導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算解讀

導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算淮安市漣西南中學(xué)高三備課組2006.2.23教學(xué)目標(biāo):理解導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念及其幾何意義，掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率.教學(xué)重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義教學(xué)難點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、知識(shí)梳理:1?設(shè)函數(shù)y二f(x)在x二x處附近有定義，當(dāng)自變量在x二x處有增量Ax時(shí)，則函數(shù)00y二f(x)相應(yīng)地有增量Ay二f(x+Ax)-f(x)，如果AxT0時(shí)，Ay與Ax的比學(xué)0 0 Ax(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限(即學(xué)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù))，我們把這個(gè)極限值叫做Ax函數(shù)y=f(x)在x二x處的導(dǎo)數(shù)，記作y/| ，即f/(x)二limf(x0弋-f(x0)0 x=x0 0 AxTO Ax理解:①函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。0在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，Ax趨近于0可正、可負(fù)、但不為0,而Ay可能為0.學(xué)是函數(shù)y二f(x)對(duì)自變量x在Ax范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過(guò)曲Ax線y二f(x)上點(diǎn)(x,f(x))及點(diǎn)(x+Ax,f(x+Ax))的割線斜率.0000f/(x)是函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)x的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)x000處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線y二f(x)上點(diǎn)(x,f(x))處的切線的斜率。00因此，如果y二f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則曲線y二f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的切線方程為000y-f(x0)二f/(x0)(x-x0)。導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)y二f(x)在x及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Ax無(wú)0關(guān)。f(x+Ax)-f(x)若極限lim 0 0不存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)。AxT0 Ax 0

⑦若f(X)在x可導(dǎo)，則曲線y二f(x)在點(diǎn)(x,f(x))有切線存在。反之不然，000若曲線y二f(x)在點(diǎn)(x,f(x))有切線，函數(shù)y二f(x)在x不一定可導(dǎo)，并且，若000函數(shù)y二f(x)在x不可導(dǎo)，曲線在點(diǎn)(x,f(x))也可能有切線。0002.如果函數(shù)y二f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)xg(a,b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f/(x)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f/(x)。稱(chēng)這個(gè)函數(shù)f/(x)為函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，也可記作y/，即Ay f(x+Ax)-f(x)f/(x)=y/=lim二limAxtOAxAxtO Ax理解:①如果函數(shù)y二f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y二f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值。它們之間的關(guān)系是函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)x處O的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)f/(x)在點(diǎn)x的函數(shù)值?即y/| =f/(x).0 x=x0 0求導(dǎo)函數(shù)時(shí)，只需將求導(dǎo)數(shù)式中的x換成x就可，即f/(x)=limf(x+f)f(x)0 Axt0 Ax3.利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是：①求函數(shù)的改變量Ay=f(x+Ax)-f(x)。②求平均變化率學(xué)=②求平均變化率學(xué)=Axf(x+Ax)—f(x)Ax③取極限，得導(dǎo)數(shù)y/=lim字。Axt0Ax4.①兩個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(c)/=0 ,(xn)/=nxn-1(ngN*)；②導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：如果函數(shù)f(x)、g(x)有導(dǎo)數(shù)，那么[f(x)土g(x)]/=f(x)土g(x)[c-f(x)]/=c-f'(x)

5.切線的斜率一般地，已知函數(shù)y=f(x)的圖象是曲線C,P(x,y),Q(x+Ax,y+Ay)是曲0000線C上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P,即Ax趨向于0時(shí)，如果割線PQ無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置PT,那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)P處的切線.此時(shí)，割線PQ的斜率k=Ay無(wú)限趨近于切線PT的斜TOC\o"1-5"\h\zPQ Ax率k也就是說(shuō)，當(dāng)Ax趨向于0時(shí)，割線PQ的斜率k=學(xué)的極限為k.PQ Ax二、基礎(chǔ)回顧若函數(shù)f(x)=2x2一1的圖象上一點(diǎn)(1，1)及鄰近一點(diǎn)(1+Ax，1+Ay)，則Ay等于 ( )AxA.4 B.4x C.4+2Ax D.4+2Ax2\o"CurrentDocument"2.若函數(shù)f(x)=x3，貝ij[f(—2)]/= ,f(—2)= .12\o"CurrentDocument"若f(x)=x3,ff(x)=3，則x的值為 .1,-1\o"CurrentDocument"0 0 §冗 羽已知曲線y=f(x)在x=2處的切線的傾斜角為二，則廣(2)=二^6三、典例剖析1.求與直線2x-y-4=0平行且與曲線y=x2相切的直線方程.解：設(shè)(x,y),k=y| =2x=2，?:x=1，又y=x2,00切線 x=x0 0 0 0 0?:y=1，?:切點(diǎn)為(1,1),?:切線為y—1=2(x—1),y=2x—1.02.設(shè)函數(shù)f(x)=(2x—a)n，求f'(x).解:f(x)=limAxT0(2x—a+2Ax)n解:f(x)=limAxT0=lim[C1(2x—a)n=lim[C1(2x—a)n—1AxtO?2+C24Ax(2x—a)n-2+n+Cn2n(Ax)n-1]=2n(2x—Q)n-1n3.(2004年高考重慶卷文科) …已知曲線y=3x3+4，求過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程.解：???P(2,4)在曲線上當(dāng)切點(diǎn)為P(2,4)時(shí)，k廠廣⑵=4,過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程為y=4x-4；當(dāng)切點(diǎn)不是P(2,4)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T(mén)當(dāng)切點(diǎn)不是P(2,4)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T(mén)(x0,y0),y-4則k=f(x)=x2，又k切 0 0切x-20(xo豐2),y-4=x2，即y=x3-2x2+4,

