平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)/NUMPAGES16平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)平方差公式與完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦連用公式變化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz完全平方公式活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例1．已知，，求的值。例2．已知，，求的值。解：∵∴∴= ∵，∴例3已知，求的值。解：三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”．例1計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b．例2計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式．例5計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（2-1），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(jiǎn)．（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2倍．例6計(jì)算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例10計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便．四、怎樣熟練運(yùn)用公式：熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)．常見的幾種變化是：1、位置變化如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了．2、符號(hào)變化如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化如后就能夠用乘法公式加以解答了．4、系數(shù)變化如（4m+）（2m－）變?yōu)?（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了．（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便．如計(jì)算（a2+1）2·（a2－1）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用．如計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．下列各題，難不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字．（答案：1.（1）23；（2）21．2.6）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．第一層次──正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用．例1計(jì)算(－2x－y)(2x－y)．．第二層次──逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用．例2計(jì)算第三層次──活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式．例3化簡(jiǎn)：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“2－1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．第四層次──變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快．例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，第五層次──綜合后用：將(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2綜合，可得(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡(jiǎn)捷．例6計(jì)算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2乘法公式的使用技巧：①提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2②改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(eq\f(1,3)a-\f(1,4)b)(eq-\f(1,4)b-\f(a,3));（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)③逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。計(jì)算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2④合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：簡(jiǎn)析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，變?yōu)椋瑒t可利用乘法公式。三.先分項(xiàng)，再用公式例3.計(jì)算：簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成