初中數(shù)學(xué)初二動(dòng)點(diǎn)專練

動(dòng)點(diǎn)專題練習(xí)

-：圖像運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)關(guān)系解析式（典型的為重疊面積S或掃過面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間T關(guān)系式）

1、點(diǎn)動(dòng)：點(diǎn)動(dòng)引起的形動(dòng)

例1:矩形0ABe在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，且A（0,3V3）,C（8,0），點(diǎn)M是OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MO

以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)0勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)。后立刻以原返速回至M；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的

速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)，以PQ為邊作等邊三角形NPQ.點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)一切運(yùn)動(dòng)停止.

（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為

（2）令P、Q兩點(diǎn)出發(fā)時(shí)間為t,求于矩形CABC重疊部分的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量取值范圍.

(1)(8,3V3)

⑵首先求出PQ的長與t的關(guān)系

0VtW4時(shí),PQ=2t,

4Vt時(shí),PQ=8,

t=8時(shí)，系統(tǒng)停止.

設(shè)ANPCl的高為h,h=PQJ3/2,

當(dāng)h=3J3時(shí),PQ=6<8,t=3,如圖1

0<tW3時(shí),S=Z\NPQ的面積=PQ*PQJ3/4=t*t*J3

3VtW4時(shí),h=tJ3,如圖2

S=ANPQ的面積-Z\NEF的面積

=t*t*J3—(h-3V3)*(h-3V3)/J3=6J3t-9J3,[Z\NEF的高=h-3J3,底邊=2(h-373)/73]

如圖3當(dāng)點(diǎn)B在直線WQ，(斜率為々3)上時(shí)，

設(shè)此時(shí)直線N'CT的方程為：y=-J3x+b,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入求得：b=llV3

即,y=-J3x+llJ3,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)(t-4,0),Q點(diǎn)坐標(biāo)(t+4,0),

Q點(diǎn)坐標(biāo)代入此式解得：t=7

4VtW7時(shí),h=4J3,

S=ANPQ的面積-△NEF的面積-△GCQ的面積

=673t-9V3-(t-4)*(t-4)V3/2[Q點(diǎn)坐標(biāo)(4+t,0)C點(diǎn)坐標(biāo)(8,0),CQ=t-4]

=-V3(t*t-20t+34)/2

7VtW8時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)(t-4,0)

5=圖3中梯形PCBH的面積，

此時(shí)PC=8-(t-4)=12-t,HB=OC-OP-PI=8-(t-4)-3J3"3=9-t,(PI=EI/V3,El與X軸垂直)

S=(21-2t)3V3/2

例2：（2012?大連二模）如圖，△ABC中，NC=90°,ZB=30°,BC=15cm,點(diǎn)D以2cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)以lcm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D、E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以DE為邊在BC

的上方作等邊三角形DEF.設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在AB上？

（2）設(shè)4DEF與aABC重合部分的面積為S（cm2）,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

分析：（1）首先根據(jù)題意求得BD=2t,CE=t.然后分當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)

兩種情況求得t值即可；

（2）根據(jù)題意分當(dāng)04X3時(shí)和當(dāng)3,且/5時(shí)兩種情況列出有關(guān)S于t的函數(shù)關(guān)系式即可求

解.

解答：解：（1）由題意得BD=2t,CE=t.

①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)（如圖1）,

?"DEF是等邊三角形，

.?.DE=DF,zEDF=60°.

.-.ZDFB=ZEDF-ZB=6O°-3O°=3O°=ZB,

.,.DF=DB=2t.…（2分）

,??BC=CE+ED+DB即t+2t+2t=15,

.,.t=3....（3分）

②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)（如圖2）,

由◎?qū)?，DE=EF=EB=CB-CE=15-t,BD=2t,

.-.DB=2BE,即2t=2（15-t）,

.J

綜上，當(dāng)t=3s或時(shí)，點(diǎn)F恰好在AB上....（5分）

（2）①當(dāng)0M3時(shí)（如圖3）,

由（1）得，DE=EF=FD=15-3t=3（5-t）,DH=DB=2t,

/.FH=15-3t-2t=15-5t=5（3-t）....（6分）

VZDEF=ZEFD=6O°,ZB=3O",

.1.zEGB=180o-zGEB-zB=180o-60o-30o=90°.

