原子物理學(xué)課后習(xí)題答案

第一章原子的基本狀況

1.1若盧瑟福散射用的a粒子是放射性物質(zhì)鐳C'放射的，其動能為768x1（）6電子伏特。散射物質(zhì)是原

子序數(shù)Z=79的金箔。試問散射角0=150°所對應(yīng)的瞄準距離b多大？

解：根據(jù)盧瑟福散射公式:

g)A7v.，_

ctg號=4%---------b=4"石;>---Trb

2°2N620N&2

得到：

Ze2ctgf79x(1.60xl(y9)2ag呼

b=-----------=3.97x1()75米

126-19

4兀(4^X8.85X10-)X(7.68X10X10)

式中K“是a粒子的功能。

1.2已知散射角為。的a粒子與散射核的最短距離為

/1、2N&21

r?,=（---------）--------—（1-I--~-）,試問上題a粒子與散射的金原子核之間的最短距離

Afvsin登

力多大?

/1、2Z^2八1、

解：將1.1題中各量代入Z；”的表達式，得：％in=（：----）其木（1十丁7）

47r￡（）JVLvsin-y

7.68xl06xl.60xl0-19sin750

=3.02x1()74米

1.3若用動能為1兆電子伏特的質(zhì)子射向金箔。問質(zhì)子。?金箔。問質(zhì)子與金箔原子核可能達到的最小距

離多大？又問如果用同樣能量的笊核（笊核帶一個+e電荷而質(zhì)量是質(zhì)子的兩倍，是氫的一種同位素的原子

核）代替質(zhì)子，其與金箔原子核的最小距離多大？

解：當(dāng)入射粒子與靶核對心碰撞時，散射角為180°。當(dāng)入射粒子的動能全部轉(zhuǎn)化為兩粒子間的勢能時,

兩粒子間的作用距離最小.

根據(jù)上面的分析可得:

Ne5士

—A7v2=K-----------，故有：Fin

24*0大皿

=9xl09

由上式看出:q桁與入射粒子的質(zhì)量無關(guān)，所以當(dāng)用相同能量質(zhì)量和相同電量得到核代替質(zhì)子時，其與

靶核的作用的最小距離仍為1.14x10小米。

1.4針放射的一種a粒子的速度為L597xl(T米/秒，正面垂直入射于厚度為IO,米*密度為

L932xl(r公斤米3的金箔。試求所有散射在。＞90。的1粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金的原

子量為197。

解：散射角在6之間的a粒子數(shù)d〃與入射到箔上的總粒子數(shù)n的比是：

其中單位體積中的金原子數(shù)：N=Q/7篦=pN°lA",

而散射角大于90°的粒子數(shù)為：dn=\dn=nNttda

Zt匕db

所以有：nT

等式右邊的積分：/=喘——jdO=2琛f----曾=1

dn_pN0

n

AAII4-TT￡0MU~

=8.5x10-6=8.5xIO-4%

即速度為1.597x107米秒的。粒子在金箔上散射，散射角大于90°以上的粒子數(shù)大約是8.5XKT4%。

1.5a粒子散射實驗的數(shù)據(jù)在散射角很小(祝415°時與理論值差得較遠，時什么原因？

答：a粒子散射的理論值是在“一次散射”的假定下得出的。而a粒子通過金屬箔，經(jīng)過好多原子核的附

近，實際上經(jīng)過多次散射。至于實際觀察到較小的夕角，那是多次小角散射合成的結(jié)果。既然都是小角散

射，哪一個也不能忽略，一次散射的理論就不適用。所以，a粒子散射的實驗數(shù)據(jù)在散射角很小時與理論

值差得較遠。

1.6已知a粒子質(zhì)量比電子質(zhì)量大7300倍。試利用中性粒子碰撞來證明：a粒子散射”受電子的影響是

微不足道的”。

證明：設(shè)碰撞前、后a粒子與電子的速度分別為：v,v',O,v；?根據(jù)動量守恒定律，得：

Mva=Mva+mve

由此得：V—V=V=——-——V⑴

“"Me7300'

