-xrarctanx-x3lim耳金]_

lim------------=lim--------------=lim

ln(l+2x3)1。2x3Xf0i。6x(1+x)6

作業(yè).

1.用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算極限:

x-sinxarctanx-x

limlim

x-0x-COSXxf02xx->03

ex(e-l)ln(l+2x)

sin-x

Jln(l+

o

Vl+X4-1

2.(1)設(shè)x—0時(shí)e"'與x"是同階無(wú)窮小，求〃的值.(答案：3)

(2)設(shè)x-0時(shí)(l-cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高階的無(wú)窮小，

xsinx"是比，-1)高階的無(wú)窮小，求〃的值.(答案:2)

(3)設(shè)x->0時(shí)(1-奴2)4_［與xsinx是等價(jià)無(wú)窮小，求。的值.(答案：一4)

(4)設(shè)x-0時(shí)/(x)=x-sinax與g(x)=x?ln(l-Z?x)是等價(jià)無(wú)窮小，求a,b的

值.(答案：?=1,&=--)

6

注：下面3,4,5題應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算

3.求極限：lim^［(2+C0S^)x-11(答案：—2)

Ix3L3J6

4.求極限：］ima-cosx)［x1n(l+tanx)］(答案：J_)

1。sinx4

..V1+2sinx-x-1

5r.Inn---------------

a。xln(l+x)

6.已知：lin1sm6x2—)=0,求］加6+4(龍)(答案:36)

z

XfOA->0x

X~2f\

7.已知/(x=，(c°sx)在x=0處連續(xù)，求。的值.(答案：J5)1.

ax=0

5.極限的保序性定理：

定理：若lim/(x)=h<limg(x)=c,則三方>0,Vx:0<|x-^|<8都有/(x)<g(x).

x-^ax->a

注：該定理對(duì)于六種極限形式都成立：

例如：若lim/(x)=/?<limg(x)=c,則>0,Vx:|x|>A都有例x)<g(x).

X—>00X—>0011

再如：若limf(x)=h<limg(x)=c,WO3A>0,Vx:x>A都有f(x)<g(x)

X->+<X>x—>+aO

例：請(qǐng)寫(xiě)出下面極限形式的保序性定理：(1)xf。±；(2)Xf±8.

例：設(shè)函數(shù)在區(qū)間［0,+8)上可導(dǎo)./(0)=0，吧/(x)=2,證明：(1)存在。>0

使/⑷=1；(2)對(duì)(1)中的a,存在Je(O,a),使/C)=，.

a

證明：取/>2,由函數(shù)極限的局部保序性定理得：3A>0,Wx>A都有

f(x)>I,所以切>4,使f(Xo)=/o>/>2,因?yàn)榍?(x)在區(qū)間

［0,人］連續(xù)，由介值定理：丸w(O,x0)使/(a)=l.

有因?yàn)?(x)在區(qū)間［0,a］可導(dǎo)，由拉格朗日微分中值定理得：3^e(0,a)

/(a)-/(0)1

使/'4)=

?-0a

第三章函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)

1.定理/(x)在點(diǎn)x=a連續(xù)olim/(x)=/(a)；

X—>?

2.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi)：設(shè)x=a是函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)，則：

(1)若/(x)在點(diǎn)a的左右極限都存在，則稱點(diǎn)a叫/(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).

特別地：

1°)當(dāng)lim/(x)=lim/(x)=lim/(x)時(shí)，稱x=a是/(x)的可去間斷點(diǎn)，(即:

x->?+x->?-x->a

極限存在的間斷點(diǎn)叫可去間斷點(diǎn));

2。)若左右極限存在，但lim/(x)豐lim/(x),稱x=a叫/(x)的跳躍間斷點(diǎn).