在RtdFGH中，

GH=FH?sin60°=孚（3-t）,FG=FH-cos60°=^（3-t）.

?1?SAFGH=；FG?GH=^^（3-t）2?…（7分）

作FM_LDE,垂足為M.則]FM=EF?sin60°=士叵（5032^￡口=殳口正\1=理（5-。2,...（8分）

224

t?u

/.S=SiFED-SiFGH=--^--^-y^-t'^->f3?…（9分）

②由題意知，點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所用時(shí)間為年S.當(dāng)t+2t=15,即t=5時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合.由

(1)知，當(dāng)3Vt4持，且t#5時(shí)，無論點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)還是右側(cè)，二DEF都在-ABC內(nèi)(如圖4).

s=sAFED=TDE，F(xiàn)M=^（5-t）2=^-t2-^^-t-^>[3.

乙/q幺

綜上，s=

圖3圖4

點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的幾何圖形中整理出相似三角形的模型

并利用相彳以三角形的知識(shí)解決問題.

2、線動(dòng)：分線動(dòng)+定形，形動(dòng)+定線

例1：（線動(dòng)+定形）

已知：如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為（6,0）,（0,

2），點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B,C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-2+b交折線O-A-B于

點(diǎn)Eo

（1）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，若aODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段0A上時(shí)，矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形。'A'B'C',C'

B'分別交CB,0A于點(diǎn)D,M,。'A'分別交CB,OA點(diǎn)N,E。

求證：四邊形DMEN是菱形；

（3）問題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長為。

癬：(1).,矩形OABC中，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(6,0)

,(0,2),

.,,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,2)

若直線y=」x+b經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),則b=2;

2

省直線y=-L+b經(jīng)過點(diǎn)A(6,0),則b=3;

2

若直線y=-2x+b^Q^B(6,2),貝!Jb=5.

2

①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即2Vb$3時(shí)，(如圖)

,.忘E?￡S^y=-2x+b上r

2

當(dāng)y=0時(shí),x=2b,

.?用E的坐標(biāo)為(2br0)

.-.s=92b-2=2b;

②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即3<bv5時(shí)，(如圖)

,點(diǎn)D,E在M^y=」x+b上

2

當(dāng)y=2時(shí)fx=2b-4;

當(dāng)x=6時(shí)ry=b-3r

.?,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b-4f2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,b-3)

「?S=S^J^OABC-S-COD-S-OAE-S-DBE

=6x2—g(2B—4)-2-—3)-6--^-[6—(2b—4)][2—(B—3)]

=-b2-*-5b

2b<2<b<3\

綜上可得:S=

-b2+5b(3<b<5).

(2)證明：如圖

?.?四ifiJ^OABC和四AB'C

???CBIIOA,C'B'II。'A：

即DNllME,DMIINE

四邊形DMEN是平行四邊形，且NNDE=zDEM

,「矩形OABC關(guān)于直統(tǒng)DE對稱的圖形為四邊形0'A'B'C'

AZDEM=ZDEN

??.NNDE=ZDEN

??.ND=NE

???四邊形DMEN是菱形.

(3)解：y=-Ix+b

2

當(dāng)x=0時(shí),y=b,

當(dāng)y=0時(shí),x=2b,

,-.OQ=b,OE=2b

過DH_LOE于H,

/.DH=2,

-.?zQOE=90°,DH±OA,

.,.DHllOQ,

.?.-DHE—QOE,

A虹QE

DH喘-HE

即_2_b

HE

,-.HE=2DH=4,設(shè)DM=ME=x,

在-DHM中，

由勾股定理得：22+(4-x)2=x2,解得：x=2.5,故答案為：2.5。

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線Ly=-2x+b(b20)的位置隨b的不同取值而變化.矩形ABCD,其三個(gè)

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(2,0)、B(6,0)、C(6,2).設(shè)直線1掃過矩形ABCD的面積為S,當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請求出

(2)由題意.可知能形ABCD頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)b由小到大變化時(shí),直闋:y=-2x+b(b>0)向右平移,依次掃崛外BCD的不同部分.