又根據(jù)能量守恒定律，得：1^4--4^

2?2m.2

V=VH----------V(2)

a°MC

將（1）式代入（2）式，得：

4=小7300（心一邑尸

整理，得：u：(7300-1)+%2(7300+1)—2x7300%%cos。=0

?/7300>1

上式可寫為：7300（七一口尸=。

工=0

即a粒子散射“受電子的影響是微不足道的”。

1.7能量為3.5兆電子伏特的細a粒子束射到單位面積上質(zhì)量為1.05xlO^公斤/米2的銀箔上，。粒子

與銀箔表面成60°角。在離L=0.12米處放一窗口面積為6.0x10-5米2的計數(shù)器。測得散射進此窗口的c粒

子是全部入射a粒子的百萬分之29。若己知銀的原子量為107.9。試求銀的核電荷數(shù)Z。

解：設(shè)靶厚度為非垂直入射時引起。粒子在靶物質(zhì)中通過的距離不再是靶物質(zhì)的厚度/,而是

t=t/sin60°,如圖1-1所示。

因為散射到。與。+4。之間dQ立體

角內(nèi)的粒子數(shù)dn與總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)n的比為:

dn?7,

------iytdcy⑴

n

而dcr為:

(2)

得

把

擒

辦JQ

2

一-a3

(4-。

〃s?4

in2-

式中立體角元da=dsll3,t=t/sin60°=It/瓜6=20°

N為原子密度。為單位面上的原子數(shù)，N/=7/用心=〃（AAg/N0）T,其中〃是單位面積式上的質(zhì)量;

機獨是銀原子的質(zhì)量；A,,是銀原子的原子量；N。是阿佛加德羅常數(shù)。

將各量代入（3）式，得:

dn=_2_r/N?(1產(chǎn)(ze?),dd

2

nV3AAgA兀％Mvsin4￡

2

由此,得：Z=47

1.8設(shè)想鉛(Z=82)原子的正電荷不是集中在很小的核上，而是均勻分布在半徑約為IO?米的球形原

子內(nèi)，如果有能量為1()6電子伏特的0粒子射向這樣一個，，原子，，，試通過計算論證這樣的a粒子不可能被具

有上述設(shè)想結(jié)構(gòu)的原子產(chǎn)生散射角大于90°的散射。這個結(jié)論與盧瑟福實驗結(jié)果差的很遠，這說明原子的湯

姆遜模型是不能成立的(原子中電子的影響可以忽略)。

解：設(shè)c粒子和鉛原子對心碰撞，則a粒子到達原子邊界而不進入原子內(nèi)部時的能量有下式?jīng)Q定：

(何產(chǎn)=2Ze2/4萬￡(/=3.78*10"焦耳?2.36x1()3電子伏特

由此可見，具有106電子伏特能量的a粒子能夠很容易的穿過鉛原子球。a粒子在到達原子表面和原子內(nèi)部

時，所受原子中正電荷的排斥力不同，它們分別為：F=2Ze2/4萬4廢和尸=2Ze2r/4萬/*?？梢姡?/p>

子表面處a粒子所受的斥力最大，越靠近原子的中心a粒子所受的斥力越小，而且瞄準距離越小，使a粒

子發(fā)生散射最強的垂直入射方向的分力越小。我們考慮粒子散射最強的情形。設(shè)a粒子擦原子表面而過。

此時受力為F=IZe2/4麻oRK可以認為。粒子只在原子大小的范圍內(nèi)受到原子中正電荷的作用，即作用

距離為原子的直徑D。并且在作用范圍D之內(nèi)，力的方向始終與入射方向垂直，大小不變。這是一種受力

最大的情形。

根據(jù)上述分析，力的作用時間為1=。/乂a粒子的動能為,用后=K,因此，vZ2K/M,所以，

2

t=D/v=Dy/M/2K

根據(jù)動量定理：｛Fdt=pL-pJ=Mv±-0

222

而1Fdt=2Ze/4乃4R2jdf=2Zet/4TU￡()R

所以有：2Ze?f/4萬既*

22

由此可得：v±=2Zet/47T￡nRM

a粒子所受的平行于入射方向的合力近似為0,入射方向上速度不變。據(jù)此，有：

22222

吆。='=2Zet/47V￡QRMv=2ZeD/4TV￡(,RMV

V

=2.4x10-3

這時濟艮小，因此次夕=6=2.4xl()T弧度，大約是8.2'。

這就是說，按題中假設(shè)，能量為1兆電子伏特的a粒子被鉛原子散射，不可能產(chǎn)生散射角夕＞90"的散

射。但是在盧瑟福的原子有核模型的情況下，當(dāng)a粒子無限靠近原子核時，會受到原子核的無限大的排斥

力，所以可以產(chǎn)生。＞90°的散射，甚至?xí)a(chǎn)生6^180°的散射，這與實驗相符合。因此，原子的湯姆遜模

型是不成立的。

第二章原子的能級和輻射

2.1試計算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動的頻率、線速度和加速度。

解：電子在第一玻爾軌道上即年n=l。根據(jù)量子化條件，

h

p.=mvr=n-----

27c

v_nhh

可得：頻率v=%'F=7；2

2.7iax2.7nnalZmna^

=6.58xl0i5赫茲

速度：y=29y=。2%=2.188xIO,米/秒

加速度：w=v2/r=v2/=9.046xIO??米/秒2

2.2試由氫原子的里德伯常數(shù)計算基態(tài)氫原子的電離電勢和第一激發(fā)電勢。

解：電離能為凡=%-4，把氫原子的能級公式=—R/zc/〃2代入，得:

Ej=RH/ZC(《-')=R/2C=13.60電子伏特。

100

電離電勢：匕=5=13.60伏特

e

1133

第一激發(fā)能：用(產(chǎn)—2?)=]R兒、=1、13.60=10.20電子伏特

E

第一激發(fā)電勢：匕=」=10.20伏特

e

2.3用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時，會出現(xiàn)那些

波長的光譜線？

解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4……等能級上去所需要的能量是：

E^hcRH(^—4)其中力cR〃=13.6電子伏特

弓=136x(1—*)=102電子伏特

巳=13.6x(l--V)=12.1電子伏特

邑=13.6」(1一5)=12.8電子伏特

其中耳和巳小于12.5電子伏特，瑪大于12$電子伏特?？梢?，具有12.5電子伏特能量的電子不足以把基

態(tài)氫原子激發(fā)到n24的能級上去，所以只能出現(xiàn)"43的能級間的躍遷。躍遷時可能發(fā)出的光譜線的波長

為:

（~=57??/36

—4=RwH227-----3T2）"

4=6565A

1八/11、3n

~—=RH（~~Z---T-）=—RH

A,wI2224H

%=1215A

%wI2329

4=1025A

2.4試估算一次電離的氮離子〃；、二次電離的鋰離子母的第一玻爾軌道半徑、電離電勢、第一激發(fā)

電勢和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。

解：在估算時，不考慮原子核的運動所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動，這樣簡單些。

a）氫原子利類氫離子的軌道半徑：

n'

r=.272=。=，〃=1，2,3……

4萬mZeZ

其中q=tfI=O.529177xlOT°米，是氫原子的玻爾第一軌道半徑;

Z是核電荷數(shù)，對于H,Z=1；對于”,Z=2；對于Li++,Z=3；

因此，玻爾第一軌道半徑之比是立=芻-=±&二=九=」

r

HZ*2rHZ〃++3

b）氫和類氫離子的能量公式：

2兀2me"Z?Z

E==E]-—,/z=1,2,3

（4乃go）?//n

Q24

其中E5勿；a-13.6電子伏特,是氫原子的基態(tài)能量。

（4起。）2公

電離能之比：

O-EH

0-EHZ；

C）第一激發(fā)能之比:

2222

EL-E'He_

琮-以I2I2

守

3232

￡|￡

EL-ELF-'Fzn

琮Fi2i2

ci)氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：

?，11(〃1=1,2,3……

v=Z-R(荏--Y),I改=51+1)，(〃1+2)

iLI「I>

27r2m44

其中R=〃m；是里德伯常數(shù)。

(444)2好

氫原子賴曼系第一條譜線的波數(shù)為:

k=*一3!