000…一0—x-2 0014又y=x3+,030 314x3+ =x3-2x2+4,30 3 0 0即x3-3x2+4=0,x3+1-3x2+3=0,0000(x3+13)-3(x2-1)二0,(x+1)(x-2)2=0，又x00000???x=-1,.??切點(diǎn)為T(mén)(—1,1),.?.過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程為y二x+2.0綜合得過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程為y=x+2或y=4x-4.4.若直線y=3x+1是曲線y=x3-a的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0),則 =y'I =3x2,又=3,?3x02=3.?x0=±1.0 0 切線 'x=x0 0 切線 00???切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，??y=3x+1,y=x3-a.0000(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=3x+1=4,4=13-a,.a=—3000(2)當(dāng)x=-1時(shí),.y=3x+1=-2,-2=(-1)3-a.a=1000綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為一3或1.四、鞏固練習(xí)(2003年天津高考)設(shè)a>0,f(x)=ax2+bx+c，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,f(x))處切00處的傾斜角的取值范圍為[0,-],貝陀到曲線y=f(x)對(duì)稱(chēng)軸距離的取值范圍為…()4TOC\o"1-5"\h\z1 1 b b-1A.[0,—] B.[0, ] C. [0,|—|] D. [0,|k|]\o"CurrentDocument"a 2a 2a 2a(2004年全國(guó)3)曲線y=x3—3x2+1在點(diǎn)(1,—1)處的切線方程為 ()

A.y=3x－43.（2004年重慶15）4.（2004年湖南13）行的直線方程是 五、夯實(shí)基礎(chǔ)1.函數(shù)f（x）=（x+1）（xA.y=3x－43.（2004年重慶15）4.（2004年湖南13）行的直線方程是 五、夯實(shí)基礎(chǔ)1.函數(shù)f（x）=（x+1）（x2—x+1）的導(dǎo)數(shù)是A.x2—x+1C.3x2B.y=－3x+2 C.y=－4x+3 D.y=4x－51 4 y=4x-4已知曲線y=丄X3+4，則過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程是_.33過(guò)點(diǎn)P(-1,2)且與曲線y=3x2—4x+2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平_. y=2x+4B.(x+1)(2x－1)D.3x2+1A.兀0,一B.L0,巴］u「3兀 ）,兀c.「3k )D.'k3kL2」L2丿kJL4丿L4丿12'4」3?若曲線y二x4-x在點(diǎn)p處的切線平行于直線y=3x，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（解：當(dāng)切點(diǎn)為（°，°）時(shí)，k切=y=a，又k=1，「.a=1；x=0 切13?1或4A、（1，3） B、（-1，3） 解：當(dāng)切點(diǎn)為（°，°）時(shí)，k切=y=a，又k=1，「.a=1；x=0 切13?1或4當(dāng)切點(diǎn)為(x,y)時(shí)，k=y' =3x2-6x+a，又k=1，.?.3x2-6x+a=1，0 0 切 x=x° 0 0 切 0 0Iy二x又切點(diǎn)在切線和曲線上，詔0 0 ，即x3-3x2+ax=x，消去a得Iy=x3一3x2+ax 0 0 0 00000

函數(shù)f(x)=ax3+3x2+2，若f(一1)=4,則a的值等于10曲線y=2x2+1在P(—1,3)處的切線方程是 .y=-4x-110已知曲線y=x2—1與y=3—x3在x=x°處的切線互相垂直，求x°.解：k二2x,k二一3x2，又kk二一1,102012—6x—6x3=—1，.:x0&點(diǎn)P在曲線y=x3—x+-上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為a，求a的范圍.3解：°.°tana=3x2—1，.tana —1，+^).當(dāng)tanaw[0，+00)時(shí)，aw[0，n)；2當(dāng)tanaw[—1，0]時(shí)，aw|3n，n]4???aw[0n]U|-3n,n]24曲線y=—x2+4x上有兩點(diǎn)A(4，0)、B(2，4).求：割線AB的斜率k及AB所在直線的方程；AB在曲線上是否存在點(diǎn)C,使過(guò)點(diǎn)C的切線與AB所在直線平行？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4—0解：(1)kAB= =—2,.°.y=—2(x—4) 所求割線AB所在直線方程為2x+y—8=0.AB2—4(2)y'=—2x+4，—2x+4=—2，得x=3，y=—32+3X4=3..C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)，所求切線方程為2x+y—9=0.確定拋物線方程y=x2+bx+c中的常數(shù)b和c,使得拋物線與直線y=2x在x=2處相切.解：由題意知，切點(diǎn)為(2,4),k=2,切線又k二f'(2)二4+b,???4+b=2,???b=—2,又切點(diǎn)為(2,4)在拋物線上，切線.??4二22+2b+c，即c=4.曲線y=x3+3x2+6x—10的切線中，求斜率最小的切線方程.解：曲線上任意一點(diǎn)處的斜率為y'=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,?x=—1時(shí)，切線最小斜率為3，此時(shí)，y=(—1)3+3X(—1)2+6(—1)—10=—14.??切線方程為y+14=3(x+1),即3x—y—11=0.

曲線y=x2+1上過(guò)點(diǎn)P的切線與曲線y=－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：（方法一）設(shè)P（x0,y0）,由題意知曲線y=x2+l在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x0,切線方程為y=2x0x+1—x02，而此直線與曲線y=—2x2—1相切，???切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x2+2x0x+2—x02=O的判別式A=4x02—2X4X（2—x02）=0. 解得xO=±2x'3,yO=7