可得當(dāng)直愛經(jīng)過A(2.0)時(shí)，b=4;當(dāng)直線經(jīng)過D(2.2)時(shí)，b=6:當(dāng)直愛經(jīng)過B(6,0)BiT.b=12:當(dāng)直愛經(jīng)過

C(6,2)時(shí),b=14.

①當(dāng)0sb“時(shí),S=0:

②當(dāng)4<bw6時(shí)，婦答圖2所示.

設(shè)直愛I:y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)P,與AD交于點(diǎn)Q.

令y=0,可量=1.AP=1-2;

令x=2,可得y;b-4,.AQ=b-4.

2

■-S=S.ApQ=1AP-AQ=1(^-2)(b-4)=]b-2b+4;

③當(dāng)6<bwl2時(shí)，婦答圖3所示.

設(shè)直線I：y=-2x+b與感交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.

令y=o,可得x=|.--AP=1-2;

令y=2,可得x=與-1,.-DQ=9-1.

S=S梯形APQD=；(DQ+AP)?AD=b-5;

④當(dāng)12<bsl4時(shí)，婦答圖4所示.

設(shè)直弱：y=-2x+gBC交于點(diǎn)P,與CD交于點(diǎn)Q.

^x=6,可得y=b-12,..BP=b-12,CP=14-b;

令y=2,可得x=,-1,.-DQ=5-3,CQ=7-1.

S=S^ABCD-S-PQC=8-\CP?CQ=-:b2+7b-41;

⑤當(dāng)b>14時(shí)，S;澆形ABCD=8.

綜上所述,當(dāng)b由小到大變化時(shí),/b的函數(shù)關(guān)系式為：

0（0功“）

綜上所述,當(dāng)b由小到大變化時(shí)，沾b的函數(shù)關(guān)系式為：

0(0sbs4)

-b2-2b+4(4<b§6)

4

S={b-5(6<b*12)?

--b2+7b-41(12<*14)

4

8(b>14)

）,以PM為

對角線作正方形PDME.正方形PDME與AOAB公共部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，

并求S的最大值.（圖2、3供你探索問題時(shí)使用）

分析（1）由直線y=-x-4交x軸的正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,即可求得A,B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P（t,t）,則點(diǎn)M（』，；），點(diǎn)D（t,』）.先求出當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)

222

.t=2；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上時(shí)，t=4；當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，t=《.然后分四種情況進(jìn)

行討論：①0<注2；②③§WtV4；④*4.針對每一種情況，分別求出正方

33

形PDME與AOAB公共部分的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出S的最大值.

解答解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=4,即B(0,4),

當(dāng)y=0時(shí)，x=4,即A(410).

故答案為(4,0),(0,4)

（2）設(shè)點(diǎn)P（t,t）,則點(diǎn)M（】，［）,

22

點(diǎn)D（t>.

2

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，t=-t-4,解得t=2；

當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上時(shí)，5=-1-4,解得t=

22

4；

當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)E也在直線

AB±）,工=--4,解得t=§.

23

分四種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)0VtW2時(shí)，如圖1.

S=S正方形PDME=D\「PD=(千)

2.一

當(dāng)t=2時(shí)，Smax=l；

②當(dāng)2Vt時(shí)，如圖2,設(shè)直線AB與PD

、PE分別交于點(diǎn)C、H.

此時(shí)PC=t-(-t+4)=2t-4,又PH=PC,

所以S±PCH=；PC?=2(t-2)-；

從而S=S正方形PDME-S.PCHujU(t-2

4

)2=--t2+8t-8=-—(t-也)2+旦，

4477

因?yàn)?=與〈爭

所以當(dāng)t=￥■時(shí)，Smax=-y；

③當(dāng)*V4時(shí)，如圖3,設(shè)直線AB與MD

、ME分別交于點(diǎn)F、G.

