2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，2} C．{0，3} D．{﹣1，3}2．（4分）方程組的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）} C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}3．（4分）函數(shù)的定義域是（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）4．（4分）為了解學(xué)生在“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，品讀經(jīng)典文學(xué)”月的閱讀情況，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（閱讀時(shí)間t∈[0，50]），分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a的值為（）A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.3005．（4分）若a＞b，則一定有（）A． B．|a|＞|b| C． D．a(chǎn)3＞b36．（4分）在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則＝（）A． B． C． D．7．（4分）設(shè)2m＝3n，則m，n的大小關(guān)系一定是（）A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．以上答案都不對(duì)8．（4分）從2015年到2020年，某企業(yè)通過(guò)持續(xù)的技術(shù)革新來(lái)降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗降低了20%．如果這五年平均每年降低的百分率為x，那么x滿足的方程是（）A．5x＝0.2 B．5（1﹣x）＝0.8 C．x5＝0.2 D．（1﹣x）5＝0.89．（4分）設(shè)，是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）設(shè)f（x）為定義在R上的函數(shù)，函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)．對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：①f（1）＝0；②f（1﹣x）＝﹣f（1+x）；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知向量，，那么＝．12．（5分）若方程x2﹣2x+a＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．13．（5分）設(shè)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（2）＝0，則不等式f（x）＜0的解集是．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（2）＝；當(dāng)函數(shù)y＝f（x）﹣a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（5分）某廠商為推銷自己品牌的可樂(lè)，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂(lè)空罐換1罐可樂(lè)．對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說(shuō)法：①如果購(gòu)買10罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂(lè)；②欲飲用100罐可樂(lè)，至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè)；③如果購(gòu)買n（n∈N*）罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)．（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)）則所有正確說(shuō)法的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）某校高一年級(jí)1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖如圖．（Ⅰ）估計(jì)該校高一年級(jí)中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率．17．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝2x交點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；（Ⅲ）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．18．（14分）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求a的值；（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；（Ⅲ）當(dāng)a＝3時(shí)，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差的大小．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若f（a）＝2，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若f（x）≤m對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．20．（13分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品．以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）求出下一個(gè)銷售季度利潤(rùn)y不少于57000元時(shí)，市場(chǎng)需求量x的范圍．21．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．若存在常數(shù)m（m≠0），對(duì)于任意x∈R，f（x+m）＝mf（x）成立，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)Γ．記P為滿足性質(zhì)廠的所有函數(shù)的集合．（Ⅰ）判斷函數(shù)y＝x和y＝2是否屬于集合P？（結(jié)論不要求證明）（Ⅱ）若函數(shù)，證明：g（x）∈P；（Ⅲ）記二次函數(shù)的全體為集合Q，證明：P∩Q＝?．

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，2} C．{0，3} D．{﹣1，3}【分析】進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，2，3}，B＝{x|x＝2k﹣1，k∈N}，∴A∩B＝{﹣1，3}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法和描述法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）方程組的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）} C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}【分析】解原方程組得出x，y的值，然后寫出原方程組的解集即可．【解答】解：解得，或，∴原方程組的解集為：{（1，﹣1），（﹣2，2）}．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）函數(shù)的定義域是（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，即，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，結(jié)合函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．4．（4分）為了解學(xué)生在“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，品讀經(jīng)典文學(xué)”月的閱讀情況，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（閱讀時(shí)間t∈[0，50]），分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a的值為（）A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，能求出a．【解答】解：由頻率分布直方圖得：（0.006+a+0.040+0.020+0.006）×10＝1，解得a＝0.028．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（4分）若a＞b，則一定有（）A． B．|a|＞|b| C． D．a(chǎn)3＞b3【分析】由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，若a＞0＞b，則＞，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若0＞a＞b，則|a|＜|b|，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若0＞a＞b，則a2＜b2，則＜，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a＞b，則a3＞b3顯然成立，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用向量加法法則直接求解．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則＝＝＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的求法，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)2m＝3n，則m，n的大小關(guān)系一定是（）A．