相應(yīng)地，對類氫離子有：

產(chǎn)=22心TT

1ZA|

""++=32R(J—!-)=_L

42i24”

因此，

_］沖++_1

若一工，甘一§

2.5試問二次電離的鋰離子L；+從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一

次電離的氮粒子H；的電子電離掉？

解：￡；+由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子的能量為:

”：的電離能量為：

v

He=^hcRHe(-1---)=AhcRHe

100

hv27R“27l+m/M

----L-i-++-=--------=-----------------H-e-

hvHe+16AHe16l+m/MLi

由于<M&,所以l+m/Mue>\+m/MLi,

+

從而有hvLi++＞hvHe+,所以能將He的電子電離掉。

2.6氫與其同位素笊（質(zhì)量數(shù)為2）混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問其巴耳末系的第

一條（“〃）光譜線之間的波長差A(yù)/1有多大？已知氫的里德伯常數(shù)=1.0967758x1（）7米T,笊的里德

伯常數(shù)=1.0970742x1（）7米-1。

解：｝="$一［,4”=36/5%

4u23

4=%(*-*)，”。=36/5/?。

「，，36,11、

A2=2W-=—(--)

=1.791

2.7已知?對正負電「繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動會暫時形成類似于氫原子結(jié)構(gòu)的“正電子素”。試計算"正電

子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射光譜的波長4為多少A?

々41n/ILn133

解：T=H+-----27)=Rg-------?一=-R

2-j21+'48

m

21o

A.=-----=-------------米=2430A

3Rg3x10973731

2.8試證明氫原子中的電子從n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率乙。當(dāng)n?l時光子頻率即為電

子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動的頻率。

證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：v=—=/?f-V——二］

4〃n~（72+1）

C?,11、2n+l

頻率為:V=—Rc[—-----------]=—---------Rc

"2n~(n+1)-+1廠

當(dāng)心＞時，有（2〃+1）/〃2（n+1）2々2〃/〃4=2/7,所以在心＞1時?，氫原子中電子從n+1軌道躍

遷到n軌道所發(fā)光子的頻率為：V,,=2Rc/n\

設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率為/“，則

于_vmvr_P_2Rc

“2nriTanr2Zmnr?n3

因此，在n?l時，有V“=f?

由上可見，當(dāng)n?l時，請原子中電子躍遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動的頻率。這

說明，在n很大時，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對應(yīng)原理。

2.9"原子序數(shù)Z=3,其光譜的主線系可用下式表示：

DR

v=------——--------——-。已知鋰原子電離成ZT++離子需要203.44電子伏特的功。問如把Li+

(1+0.5951)2(n-0.0401)2

離子電離成U++離子，需要多少電子伏特的功？

解：與氫光譜類似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線系是鋰原子的價電子由高的p能級

向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。一次電離能對應(yīng)于主線系的系限能量，所以力產(chǎn)離子電離成L廣+離子時，有