此時(shí)MG=(-—+4)=-t+4,又MG=MF

22

所以S工MGF=”MG2=!(t-4)；

即S=S±MGF=1(t-4)2,

當(dāng)t=^"時(shí),Smax=J-；

④當(dāng)巨4時(shí)，顯然S=0.

綜合①②③④得：當(dāng)t號(hào)時(shí)，smax=1.

點(diǎn)評此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、二次

函數(shù)最大值的確定以及圖形面積的求法等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形

結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.

3、形動(dòng):

例1：如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,4),C(2,0),將矩形0ABe繞點(diǎn)。按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135。，得到矩形EFGH(點(diǎn)E與O重合).

(1)若GH交y軸于點(diǎn)M,則/FOM=__,OM=____；

(2)矩形EFGH沿y軸向上平移t個(gè)單位.

①直線GH與x軸交于點(diǎn)D,若AD〃BO,求t的值；

②若矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為S個(gè)平方單位，試求當(dāng)0<tW4應(yīng)-2時(shí)，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NAOF=135°，二NFOM=45。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NOHM=45°,OH

=OC=2,/.OM=2&；(2)①由矩形的性質(zhì)和已知ADllBO,可得四邊形ABOD是平行四邊形，從而

D0=AB=2,又由ADOI是等腰直角三角形可得0I=0D=2,從而由平移的性質(zhì)可求得t=IM=OM-01=

2&-2;②首先確定當(dāng)0<t44戊-2時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中關(guān)鍵點(diǎn)的位置，分0<t<2,

2<t<2^2,2近<t44應(yīng)-2三種情況求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

試題解析：(1)45。；2強(qiáng).

(2)①如圖1,設(shè)直線HG與y軸交于點(diǎn)I,

,.四邊形OABC是矩形,.-.ABIIDO,AB=OC.

■,C(2,0),/.AB=0C=2.

XvADllBO,二四邊形ABOD是平行四邊形.：.D0=AB=2.

由(1)易得,ADOI是等腰直角三角形，.QI=OD=2.

.-.t=IM=OM-01=2近.2.

過點(diǎn)F,G分別作x軸，y軸的垂線，垂足為R,T,連接0C.則

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得，0F=0A=4,zFOR=45°,

.'.0R=RF=2&,F（2版，-2&）.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，得0G=2前,

設(shè)TG=MT=x,則0T=0M+MT=2向x.

在RfOTG中，由勾股定理，得x?+（2也"）=R6）,解得也.G（短，一3也）.

.??用待定系數(shù)法求得直線FG的解析式為尸-4或

當(dāng)x=2時(shí)，f2-4阻

，當(dāng)t=4&-2時(shí)，就是GF平移到過點(diǎn)C時(shí)的位置（如圖5）.

.??當(dāng)0<t44近-2時(shí)，幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)如圖3,4,5所示：

如圖3,t=0E=0C=2,此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊EF經(jīng)過點(diǎn)C;

如圖4,t=OE=OM=2版,此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊HG經(jīng)過點(diǎn)0;

4應(yīng)-2,此時(shí)，矩形EFGH沿y軸向上平移過程中邊FG經(jīng)過點(diǎn)C.

o\2戶

圖5

二（I）當(dāng)0＜仁2時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為^OCS的面積（如圖6）.此時(shí),0E="

S=lt2

0S="t,2

圖6

(□)當(dāng)2<tW2版時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為直角梯形OEPC的面積(如圖7).

圖7

由E(0,t),NFFO=45°,用用待定系數(shù)法求得直線EP的解析式為廠一x+t.

k加cS=l(t-2n)2=2t-2

當(dāng)x=2時(shí)，產(chǎn)一2+t.cp=-2H,二2、

(田)當(dāng)2也<t44應(yīng)-2時(shí)，矩形EFHG與矩形OABC重疊部分的面積為五邊形EQCUV的面積(如圖

8),

圖8

它等于直角梯形EQCO的面積減去直角三角形VOU的的面積.