X—>a+x—

(2)若/(x)在點(diǎn)x=a的左右極限至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)x=a叫

/(X)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).

v_

例L求/(%)=土上的間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn).(答案：x=0,±l)

sin^x

解：x=0,±l及x=k伏w0,±l;ZeZ)是函數(shù)的間斷點(diǎn).其中

x=k仗。0,±1;ZeZ)是第二類(lèi)間斷點(diǎn).當(dāng)x=0,時(shí)

lim=l(9)=lim上亙二=L,所以x=0是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).

sinm0I。乃cos玄7i

當(dāng)％=±1時(shí)，lim^^(-)=lim1_3^2=+-,所以x=±l是可去間斷點(diǎn).

*TOsinm0'一。兀cosmTC

例2.求函數(shù)/。)=￥^應(yīng)11%的可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn).

卜-11

解：x=0,x=l是函數(shù)的間斷點(diǎn)，當(dāng)x=O0寸，

1

lim/(x)=lim-sinx(0?oo)=lim牛’=lim-----~~-=-limS^nA=0

Xfo+XTO+I—xx->0+1?T0+COSxlx->0X

si?nxs?in-2x

￡(、ln(-x).〃、、「ln(-x)xsin2x

lrimf(x)=lrim---------sinx(0?oo)=lim--——=lim-----―-=lrim--------=0

Xf(rXT。-1—XXT。-1XT。-cosxlX->(TX

sinxsin2x

lim/(x)=0,所以：x=0是可去間斷點(diǎn)；

XTO

當(dāng)尤=1口寸：limf(x)=lim?sinx=sin1?lim—=+sinl

XTi+nrx—1A-?I+x

-1

limf(x)=limI"“),sinx=sinl?lim二工=-sinl,所以x=1是跳躍間斷點(diǎn).

x->rx->r\—xA->r—]

"(x)

xw0

作業(yè).1.設(shè)F(x)=,X，其中/(X)在x=0處可導(dǎo),

,/(0)x=0

廣(0)*0,/(0)=0,證明X=0是尸(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).

f|x2-l|

2.證明/(x)=:丁"0在苫=1處不連續(xù).

2x=0

3.求函數(shù)〃x)=(l+x)4在區(qū)間(0,2外內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判別其類(lèi)型.

ln(l+ax3)

------；——x<0

x一arcsinx

4.設(shè)函數(shù)/(x)=■6x=0,問(wèn)。為何值時(shí)，/(x)在x=0處連

€°X+X2—(2X—1八

--------------X〉0

xsin—

4

續(xù)，。為何值時(shí)，x=0是/(1)的可去間斷點(diǎn).

6.設(shè)函數(shù)/(x)=1l—,求/(x)的間斷點(diǎn)，并判別其類(lèi)型.

ex~'-1

7.求函數(shù)/(x)=4型-sinx的可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn).(左右極限都存在,

次-1|

但不相等的間斷點(diǎn)稱跳躍間斷點(diǎn).)

8,求/(X)=二^的間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn).(答案：x=O,±l)

sin/zx

第四章函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)與微分

重要知識(shí)點(diǎn)：

1.導(dǎo)數(shù)：八%)=lim/(%+-/(")=Hm"X)—"")

Arf0A%XTkX—Xo

2,左導(dǎo)數(shù)：￡(%);lim公2匕3=1而幺止3

加-o-ArI。x-xo

3.右導(dǎo)數(shù)：￡(%)=lim''X"+以'—‘'x")—lim"“)—于)

以f0+Axxfx；x~xo

(其中x=x0+Ax)

4.定理:/*)在x=x.可導(dǎo)o/；(x?)都存在，且￡(乙)=/：(兒)=/(%)

5.微分的概念：設(shè)函數(shù)/(x)在％的某領(lǐng)域(X0-S,x〃+b)內(nèi)有定義，給乙一?個(gè)

改變量Ar,使：x?+Are(x?-8,x?+J),把兩點(diǎn)的函數(shù)值之差：

Ay=/(x.+Ax)-/(x“)叫函數(shù)/(x)在乙處的改變量.

