結構力學矩陣位移法

結構力學學習內(nèi)容

有限單元法的基本概念，結構離散化。

平面桿系結構的單元分析：局部坐標系下的單元剛度矩陣和整體坐標系下的單元剛度矩陣。

平面桿系結構的整體分析：結構整體剛度矩陣和結構整體剛度方程。

邊界條件的處理，單元內(nèi)力計算。

利用對稱性簡化位移法計算。

矩陣位移法的計算步驟和應用舉例。2學習目的和要求

目的：矩陣位移法是以計算機為計算工具的現(xiàn)代化結構分析方法?；谠摲ǖ慕Y構分析程序在結構設計中得到了廣泛的應用。因此，以計算機進行結構分析是本章的學習目的。

矩陣位移法是以位移法為理論基礎，以矩陣為表現(xiàn)形式，以計算機為運算工具的綜合分析方法。引入矩陣運算的目的是使計算過程程序化，便于計算機自動化處理。盡管矩陣位移法運算模式呆板，過程繁雜，但這些正是計算機所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點是用“機算”代替“手算”。因此，學習本章是既要了解它與位移法的共同點，更要了解它的一些新手法和新思想。3學習目的和要求

要求：矩陣位移法包含兩個基本環(huán)節(jié)：單元分析和整體分析。

在單元分析中，熟練掌握單元剛度矩陣和單元等效荷載的概念和形成。熟練掌握已知結點位移求單元桿端力的計算方法。

在整體分析中，熟練掌握結構整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過程，熟練掌握結構綜合結點荷載的集成過程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。

自由式單元的單元剛度矩陣不要求背記，但要領會其物理意義，并會有它推出特殊單元的單元剛度矩陣。4矩陣位移法以傳統(tǒng)的結構力學作為理論基礎;以矩陣作為數(shù)學表達形式;以電子計算機作為計算手段三位一體的解決各種桿系結構受力、變形等計算的方法。第一節(jié)矩陣位移法概述采用矩陣進行運算，不僅公式緊湊，而且形式統(tǒng)一，便于使計算過程規(guī)格化和程序化。這些正是適應了電子計算機進行自動化計算的要求。5第一節(jié)矩陣位移法概述結構力學傳統(tǒng)方法與結構矩陣分析方法，二者同源而有別：

在原理上同源，在作法上有別前者在“手算”的年代形成，后者則著眼于“電算”，計算手段的不同，引起計算方法的差異。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應，在結構矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或稱柔度法與剛度法。矩陣位移法由于具有易于實現(xiàn)計算過程程序化的優(yōu)點而廣為流傳。

矩陣位移法是有限元法的雛形，因此結構矩陣分析有時也稱為桿件結構的有限元法。在本章中將使用有限元法中的一些術語和提法。61、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述力法

需要選擇基本體系和多余約束。所以較多地依賴于結構的具體情況，不宜實現(xiàn)計算機計算的自動化，但其優(yōu)點是計算出的結果就是力。位移法

是先求結點位移，再換算成力，該法的計算自動化和通用性強，目前廣為采用。結構結點力桿件桿端力桿件端點位移結構結點位移位移法力法位移法與力法之由于選取的基本未知量不同，因此計算次序不同a、方法的選擇71、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述b、基本假設和基本原理線彈性、小變形。滿足疊加原理、功能原理c、正負號規(guī)定（采用右手法則）桿端內(nèi)力規(guī)定當與坐標軸正方向一致時為正；桿端位移和結點位移規(guī)定當與坐標軸正方向一致時為正。結點外力規(guī)定當與坐標軸正方向一致時為正；81、矩陣位移法的基本思路第一節(jié)矩陣位移法概述化整為零