止匕時(shí)，0E=t,,0C=2,CQ=-2+t,OU="OV="t-2&.

S=l(t-2+t)-2-1(t-2^)3=-lt3+(2+2^)t-6

盧〈t?2)

2t-2(2<t<2^)

一;1十(2+2&'一6(2>/2<t<4a-2)

綜上所述，當(dāng)0<t44a-2時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

例2：如圖，矩形QABC,連接AC,/OAC=60°,點(diǎn)A(4,0)，在RtZ\DEF中,NEDF=90°,/F=30",DE=3

(1)對角線AC的長為()，點(diǎn)B的坐標(biāo)為().

(2)若RtADEF從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒兩個(gè)單位長度沿著對角線AC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)和C點(diǎn)重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為t秒,4DEF與4ABC的重疊部分的面積為S(不包括A與E、D與C重合時(shí)的面積)，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

例3：如圖,已知直線k：y=-x+2與直線卜：y=2x+8相交于點(diǎn)F,k、卜分別交x軸于點(diǎn)E、G,矩形ABCD頂點(diǎn)

C、D分別在直線li、頂點(diǎn)A、B都在x軸上，且點(diǎn)B與點(diǎn)G重合。

(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)和/GEF的度數(shù)；

(2)求矩形ABCD的邊DC與BC的長：

(3)若矩形ABCD從原地出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0WtW6)

秒，矩形ABCD與4GEF重疊部分的面積為s,求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍。

y=-x+2

解：（1）由題意得1尸2X+8,

解得x=-2,y=4,

??F點(diǎn)坐標(biāo)：（-2,4）;

過F點(diǎn)作直線FM垂直X軸交x軸于M,

ME=MF=4,AMEF是等腰直角三角形，zGEF=45°;

（2）由圖可知G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）,貝C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4,

.點(diǎn)C在直線h上，

.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4,6）,

二?由圖可知點(diǎn)D與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，且點(diǎn)D在直線12上,

.?點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,6）,

1?由圖可知點(diǎn)A與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同，且點(diǎn)A在x軸上,

.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,

'.DC=|-1-(-4)|=3,BC=6;

(3)?.點(diǎn)E是li與x軸的交點(diǎn)，

.?點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,0）,

S一黜"小2+4）X4=i2

若矩形ABCD從原地出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，

當(dāng)t秒時(shí)，移動(dòng)的距離是lxt=t,

則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t,0）,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+t,0）;

①在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與12相交設(shè)交點(diǎn)為N,

AD與h相交設(shè)交點(diǎn)為K,那么-44-4+tS-2,

即04t42時(shí).N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4+t,2t）,K點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1+t,3-t）,

「「(■rc(3-t)?(3-t)--^t2+6t-

S=SAGFESGNBSAEK=12-22=22,

②在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與II相交設(shè)交點(diǎn)為N,

AD與h相交設(shè)交點(diǎn)為K,那么-2<-4+t且-1+G3,

即2<t“時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4+t,6-t),K點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1+t,3-t),

°°A(67)+(3-t)]?3~3t+今

S=S梯形BNKA=/,

③在運(yùn)動(dòng)到t秒，若BC邊與11相交設(shè)交點(diǎn)為N,

AD與11不相交,那么-4+K3且-1+t>3,

即4Vt47時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4+t,6-t),

J[2-(-4+t)],(6-t)^t2-6t+18

S=SABNE=2=2

答：(1)F點(diǎn)坐標(biāo)：(-2,4),NGEF的度數(shù)是45°;

(2)矩形ABCD的邊DC的長為3,BC的長為6;

s=--|t2+6t--|(0<t<2)

s=-3t+y(2<t<4)

2

s=-^t-6t+18(4<t<6)

(3)s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式2X

例4：如圖，正方形ABCD中，AB=45,P是BC的中點(diǎn)，DE_LAP,垂足為E.

(1)求AP的長.