m＞n B．m＜n C．m≥n D．以上答案都不對(duì)【分析】根據(jù)已知可分三種情況討論，即m＝n，m＞n，m＜n，然后根據(jù)每種情況分析求出對(duì)應(yīng)關(guān)系即可．【解答】解：當(dāng)m＞n時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以2m＝3n＞2n，所以（）n＞1，所以m＞n＞0，當(dāng)m＝n時(shí)，（）n＝1，所以m＝n＝0，當(dāng)m＜n時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以2m＝3n＜2n，所以（）n＜1，所以n＜0，則m＜n＜0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)不等式的求解，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）從2015年到2020年，某企業(yè)通過(guò)持續(xù)的技術(shù)革新來(lái)降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗降低了20%．如果這五年平均每年降低的百分率為x，那么x滿足的方程是（）A．5x＝0.2 B．5（1﹣x）＝0.8 C．x5＝0.2 D．（1﹣x）5＝0.8【分析】根據(jù)題意，逐年列出生產(chǎn)總值能耗，即可得到答案．【解答】解：設(shè)2015年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a，則2016年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a（1﹣x），2017年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a（1﹣x）2，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a（1﹣x）3，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a（1﹣x）4，該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a（1﹣x）5，由題設(shè)可得a（1﹣x）5＝0.8a，故（1﹣x）5＝0.8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，涉及了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，從中抽出數(shù)學(xué)模型，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）設(shè)，是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若“|+|＝||+||”，則平方得||2+2?+||2＝||2+||2+2||?||，即?＝||?||，即?＝||||cos＜，＞＝||?||，則cos＜，＞＝1，即＜，＞＝0，即，同向共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，反之當(dāng)＜，＞＝π時(shí)，存在λ＜0，滿足＝λ，但“|+|＝||+||”不成立，即“存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ”是“|+|＝||+||”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．10．（4分）設(shè)f（x）為定義在R上的函數(shù)，函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)．對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：①f（1）＝0；②f（1﹣x）＝﹣f（1+x）；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由奇函數(shù)的定義分別判斷①②③，用奇函數(shù)定義及圖象平移即可斷定④．【解答】解：對(duì)于①，函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)?f（0+1）＝0?f（1）＝0，所以①對(duì)；對(duì)于②，函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)?f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）?f（1﹣x）＝﹣f（x+1），所以②對(duì)；對(duì)于③，函數(shù)f（x）的圖象未必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如f（x）＝x﹣1，滿足條件，但不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以③錯(cuò)；對(duì)于④，函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)，f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，將f（x+1）的圖象向右平移1個(gè)單位得到f（x）的圖象，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，所以④對(duì)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知向量，，那么＝5．【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后即可求出的值．【解答】解：∵，∴．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）若方程x2﹣2x+a＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．【分析】利用根的分布以及韋達(dá)定理列出關(guān)于a的不等式組，求解即可得到答案．【解答】解：設(shè)方程x2﹣2x+a＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1＞0，x2＞0，所以，解得0＜a＜1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．故答案為：（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的分布問(wèn)題，涉及了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）設(shè)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（2）＝0，則不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（2）＝0，∴（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，f（﹣2）＝0，則f（x）對(duì)應(yīng)圖象如圖：則f（x）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式求解，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，作出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（2）＝﹣1；當(dāng)函數(shù)y＝f（x）﹣a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣1，0]．【分析】利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可得到第一問(wèn)；畫出函數(shù)的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解a的范圍即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝，f（2）＝log0.52＝﹣log22＝﹣1；函數(shù)f（x）＝的圖象如圖：函數(shù)y＝f（x）﹣a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a∈（﹣1，0]．故答案為：﹣1；（﹣1，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題．15．（5分）某廠商為推銷自己品牌的可樂(lè)，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂(lè)空罐換1罐可樂(lè)．對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說(shuō)法：①如果購(gòu)買10罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂(lè)；②欲飲用100罐可樂(lè)，至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè)；③如果購(gòu)買n（n∈N*）罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)．（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)）則所有正確說(shuō)法的序號(hào)是②③．【分析】①，計(jì)算購(gòu)買10罐可樂(lè)時(shí)實(shí)際最多可以飲用的可樂(lè)罐數(shù)即可；②，由題意求出欲飲用100罐可樂(lè)時(shí)至少需要購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)即可；③，利用①②的結(jié)論驗(yàn)證購(gòu)買n（n∈N*）罐可樂(lè)時(shí)，實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)即可．