（離散化、單元分析）集零為整

（結點力平衡、位移協(xié)調(diào)）先把結構拆開，分解成若干個單元（在桿件結構中，一般把每個桿件取作一個單元），這個過程稱作離散化。然后按單元力學性質(zhì)對每個單元分析建立單元剛度方程，在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體求解。在一分一合，先拆后搭的過程中，把復雜結構的計算問題轉化為簡單單元分析和集合問題。矩陣位移法的要點：92、單元劃分第一節(jié)矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續(xù)結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零在桿件結構矩陣分析中，一般是把桿件的轉折點、匯交點、邊界點、突變點或集中荷載作用點等列為結點，結點之間的桿件部分作為單元。102、單元劃分第一節(jié)矩陣位移法概述將一個在荷載作用下的連續(xù)結構剖分成若干個各自獨立的單元，原結構可以看成是由各單元在連接點（稱結點）連接而成的體系——化整為零為了減少基本未知量的數(shù)目，跨間集中荷載作用點可不作為結點，但要計算跨間荷載的等效結點荷載；跨間結點也可不作為結點，但要推導相應的單元剛度矩陣，編程序麻煩。11第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）1、坐標系的選擇:

在矩陣位移法中采用兩種坐標系：

局部坐標系和整體坐標系。單元分析的目的是以結點位移為基本未知量，分析每個單元的結點力和結點位移及荷載之間的關系，即建立單元剛度方程，并用矩陣形式表示。整體坐標局部坐標FPxy12第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣采用局部坐標系（以桿的軸線作為x軸）時，桿端力及桿端位移的正方向以坐標軸正方向為正。桿端位移：桿端內(nèi)力：桿件方向：

l13第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣局部坐標系下的單剛方程14第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）2、局部坐標系中的單元剛度矩陣剛度系數(shù)的物理意義：單元剛度矩陣是桿端力與桿端位移之物理關系；矩陣的階數(shù)與桿端位移分量數(shù)相等；表示引起的桿端力的大小。15第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質(zhì)單剛一般具有奇異性：單剛具有對稱性：由反力互等定理可知受力角度：存在剛體位移，桿端位移無法唯一確定數(shù)學角度：向量相關，矩陣不可逆，行列式為零。16第二節(jié)單元分析（局部坐標系下的單元分析）3、局部坐標系中的單元剛度矩陣性質(zhì)與單元剛度方程相應的正、反兩類問題

為不平衡力系時，無解；為平衡力系時，有無窮多組解。

為任何值時，都有對應的唯一解，且總是平衡力系。將單元視為兩端自由的桿件，直接加在自由端作為指定的桿端力。將單元視為兩端有人為約束控制的桿件?？刂聘郊蛹s束加以指定。解的性質(zhì)力學模型反問題正問題17第三節(jié)單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣

同類單元在局部坐標系中具有相同的簡潔形式。但不同單元在復雜結構中方位不盡相同，在整體分析中，為使分量疊加方便，需選擇一個統(tǒng)一公共坐標系——整體坐標系。按整體坐標系來建立各單元的剛度矩陣。局部坐標系整體坐標系變換18第三節(jié)單元分析（整體坐標系下的單元分析）1、單元坐標轉換矩陣整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端位移轉換關系為：用整體量表示局部量？19第三節(jié)單元分析（整體坐標系下的單元分析）整體坐標系下的分量局部坐標系下的分量xy兩種坐標系中單元的桿端力轉換關系為：1、單元坐標轉換矩陣用局部量表示整體量？20第三逢節(jié)仇單誘元分碑析（整體坐互標系下轎的單元裂分析）整體坐把標系下屢的單剛熔與局部歪坐標系碰下的單俯剛性質(zhì)鴉相同2、整體趙坐標系代中的單筆元剛度勝矩陣21第三節(jié)韻單讓元分析劑（整體坐鄭標系下某的單元疏分析）3、整體獲坐標系藝中的單傷元剛度摧矩陣的朽特性整體坐肺標系中象的單元上剛度矩蜻陣與局拉部坐標枕系中的僑單元剛列度矩陣有類似鮮的特性（對畏稱、頓奇異桑）。蜂另外魂，局習部坐勵標系哥中的硬單元謝剛度搭矩陣犯只與御單元源的幾效何形快狀、踏物理有常數(shù)像有關堆；整珠體坐減標系圖中的拳單元常剛度扛矩陣殼不僅息與單乳元的滋幾何良形狀嫂、物獸理常梯數(shù)有兵關，弓還與帽單元撕的位翁置和移方位曾有關資。22第四節(jié)吊整槳體分析整體群剛度減方程浩是整平體結逢構的可結點致力與順結點躲位移嶺之間架的關嫩系式扣，是撫通過傘考慮蹦結構負的變絮形連趴續(xù)條牧件和嚴平衡躲條件葛建立躬起來寶的。鹽無論迷何種觀結構多，其灶整體撤剛度贊方程檔都具沸有統(tǒng)此一的柿形式母：[K]是整體狡剛度矩饒陣；{Δ}結構導的結糕點位姨移列賣向量身；{P}結構的魚結點力摸列向量貸。利用結挺點位移植協(xié)調(diào)和劍結點力場平衡條挖件將各潑單元整些合到一炒起,得到裝一個姿關于餡結點訪位移島的線達性代草數(shù)方茄程——集零為哭整1、整體嶼剛度矩喬陣的集邁成23第四枯節(jié)扭整哈體分糞析1、整嚇體剛魯度矩辰陣的孝集成由變形賣連續(xù)條孝件知，法結點發(fā)舊生單位械位移，蜓交于該胃結點的慣各單元們的桿端美也發(fā)生奸單位位凍移，由也此產(chǎn)生赤的單元伴桿端力辛應是單拋元剛度丈矩陣中豬的元素貌。結點禾單位奴位移績產(chǎn)生純的結伐點力薦是整晌體剛芳度矩呢陣中伏的元響素。字由平著衡條遍件知世交于眉某結隱點的巷各單倚元桿雜端力輸之和祖等于逃該結藏點的我相應介結點頑力。追故整謊體剛言度矩寸陣中溜的元饅素應伏是由慎對應故的單沃元剛純度矩敞陣中秤的元辛素疊態(tài)加而撫成。綜上序所述塔，整冒體剛編度矩之陣可狗以根志據(jù)單朝元的愿結點蒜位移宏分量綁的局漿部碼閑和總支碼之罷間的懷對應棚關系并，由仰單元叛剛度壟矩陣私集成耗結構見整體思剛度掠矩陣事。24第四節(jié)欄整較體分析FPxyFR1FR2FR3FR41(1全,2弄)2(3,欺4)213(5抄,6盛)FPFR1FR2FR3FR41、整體猾剛度矩隊陣的集撫成離散25第四舞節(jié)塌整賢體分拋析分別寫晚出整體蜂坐標系材下單元捷剛度方紡程1、整體癢剛度矩局陣的集被成26第四節(jié)艷整尚體分析將離況散單美元集嗎合時射應滿絹足位協(xié)移協(xié)誤調(diào)和垮平衡鍛條件位移躬協(xié)調(diào)121(1,2)2(3,4)3(5,6)FP1、整體紹剛度矩物陣的集悶成27第四作節(jié)搶整礙體分遲析將離散員單元集掉合時應奸滿足位僑移協(xié)調(diào)臂和平衡輝條件結點灶平衡121(1,2)2(3,4)3(5,6)FPFR1FR2FR3FR41、整折體剛里度矩修陣的心集成28第四叛節(jié)殿整盞體分進析1、整奮體剛杜度矩犯陣的刮集成集成囑整體繞剛度煩矩陣駛的關張鍵，秋是確趟定單賄元剛窮度矩還陣中趨的元餓素在淹整體袋剛度意矩陣逃中的姓位置恢。首先浪要知炕道單漁元的乓結點貫位移騰分量板的局駕部碼險和總邀碼之套間的囑對應珠關系床，即單元窄定位扶向量。它是之單元結澤點位移飛總碼按竹局部碼痕順序排已列而成袋的向量倡記為{λ}。單元扶結點罰分量臂按單勉元定灶位向烘量向冠整體買剛度偵矩陣秤安裝12(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy29第四節(jié)漸整狼體分析1、整體漂剛度矩播陣的集漁成將單霞元剛狂度矩脂陣按肝單元辭定位塵向量邀擴展除為單短元貢役獻矩江陣（拔換碼搭擴陣澤）30第四節(jié)虛整嘉體分析1、整停體剛改度矩擠陣的體集成按位疊桿加得整鋪體剛度之矩陣31第四豎節(jié)瞞整雷體分弱析1、整體侄剛度矩阻陣的集納成按位無疊加綢得整附體剛寶度矩鼓陣32第四節(jié)感整維體分析根據(jù)螺集成乳法原臘理，麻計算年過程耽分步緣瑞進行趁：1、整體宣剛度矩墾陣的集來成33第四姨節(jié)講整扇體分窄析1、整擊體剛薪度矩澡陣的更集成整體剛鑰度矩陣落集成的兩乏步可以悉合成一鍛步完成間：邊換鏈碼，舉邊疊田加，成對號英入座(1)將[k]e中元賤素重茄新在[K]e中定位結點量跳值的兩譜種編碼屆：總碼罪、局碼秧；量值分萄量在兩夸種編碼蒸中的對甘應關系延，由單元資定位剃向量來表示昌；(2聲)將所有[k]e疊加生累成[K]單剛元滋素在單撤元剛陣雕中按局腳碼順序殘排列；頸而在單曉元貢獻跪陣中按鏈總碼順余序排列屈，即需赤要“換燒碼重排魯座”34第四行節(jié)吃整淋體分咳析2、整體烘剛度矩簡陣系數(shù)推的物理筍意義1.對稱性3.稀疏性整體剛度源矩陣海是結點力與結點位移跟之間的物理關系；矩陣的噸階數(shù)與結點位移昂分量井數(shù)相閣等；Kij表示第j個結煌點位龜移分薄量為1時，第i個結點柳力分坐量的仍大小歷。3、整體胖剛度矩珍陣的性氧質(zhì)2.奇異艘性35第五節(jié)榆內(nèi)擱力計算由前面世的分析溉得到整蓄體剛度讓矩陣和約結點荷灶載列陣及，形成緒關于結偵點位移丑的線性睛代數(shù)方部程組；疫求解線蕩性方程徑組可以洗得到結盛點位移婆列陣；壩利用結橡點位移撒列陣計冬算桿端場內(nèi)力。計算結辭點位移由定挺位向派量e提取單能元桿端追位移36第五節(jié)臨內(nèi)演力計算FPxyl1l2EA=750l1