(1)微分概念：若Ay=AAr+。3),則稱函數(shù)/(x)在點(diǎn)x°可微，并稱AAA?叫函

數(shù)/(x)在X。的微分，記為：dy［或4(x0),(其中A是與Ax無(wú)關(guān)的量).

(2)定理：/(x)在點(diǎn)x可微o/(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且A=/'(x)

由上面定理得函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。的微分：dy\=df(x。)=f'(x0)dx,而在任意x

的微分：dy=df(x)=f'(x)dx.

例1：設(shè)函數(shù)/(x)在(—6,6)有定義，VXG(-^>S),恒有|/(切二2

則x=0必是/(x)的可導(dǎo)點(diǎn)且r(0)=0.

證明：???xf0(xw0),由|/(切32得/(0)=0,且悴2卜1,...與1在

,,d/八七由r/W-/(0)f(x)f(x),、(月

(一b,+5)(xwO)有界，vhm---------=lim----=hrmJ-x=0(x是

…x-0Dxa。x2

無(wú)窮小,要是有界量，定理：有界量與無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小.)

X

所以/(x)在x=0可導(dǎo)點(diǎn)，且/'(0)=0.

例3.設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，且lim/華=1,則/(0)=0且月(0)存在.

/?->0h/

例4.設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處可導(dǎo)，且/(0)=0,求lim、/(x)[2〃1).

X70x'

(-/⑼)

例5.設(shè)/(x)是可導(dǎo)的單調(diào)函數(shù)、/⑴=2,月一!吧/⑴求

曲線y=/(x)在當(dāng)橫坐標(biāo)x=l時(shí)的點(diǎn)處的切線與法線的方程.

作業(yè)：1.證明：設(shè)/(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=/(x)(l+|sinx|),則/(0)=0是尸(x)在x=0

處可導(dǎo)的充耍條件.

證明：(必要性：b(x)在x=0可導(dǎo)n/(0)=0)????(())存在，

...尸(0)=lim"“)一產(chǎn)⑼="①=f'(0)存在，

2。X-02。X-0

另一方面：

,月(0)=5F(xT(0)=H(一inx)/(。)=］而四)7(0)十八小叫

io'x-0九-0io*x-0x

=/；(0)+/(0).又因?yàn)镕(x)在x=0可導(dǎo)，所以F(0)=理(0),所以

r(0)=/；(0)+/(0),/(0)=0(因?yàn)閒(x)可導(dǎo),所以尸(0)=H(。))

(充分性：/(0)=0=>/(x)在x=0可導(dǎo))

lim-⑴一"①=lim"刈7(°)=/，⑼,所以F(x)在》=0可導(dǎo)，月一

-1。X-0XT。龍一0

尸(0)=((0)

2.設(shè)/(X)=「arctan—/n,(1)求((%)與4(%)；(2)試討論/(工)

0x=0

的連續(xù)性.(提示：節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用定義計(jì)算).

6.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)方程P(x,y)=O確定隱函數(shù)y=/(x),則的隱函數(shù)y=/(x)

的導(dǎo)數(shù)：

(1)戶小…第※

注：應(yīng)用這種方法時(shí)必須把方程化為F(x,y)=0的形式.

(2)將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)把隱函數(shù)y看成中間變量，應(yīng)用復(fù)

合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算.

例1.求方程孫+3x-5y=/所確定的隱函數(shù))，=/(x)的導(dǎo)數(shù).

例2.求由方程2y-工=(x->,)ln(x-y)所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)也和微

dx

分dy,并求=/(2,1)、縱2,1)

分析：由dy=/'(x)dx知：關(guān)鍵是求出函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)!

解:將方程兩邊同時(shí)對(duì)次求導(dǎo)：2yr-1=(1-y/)ln(x-y)+(x-y)-——

2+ln(x-y)2+My)dx,2+ln(2-l)

/.dy=而創(chuàng)(2J)|瓦

3+ln(x-y)3+ln(x-y)3+ln(2-l)

例3.設(shè)y=/(x+y),其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，且尸Wl,求宗.