【解答】解：對(duì)于①，購(gòu)買10罐可樂(lè)，實(shí)際最多可以飲用可樂(lè)罐數(shù)為10+3+1＝14，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?7÷3＝22余1，（22+1）÷3＝7余2，（7+2）÷3＝3，3÷3＝1；所以67+22+7+3+1＝100，即欲飲用100罐可樂(lè)，至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè)，②正確；對(duì)于③，由①②，驗(yàn)證購(gòu)買n（n∈N*）罐可樂(lè)，實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)，（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)）正確．總結(jié)規(guī)律可知：剩余的空罐數(shù)為1或2；購(gòu)買奇數(shù)罐可樂(lè)剩余1個(gè)空罐，購(gòu)買偶數(shù)罐可樂(lè)剩余2個(gè)空罐；每多購(gòu)買2罐可樂(lè)，實(shí)際可多飲用1罐可樂(lè)；實(shí)際飲用可樂(lè)罐數(shù)比購(gòu)買可樂(lè)罐數(shù)的1.5倍少0.5或1；所以購(gòu)買n（n∈N*）罐可樂(lè)，實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)，（其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)）．綜上知，以上正確說(shuō)法的序號(hào)是②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，也考查了邏輯推理應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）某校高一年級(jí)1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖如圖．（Ⅰ）估計(jì)該校高一年級(jí)中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率．【分析】（Ⅰ）由折線圖能求出該校高一年級(jí)中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)．（Ⅱ）求出體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的學(xué)生人數(shù)分別為2人和3人，從而求出基本事件總數(shù)和恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）中包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出其中恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率．【解答】解：（Ⅰ）由折線圖得：樣本中該校高一年級(jí)中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為：14+3+13＝30（人）．∴估計(jì)該校高一年級(jí)中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為1000×＝750人．（Ⅱ）體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的學(xué)生人數(shù)分別為2人和3人，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)n＝＝10，其中恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）中包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝6．∴其中恰有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70）的概率p＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、概率的求法，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝2x交點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；（Ⅲ）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解出即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．【解答】（Ⅰ）解：令y＝f（x），則由題意得：，解得：或，故函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝2x交點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），（4，8）；（Ⅱ）解：f（x）＝x++3≥2+3＝2+3＝7，當(dāng)且僅當(dāng)x＝即x＝2時(shí)“＝”成立，故f（x）在（0，+∞）上的最小值是7；（Ⅲ）證明：不妨設(shè)x2＞x1＞2，則f（x2）﹣f（x1）＝x2++3﹣x1﹣﹣3＝（x2﹣x1）+＝（x2﹣x1）?，∵x2＞x1＞2，∴x2﹣x1＞0，＞0，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查圖象交點(diǎn)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．18．（14分）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求a的值；（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率；（Ⅲ）當(dāng)a＝3時(shí)，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差的大小．（結(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）直接由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等列式求解a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)a＝2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率；（Ⅲ）直接計(jì)算方差，然后比較大?。窘獯稹拷猓海á瘢┯杉住⒁覂蓚€(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等，得（88+92+92）＝[90+91+（90+a）]，解得a＝1；（Ⅱ）設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件A，a的取值有：0，1，2，…，9共有10種可能．由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＝1時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，∴當(dāng)a＝2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．∴乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率P（A）＝＝；（Ⅲ）當(dāng)a＝3時(shí)，＝（88+92+92）＝，＝（90+91+93）＝，所以＝，＝，因?yàn)椋约捉M同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差比乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖，考查了等可能事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．19．（15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若f（a）＝2，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若f（x）≤m對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．【分析】（Ⅰ）將x＝a代入解析式，解指數(shù)方程即可求出a得值；（Ⅱ）先判斷奇偶性，然后分析定義域并計(jì)算f（x）、f（﹣x）得數(shù)量關(guān)系，結(jié)合定義可得結(jié)論；（Ⅲ）先求出f（x）在[1，+∞）上得最大值，再根據(jù)要使f（x）≤m對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，即m≥f（x）max，求出m得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（a）＝2，所以，所以2a+1＝2?2a﹣2且2a≠1，所以2a＝3，所以a＝log23；（Ⅱ）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：因?yàn)?x﹣1≠0，所以定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以f（x）為奇函數(shù)；（Ⅲ）因?yàn)椋剑忠驗(yàn)閥＝2x﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以在[1，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（1）＝3，又因?yàn)閒（x）≤m對(duì)于x∈[1，+∞）恒成立，所以m≥f（x）max＝3，即m≥3．所以m得最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算的能力，屬于中檔題．20．（13分）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品．以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）求出下一個(gè)銷售季度利潤(rùn)y不少于57000元時(shí)，市場(chǎng)需求量x的范圍．【分析】（Ⅰ）直接由題意分段寫出x∈[100，130]和x∈（130，150]時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（