=4l2

=3FP

=40解:清1.離散化局碼12總碼位移碼單元爸編碼(5,6)(1,2)(3,4)123FPxy例題：用矩國陣位療移法唱求結地構內(nèi)俯力。37第五侮節(jié)笨內(nèi)像力計嬸算FPxyl1l2例題：用矩陣恥位移法椒求結構表內(nèi)力。2.計算筑局部搏單剛3.求變起換矩鋪陣解:天1.離散?；?8第五節(jié)事內(nèi)正力計算FPxyl1l2例題：用矩險陣位庫移法悔求結洞構內(nèi)屢力。2.計算碑局部井單剛3.求變務換矩貫陣解:押1.離散斥化12561莊2酒5室61234561壇2止3膠4轉5括64.求單君剛擴泳展矩疊陣39第五節(jié)偏內(nèi)蠟力計算FPxyl1l2例題：用矩腰陣位連移法勁求結齒構內(nèi)披力。2.計算局澆部單剛3.求變換刺矩陣解:允1.離散化34563小4閉5葡61234561攝2闖3甲4倦5有64.求單剛豎擴展矩悄陣40第五受節(jié)養(yǎng)內(nèi)透力計砌算FPxyl1l2例題：用矩滅陣位瓜移法腹求結哲構內(nèi)墳力。5.疊加林求整忍體剛什陣41第五節(jié)魂內(nèi)客力計算FPxyl1l2例題：用矩芬陣位油移法揚求結破構內(nèi)愧力。5.疊加求園整體剛革陣42第五節(jié)懶內(nèi)蝴力計算FPxyl1l2例題：用矩未陣位企移法課求結涼構內(nèi)斃力。5.疊加求負整體剛疲陣6.求結點叢荷載列襖陣43第五節(jié)伶內(nèi)另力計算FPxyl1l2例題：用矩其陣位牧移法俊求結氏構內(nèi)兼力。5.疊加鵲求整茅體剛主陣6.求結橡點荷咐載列青陣7.引入園邊界喉位移44