用=R，1C,-咽。=5.35電子伏特

'(1+0.5951)2oo(1+0.5951)2

U++是類氫離子，可用氫原子的能量公式，因此U+++時，電離能當(dāng)為：

2K

E.=4干上?ZRxhc=122.4電子伏特。

設(shè)ZTT的電離能為￡2。而。fLi*"需要的總能量是E=203.44電子伏特，所以有

E2=E-E}-E3=75.7電子伏特

2.10具有磁矩的原子，在橫向均勻磁場和橫向非均勻磁場中運動時有什么不同？

答：設(shè)原子的磁矩為〃，磁場沿Z方向，則原子磁矩在磁場方向的分量記為〃z，于是具有磁矩的原子

刀Z?A/?HR

在磁場中所受的力為廣=幺/￡二，其中巴是磁場沿z方向的梯度。對均勻磁場，—=0,原子

zQZazaz

在磁場中不受力，原子磁矩繞磁場方向做拉摩進動，且對磁場的取向服從空間量子化規(guī)則。對于非均磁場，

eg*o原子在磁場中除做上述運動外，還受到力的作用，原子射束的路徑要發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

8Z

2.11史特恩-蓋拉赫實驗中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場，磁場的梯度為絲=1()3特

dZ

斯拉/米，磁極縱向范圍4=0.04米(見圖2-2),從磁極到屏距離心=。1。米，原子的速度u=5xIO?米/秒。

在屏上兩束分開的距離4=0.002米。試確定原子磁矩在磁場方向上投影〃的大小(設(shè)磁場邊緣的影響可

忽略不計)。

解：銀原子在非均勻磁場中受到垂直于入射方向的磁場力作用。其軌道為拋物線：在心區(qū)域粒子不受

力作慣性運動。經(jīng)磁場區(qū)域右后向外射出時粒子的速度為，，出射方向與入射方向間的夾角為6。8與速

度間的關(guān)系為：tg0=^

粒子經(jīng)過磁場右出射時偏離入射方向的距離S為:

s=21式)％(1)

將上式中用已知量表示出來變可以求出"z

/judB

v=at,a=—=------,t=LrIzv

±m(xù)mdZx

_〃zdBL

??vI——1

mdZv

4z3BLjL

S'=Ltge=2

2indZv2

ds，=d"zBBLL

22mdZv2

把S代入（1）式中，得:

d〃zdBL,L"Z?BL；

------------------—2―-------------

2m8Zv22mdZv2

L+2L

整理，得:(l2)=-|

2mdZv2

由此得：〃z=093x10-23焦耳/特

2.12觀察高真空玻璃管中由激發(fā)原子束所發(fā)光譜線的強度沿原子射線束的減弱情況，可以測定各激發(fā)

態(tài)的平均壽命。若己知原子束中原子速度丫=103米/秒，在沿粒子束方向上相距1.5毫米其共振光譜線強

度減少到1/3.32。試計算這種原子在共振激發(fā)態(tài)的平均壽命。

解：設(shè)沿粒子束上某點A和距這點的距離S=L5毫米的B點，共振譜線強度分別為和乙，并設(shè)粒子

束在A點的時刻為零時刻，且此時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為N20,原子束經(jīng)過t時間間隔從A到達B點，在

。

B點處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為N2

光譜線的強度與處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)和單位時間內(nèi)的躍遷幾率成正比。設(shè)發(fā)射共振譜線的躍遷幾率為

/.A,[N]N7

A2I,則有，OC-12==_

，o^21^20N校

適當(dāng)選取單位，使與=叢=1/3.32,

，0N20

并注意到M而yS/y,

N

則有：-=e-演'=1/3.32

%。

由此求得:

1v

&=(ln3.32—lnl)=ln3.32

-ts

1s_1.5x10-3

--vln3.32-103xln3.32

=1.25x10-6秒

第三章量子力學(xué)初步

3.1波長為1.的X光光子的動量和能量各為多少？

解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得：

h6.63x10'_24-I—、t,-rI-1

動量為：P--=----------=6.63x10-千兄?米?秒

A10"°

能量為：E=hv=he!Z

=6.63X1O-34X3X1O8/1O_10=1.986x1。-"焦耳。

3.2經(jīng)過10000伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長2=?用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意

波長是多少？

解：德布羅意波長與加速電壓之間有如下關(guān)系：

A=h/yj2meV對于電子：機=9.11xl()T公斤，e=1.60x1()T9庫侖

把上述二量及h的值代入波長的表示式，可得:

12.25:12250°

21,A=0.12254

710000

對于質(zhì)子，機=1.67x10-27公斤，e=].60xl()T9庫侖，代入波長的表示式，得:

,6.626x10-34

4~/=2.862x10-3：

V2xl.67xl0-27xl.60xl0-19x10000

1225。

3.3電子被加速后的速度很大，必須考慮相對論修工因而原來人而A的電子德布羅意波長與

加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為:

1225°

2=^^(1一0.489x10-6V)A

Vv

其中v是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。

證明：德布羅意波長：A=h/P

22

對高速粒子在考慮相對論效應(yīng)時，其動能K與其動量p之間有如下關(guān)系：K+2Km(}c=p2c2

而被電壓V加速的電子的動能為：K^eV

/.p~=（2）+2meV

co

22

72moeV+（eV）/c

因此有:

h

A=h!p

42moeV

一般情況下，等式右邊根式中eV/2moe2一項的值都是很小的。所以，可以將上式的根式作泰勒展開。

只取前兩項，得:

heVh（1—0.489x10,

2（12）

-4m0c-y[2^V

,------I?250

由于上式中4/12woeV其中V以伏特為單位，代回原式得:

1925o

Z=—Y=-（1-0.489X1O-6V）A

Vv

由此可見，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對論效應(yīng)引起的德布羅意波長變短。

3.4試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個電子的德布羅意波波長。上述結(jié)果不但適用于圓軌

道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。

證明：軌道量子化條件是：Jpdq=nh

2

對氫原子圓軌道來說，pr=0,=mr。=mvr

所以有：

jpd（/）-2%?tnvr-nh

h

S=2初=n——==1,2,3...

mv

所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個電子的德布羅意波長。橢圓軌道的量子化條件是:

。/力=n^h

寸prdr=nrh

其中

pr=mr,p^=mr~0

而p@d（/））=rdr+mr2（/）d（/））

r^dt+mr2

~dt=<^mvds

因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個德布羅意波波長。

3.5帶電粒子在威耳孫云室(一種徑跡探測器)中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度約為1微米。當(dāng)觀

察能量為1000電子伏特的電子徑跡時其動量與精典力學(xué)動量的相對偏差不小于多少？

解：由題知，電子動能K=1000電子伏特，At=10%米，動量相對偏差為Ap/p。

hh

根據(jù)測不準原理，有ApAiN」，由此得：bpN——

22Ar

經(jīng)典力學(xué)的動量為：

p=飛2mK

包>————=3.09x10-5

p2Axj2mK

電子橫向動量的不準確量與經(jīng)典力學(xué)動量之比如此之小，足見電子的徑跡與直線不會有明顯區(qū)別。

3.6證明自由運動的粒子(勢能/三0)的能量可以有連續(xù)的值。

證明：自由粒子的波函數(shù)為：

+^-(p-r-Et)

〃=Aeh...(1)

h2,

自由粒子的哈密頓量是：H=——V2……(2)

2m

自由粒子的能量的本征方程為：Hw=Ew……(3)

h~9+-(pr-Et)

把(1)式和(2)式代入(3)式，得：[Ae]=￡少

2m

B|J：

公笛d2d-、+7(px+py+pz-Et)