(2)將4ADE沿射線AP平移，設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的距離為x,平移后的圖形與四邊形APCD重合部分的面積為y,求y

與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍.

26.解：(1),??四邊形ABCD是正方形,

:.BC=AB=4A/5，N8=90°.

:?BP=PC=2后.

,,AP=VAB~+BP~=+(2A/^)~=10.....................................................................................1

(2)VDF1/AP,AZAED=90°=ZB.

\*AD//BC,：.ZDAE=ZAPB.

???△DEAs△A8P.............................................................................................................................................................2分

AAEDEADg[JAEDE.

2后一4百一10

A4F=4,DE=3.

A

5XADF=-x4x8=16...............................................................................................3分

當(dāng)0<xW6時(shí)，如圖①，設(shè)DW、DE與CD分別相交于點(diǎn)M、N,連接D。。

則DDV/AA,,DD'=AA'=x.

：.ZDD,M=ZD,A/E,.

又「NDMD'=900=ND'E'A',

:?叢DMD'seD'E'A'..................................................4分

?DD'D'MDMpnxD'MDM

D'A4EUE，47548

***D'M=^-x,DM=2舊x......................................5分

55

VZD,MN=9Q°=ZD,EfAf,/MD，N=/E，DW,

：?4D'MNS/\D'E'A'.

（第26題圖①）

MND'M,即MN_DM

'D'E48

亞

MN=-D'M=6分

210x

后

=-D'M.MN=>x——x-

2251020

7分

,?'=SAADE-S&D'MN=-豕Jx~+16.

當(dāng)6Vx<8時(shí)，如圖②，設(shè)。仔,與PC相交于點(diǎn)Q.則PQ〃4D-

???△PQE'S/WDE.

.即S&PQE/一6\,

,?S居QE_/EP；

S-￡A）16

1,21（第26題圖②）

9分

y-^AAD'E'~^AD,MN~S&PQE=16——X-（X—6）=——-V+12%—20....................

當(dāng)8<x<10時(shí)，如圖③.

由①知，DM=與x，DM=—x-

55

**?A'M=4y[5--x^CM=4V5--x-

55

??y=^（AM+PQCM

=；（4右—4工+26）（4石_孚太）

（第26題圖③）

=—x2-8%+60.........................................................................................................11分

5

當(dāng)xN10時(shí)，y=0.

------x~+16(0<xK6),

綜上2012分

21

—ux'+12x—20(6<x<8),

y=

1X2-8X+60(8<X<10),

0(x210)

二、存在性問題：全等、相似及角度（關(guān)鍵對應(yīng)邊、對應(yīng)角不同需分類討論）

內(nèi)4字齡杯刎評定/A版），力搬護(hù)必5上

/，）L?根乙QA;七%才花、也族

?催皮動(dòng)EM力茁則二卬伸廣女"3但■檜）

以:力X利一我X不5B考?）〃有在△的必力網(wǎng)

為一從而拯於"X"MC

2次5

三、存在性問題：距離及面積（典型題型：最值問題、距離及面積和差倍分問題）

（/）米R(shí)+/+誥小健

w曲畫，A冰R麻力2點(diǎn)減旗出沙區(qū)”"勸

上診.市時(shí)應(yīng)用*

（4跖力々力Fa6AJ）4,If\L

四、存在性問題：三角形及特殊四邊形(典型為等腰、直角、等腰直角、平行四邊形、菱形)

例1：將邊長為4的正方形在如圖的平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)P是0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且從點(diǎn)0向點(diǎn)A

運(yùn)動(dòng).連接CP交對角線0B于點(diǎn)D,連接AD.

(1)求證：△OCD/△OAD；

(2)若△OCD的面積是四邊形OABC面積的1/6是，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后，再繼續(xù)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)AOCD恰為等腰

三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：(1)根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA,ZCOD=ZAOD=45°,根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)求出」OCD的面積是YOB的面積的9,求出OD:BD=1：2,根據(jù)相似推出OP:CB=1:2,

即可求出OP；

(3)分為三種情況：①OC=OD時(shí),②CD=OD時(shí)，③OC=CD時(shí),根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出

即可.