解：令〃=x+y,則y=/Q),半="曰=/(1+了)(其中尸=半)

axduaxau

(1—/'”'=/'，<=工?

J

再將等式蟲(chóng)=/(1+y')兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

ax

0=皆學(xué)(1+)，)+/?了=八1+處+乙了解得y〃="^

dxdudxf)

也可對(duì)y，=—。

注:兩邊同時(shí)求導(dǎo):

/=上也包=門(mén)1-/]-1'(-"(I+y，)

dudx(1-fry

12V

例4.設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程y-xe>'=l所確定，求沼.

dXx=0

7.參數(shù)方程求導(dǎo)：設(shè)參數(shù)方程⑺，則>，=蟲(chóng)=卑。

卜=濟(jì))dx“⑺

X=t24-1

例5.已知曲線L的方程,(摩0),過(guò)點(diǎn)(-1,0)引曲線L的切線,

y=4，一產(chǎn)

求切點(diǎn)(4,兒)，并寫(xiě)出切線方程；

(答案：切線：y=x+l,)

作業(yè)：

1.求由方程2*'=x+y所確定的隱函數(shù)y=y(x)的微分dy及dy(O).

_y2中l(wèi)n2-l

(答案:dydx，力|40=(ln2-l)Jx)

-l-x-2vvln2

2.已知y=ln(l+3-x),求dy.(答案：dy=-3ln3Jx).

l+3-x

3.設(shè)y=(1—sinx)”,則d)[=#=.

4.設(shè)隱函數(shù)y=/(x)由方程xe"，)=e，所確定，其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，且

r*0,求d2y.(提示:函數(shù)y=/(x)的〃階微分:d"y=fM[x}dxn,所以

關(guān)鍵是求函數(shù)的〃階導(dǎo)數(shù)！兩邊同取自然對(duì)數(shù).)

1一尸(>)/一/"(y)

(答案：d2=dx2)

/U—八疥

5-曲線tan*+y+*，在點(diǎn)D(。,。)處的切線方程.—

第五章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（-）函數(shù)的單調(diào)性與極值

1.函數(shù)的單調(diào)性

⑴定理：/（X）在區(qū)間/單調(diào)增加（減少）o/z（x）＞0（/f（x）＜0）.

（2）定理：Vxe（,/（理＞O（x＜O）n/（x）在區(qū)間/嚴(yán)格增加（嚴(yán)格減少）.

2.函數(shù)極值與最值：

（1）函數(shù)極值的第一判別法：

設(shè)函數(shù)/（x）在領(lǐng)域力⑷可導(dǎo)，且/'（4）=0，若存在3＞0,使：

（1。）當(dāng)Vxw（%-瓦/）時(shí)/'（%）=0；Vxe（x0Xo+b）時(shí)，/'（Xo）＜0,則與

是/（幻的一個(gè)極大值點(diǎn)。

（2°）當(dāng)心€（%—6,?一%），/（x）＜0；Vxe（x0,%+（時(shí),f\xo）＞0,

則X。是/（x）的極小值點(diǎn)。

注:定理告訴我們，當(dāng)/'（x0）=0時(shí)，若尸（X）在X。的兩側(cè)異號(hào)時(shí)，X。是“X）

的極值點(diǎn)，在X。兩側(cè)/'（X）符號(hào)不變時(shí)，X。就不是“X）的極值，因此只須判別在

X。兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)尸（X）的符號(hào)就可以判斷X。是不是/（X）的極值點(diǎn)。

例1.求函數(shù)/。）=（》-1）2（》-2）3的極值。

分析：①首先求函數(shù)的定義域及穩(wěn)定點(diǎn)。②再用穩(wěn)定點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)

小區(qū)間，判定每一個(gè)小區(qū)間/'（X）的符號(hào)即可。

解:/(%)的定義域?yàn)镽,而/'(x)=2(x-l)(x-2)3+3(x-l)2(