----▽A(—7+—r+)ehxYz=Ei//

2mdx~dy~dz2

p2口

2m

?E-亡

2m

自由粒子的動量p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量E也可以有任意的連續(xù)值。

3.7粒子位于一維對稱勢場中，勢場形式入圖3T,即

0<^<L,V=0

x<0,x>L,V=VQ

（1）試推導(dǎo)粒子在E＜匕情況下其總能量E滿足的關(guān)系式。

（2）試利用上述關(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是??些不連續(xù)的值。

解：為方便起見,將勢場劃分為I,H,1【1三個區(qū)域。

（1）定態(tài)振幅方程為夕孕+必（￡一匕=0

dxh

式中〃是粒子的質(zhì)量。

【區(qū)：R—a2Vz=（）其中=絲（匕一￡）

dxh~

波函數(shù)處處為有限的解是：%（x）=A*,A是一任意常數(shù)。

II區(qū)：富+62〃=0其中62=當(dāng)正

處處有限的解是：匕"）=8sin（田+7）,8,渥任意常數(shù)。

HI區(qū)：穹一行=0其中a2=絲（匕一E）

dxh~

處處有限的解是：乙（x）=Oe-G,O是任意常數(shù)。

有上面可以得到：1-&L=a,-L也=優(yōu)%（"+/）,」_%=—a,

y/}dxi//2dx憶dx

有連續(xù)性條件，得：

a

—=ctgy

{B

一5=（?電（以+y）

解得：

一

吆（房）=-

1-^―

cc1

因此得：PL=〃"一2次"（夕/二）

這就是總能量所滿足的關(guān)系式。

（2）有上式可得：

0

-tg.〃=偶數(shù),包括零

2

BL

ctg&=奇數(shù)

2°

aL=~(/3L)ctgg

亦即

ocL={/3L)tg與

令團=&，aL=?,則上面兩方程變?yōu)?

u八、

v=~utS~...⑴

U

v=ut8~...⑵

另外，注意到〃和v還必須滿足關(guān)系：u2+v2=2^1}/h2……⑶

所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。

3.8有一粒子，其質(zhì)量為根，在一個三維勢箱中運動。勢箱的長、寬、高分別為。、b、c在勢箱外,

勢能V=oo；在勢箱內(nèi)，V=00式計算出粒子可能具有的能量。

解：勢能分布情況，由題意知：

匕=0,0<x<a;

Vv=0,0<y<ft;

V.=0,0<z<c;

Vx=oo,x<0和x>a

Vy=oo,y<0和y>b

V_=8,z<。和z>c

在勢箱內(nèi)波函數(shù)—(x,y,z)滿足方程：

d2i//d2i//d2i//

--------------------------+7T[E—(匕+V+匕)W0

2/2y22z2ny

解這類問題，通常是運用分離變量法將偏微分方程分成三個常微分方程。

令V(x,y,z)=X(x?(y)Z(z)

代入(1)式，并將兩邊同除以X(x)y(y)Z(z)，得：

222

z1dX2%,、JdY2m?xJdZ2*,、2m

(----------------T?匕)+(----o-----rVv)+(----3----7"匕)=――-E

Xdx1h2xYdy2h2>Zdz2h2zh2

方程左邊分解成三個相互獨立的部分，它們之和等于一個常數(shù)。因此，每一部分都應(yīng)等于一個常數(shù)。由此,

得到三個方程如下：

1d2X2m__2mL

—y——H

Xdx2h2xh2x

1d2Y2m..2m廠

-V=-匕

Ydy2h2yh2y

2「

1dZ—2m_V_=—*2￡m

Zdz2h2zh21

其中E=E,+Ey+Ez,Ex,E,,旦皆為常數(shù)。

將上面三個方程中的第一個整數(shù)，得：

咨+率ET,)X=O……⑵

dxh

邊界條件：X(O)=X(/)=O

可見，方程（2）的形式及邊界條件與一維箱完全相同，因此，其解為:

類似地，有

12,n7t

匕=—sin—y—y

bb

1,2,3

123

.??〃("z)=J[-sin.n皿

——sin———sin——

Vabcabc

/r2h2n2.2

E=------n

2ma2b2c2

可見，三維勢箱中粒子的波函數(shù)相當(dāng)于三個一維箱中粒子的波函數(shù)之積。而粒子的能量相當(dāng)于三個一維

箱中粒子的能量之和。

對于方勢箱，〃=b=c,波函數(shù)和能量為：

/、8.nm.九v金.〃-應(yīng)