解答：(1)證明：,?,四邊形OCBA是正方形，

.,.OC=OA,zCOD=zAOD=45°,

在9CD和-OAD中

OC=OA

???(ZCOD=ZAOD,

OD=OD

."OCD用OAD(SAS)；

(2)解：?.,€＜口的面積是四邊形OABC面積的?，

0

.一OCD的面積是-COB的面積的；,

“ODC的邊0D上的高和-COB的邊0B上的高相等，

.OD_1

,0B-3，

,OD_1

,*BD"2'

「四物OCBASE^形，

.1.OAnBC,

.,.△OPD-^BCD,

,OP_OD_1

"'CB"BD"1'

vBC=4,

/.OP=2,

即P的坐標(biāo)是（2,0）;

（3）解：分為三種情況：①OC=OD時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,8-442）；

點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三隹形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)

用.

例2：如圖，直線y=-3/4x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線y=5/4x與AB交于點(diǎn)C,與過

點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng).過

點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、0D于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形

PQMN與AACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)0<tV5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.并求出中S的最大值.

（3）當(dāng)t>0時(shí)，直接寫出點(diǎn)（5,3）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍.

分析（1）首先根據(jù)題意求得A,B,C,D的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)C作CH^AD,易得ACPQ-AC

AD,由相似三角形的性質(zhì)，即可求得PQ的值，則可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即是S的最大值；

（3）當(dāng)PQ過點(diǎn)（5,3）時(shí)，t最??；當(dāng)N與（5,3）重合時(shí)，t最大，根據(jù)題意求解即

可.

解答v=---x-6

解：（1）由題意，得「?

—X

J4

x=3

解得51=旦

4

AC（3,—）；

4

（2）根據(jù)題意得:AE=t,0E=0A-EA=8-t

，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為?(8-t),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(8-t)-6=?t

PQ=—(S-t)+6=—t

44

當(dāng)MN在AD上時(shí)，10-2t=t,

.?」=此；當(dāng)。＜理兇?時(shí)，

33

S=AExPQ=t(10-2t),

即S=-2t2-10t

當(dāng)123V5時(shí)，

3

S=PQ2=(10-2t)4

即S=4t2-40t+100

當(dāng)OVtW孕時(shí)，

S=-2(t--)2+_=2.

22

，當(dāng)t=工時(shí)，

2

S最大值=二「

當(dāng)普StV5時(shí),S=4（t-5）2,

：tV5時(shí),S隨t的噌大而減小，

,t=w時(shí)，s最大值2

..25>100

■T~9~,

，s的最大值為孕.

（3）當(dāng)t=5時(shí)，PQ=0,P,Q,C三點(diǎn)重合；

當(dāng)t<5時(shí)，知OE=4時(shí)是臨界條件，即S-t=4

即t=4

，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5>3,

點(diǎn)（5,3）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動(dòng)，則點(diǎn)（5,3）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但

點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，OE=4

/.8-t=4

即t=4,

此時(shí)OE-PN=4-PQ=4+（10-2t）=6>3滿足條件，

/.3<t<4,

當(dāng)t>5時(shí)，由圖和條件知，則有E（t-8,0）,PQ=2t-10要滿足點(diǎn)（5,3）在正方形的

內(nèi)部，

則臨界條件'點(diǎn)橫坐標(biāo)為4=4=PQ-OE=|2t-10|-|t-8|=3t-18

即t=7,此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：-告、2=7=苧.滿足條件，

.07.

綜上所述：3<tV4或t>7時(shí)，點(diǎn)（5,3）都在正方形的內(nèi)部.

例3：如圖，以。為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1）,直線x=l交x軸于點(diǎn)B.P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，

作直線PC_LP0,交直線x=l于點(diǎn)C.過P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M,交直線x=l于點(diǎn)N.