〃(羽y.z)=、rsin——sin———sin——

Vaaaa

7l~h~22222

E=------n,〃=n+〃丫+〃_

2ma2x

第四章堿金屬原子

4.1已知。原子光譜主線系最長波長4=6707A,輔線系系限波長=3519A。求鋰原子第一-激發(fā)

電勢和電離電勢。

解：主線系最長波長是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線系系限波長是電子從無窮處向第一激

發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢為匕，電離電勢為匕，則有：

=-(-!-+—)=5.375Wo

e22

4.2Na原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長為5893A,漫線系第條的波長為8193A,基線系第條

的波長為18459么，主線系的系限波長為241“。試求3S、3P、31)、4F各譜項的項值。

解：將上述波長依次記為

即4m”=589324a=8193工乙2=1845“"產(chǎn)=2413、

容易看出：

T3s=還=L=4.144x1()6米T

4P8

'P°opmax

米T

T4F=1\D------=0.685X1()6

4.3K原子共振線波長7665A,主線系的系限波長為2858么。已知K原子的基態(tài)4S。試求4S、4P譜

項的量子數(shù)修正項△,值各為多少？

°r

解：由題意知：4max=7665^,2^=2858A7；v=心=1/%)

由74s=(4一1)2'得：4-△.1//一

設(shè)RKaR,則有As=2.229,7；7,=-------

九

與上類似

△"4-70^“764

4.4。原子的基態(tài)項2S。當(dāng)把“原子激發(fā)到3P態(tài)后，問當(dāng)3P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時可能產(chǎn)生哪些

譜線(不考慮精細結(jié)構(gòu))？

答：由于原子實的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而1不同的能級有很大差別，即堿金

屬原子價電子的能量不僅與主量子數(shù)n有關(guān)，而且與角量子數(shù)1有關(guān)，可以記為E=。理論計算和

實驗結(jié)果都表明1越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能量。當(dāng)從3P激發(fā)態(tài)向低能級躍遷時;考慮到選擇定

則：△/=±1,可能產(chǎn)生四條光譜，分別由以下能級躍遷產(chǎn)生：

3Pf3S;3sT2P;2P-?2S;3P-?2S。

4.5為什么譜項S項的精細結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律和從電子自旋與軌道

相互作用的物理概念兩方面分別說明之。

答:堿金屬光譜線三個線系頭四條譜線精細結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線系每一條譜線的二成分的間隔相等，

這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸S能級到最低P能級的躍遷產(chǎn)生的。最低P能級是這線系中諸線

共同有關(guān)的，所以如果我們認為P能級是雙層的，而S能級是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜

線都是雙線，且波數(shù)差是相等的情況。

主線系的每條譜線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見不是同?個來源。主線系是諸P

能級躍遷到最低S能級所產(chǎn)生的。我們同樣認定S能級是單層的，而推廣所有P能級是雙層的，且這雙層

結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù)n的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符合堿金屬原子光譜雙線的規(guī)律性。因此，

肯定S項是單層結(jié)構(gòu)，與實驗結(jié)果相符合。

堿金屬能級的精細結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生附加能量的結(jié)果。

S能級的軌道磁矩等于0,不產(chǎn)生附加能量，只有一個能量值，因而S能級是單層的。

4.6計算氫原子賴曼系第一條的精細結(jié)構(gòu)分裂的波長差。

解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級躍遷到n=l的能級產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷只能發(fā)生在

2?Pfl2s之間。而$能級是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細結(jié)構(gòu)是由P能級分裂產(chǎn)生的。

氫原子能級的能量值由下式?jīng)Q定：

24

尸-Rhc(Z-a)Rhca\Z-S)z13、

E=-------;----------------;------x(------—)

其中(Z—b)=(z—S)=l

???EQ2p“2)—

.丸___________he_________

22

"'"￡(2^/2)-￡(151/2)

22

???E(2Pl/2)-E(lSt/2)=h^-

.丸___________he_________

222

"~￡(2P