（1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPMgAPCN；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，設(shè)AP長為m,四邊形POBC的面積為S,請求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自

變量m的取值范圍；（s是否有最大值并判斷此時(shí)Apbc的形狀）

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=l上移動(dòng)，^PBC能否成為等腰三角形？如果可能，求出所

有能使APBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請說明理由.

(1)證明：?.,0M〃BN,MN#OB,zAOB=90°

.?.四邊形OBNM為矩形

.-.MN=OB=1,zPMO=zCNP=90°

???OA=OB,

.-.zl=z3=45°

?.?MN#OB,

.-=45°

.-.zl=z2=45°,

,,.AM=PM

.\OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM

.-.OM=PN

vzOPC=90°,

.,.z4+z5=90°,

又,.?/4+/6=90°,

/.z5=z6

/.-OPMs-PCN

N2

(2)?.AM=PM=APsin45°=_m,

2

2

N21N2N2

..S-S^J^OBNM-2s二POM-(1-—m)-2x—(—mj■—m

2222

1-N2

=-mZ9-N2m+l(Ovm<——).

22

(3)-PBC可能成為等媵三角形

①當(dāng)P與A重告時(shí)，PC=BC=1,此時(shí)P(0,1)

②當(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)

N2

有BN=PN=l-_im

2

.*.BC=PB=N2PN=N2-n)

0-

,-.NC=BN+BC=l-——m+N2-m

2

N-2

由(2)知：NC=PM=—m

2

丘一日

.,.1-——m+z2-m=——m

22

整理得(丘+1)m=N-2+1

_—--—

N7N■)\2N2

,-.PM=—_m=——,BN=1-——m=l-——

2222

由可知PC=PB不fiJKZ

N272

.?.使-PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0"）或（----1-——）?

22

例4：已知：如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)xOy中，邊長為2的等邊aOAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)

A在x軸的正半軸上.另一等腰AOCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC=AC,ZC=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q

分別從A、0兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿0C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位

的速度沿ATOTB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.

（1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的AOPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值

范圍；

（2）在等邊AOAB的邊上（點(diǎn)A除外）存在點(diǎn)D,使得AOCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合

條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,現(xiàn)有/MCN=60。，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將NMCN繞著

C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0。＜旋轉(zhuǎn)角＜60。），使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中，Z1BMN

的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由.

分析（1）過點(diǎn)C作CD上0A于點(diǎn)D.（如圖）

.OC=AC,zACO=120°,

/.zAOC=zOAC=30°.

.OC=AC,CD±OA,.OD=DA=1.

1_2j3

在RtAODC中，OC=-^；（1分）

cos30°cos3003

（i）當(dāng)OVtV：時(shí)，OQ=t,AP=3t,OP=OA-AP=2-3t.

過點(diǎn)Q作QE^OA于點(diǎn)E.（如圖）

在RtAOEQ中,

.zAOC=30°,

..QE=|OQ=|,

二S二OPQ=：OP?EQ=：（2-3t）彳=-$2—Jt,

即S=±f2[t；（3分）

42

（ii）當(dāng)|＜理乎時(shí)（如圖）

OQ=t,OP=3t?2.

.\zBOA=60°,zAOC=30°,/.zPOQ=90c.

?SLOPQ=4OQ?OP=}?（3t_2）=1r2-t,

即$=$2.匕

故當(dāng)OVt<|時(shí)，S=-%2+g,當(dāng)#區(qū)￥時(shí)，s=|2t（5分）

（2）D邛，1）或（平，0）或（|,0）或號(hào)平）（9分）

（3）ABMN的周長不發(fā)生變化.理由如下：

陞

延長BA至點(diǎn)F,使AF=OM,連接CF.（如圖）

又.NMOC=NFAC=90。，OC=AC,

..△MOC^AFAC,

，MC=CF,zMCO=zFCA.（10分）

..NFCN=NFCA-NNCA=NMCO-NNCA

=zOCA-zMCN

=60。，

\zFCN=zMCN.

在aMCN和aFCN中，

MC=CF

<乙FCN=iMCN，

CN=CN

..△MCN