船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)虛力原理的應(yīng)用

第十九講虛力原理的應(yīng)用對應(yīng)教材§6-6和§6-6本講主要內(nèi)容2023/5/17船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理1一、虛力原理二、余位能駐值原理三、應(yīng)力能原理四、單位載荷法五、最小功原理六、小結(jié)與練習(xí)一、虛力原理2023/5/172原理表述結(jié)構(gòu)在外力作用下保持平衡；結(jié)構(gòu)受到的外力發(fā)生虛變化（虛力：不破壞靜力平衡和靜力邊界條件，且使結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)）；外力的虛余功必等于結(jié)構(gòu)的虛余能。公式表述虛余功（外力虛變化用δP表示）：虛余能（虛力對應(yīng)的虛應(yīng)力用δσ表示）：虛力原理：船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理一、虛力原理2023/5/173虛力原理證明 ——以受分布載荷兩端自由支持梁為例。必要條件：若結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)，則δW*=δV*。外力虛變化δq，內(nèi)力虛變化δM和δN。虛力滿足靜力平衡條件：虛力滿足靜力邊界條件：若結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)，則需符合變形協(xié)調(diào)條件：梁的撓度連續(xù)：梁的幾何邊界條件：q(x)l,Iδv船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理一、虛力原理2023/5/174虛力原理證明 ——以受分布載荷兩端自由支持梁為例。必要條件：若結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)，則δW*=δV*。根據(jù)梁的變形協(xié)調(diào)條件構(gòu)造等式：對其中微分項進(jìn)行積分：帶入構(gòu)造等式并化簡：q(x)l,Iδv船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理命題得證一、虛力原理2023/5/175虛力原理證明 ——以受分布載荷兩端自由支持梁為例。充分條件：若δW*=δV*，變形協(xié)調(diào)和幾何邊條滿足。外力虛變化δq，內(nèi)力虛變化δM和δN。虛余功為：虛余能為：虛力原理表示為：船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理q(x)l,Iδv二、余位能駐值原理2023/5/176余位能駐值原理說明余位能駐值原理與位能駐值原理對偶。虛力原理的應(yīng)用，等效于力法中的變形連續(xù)條件。假設(shè)外載荷不發(fā)生變化，常用于計算結(jié)構(gòu)的支座反力。彈性體穩(wěn)定平衡時，總余位能將取極小值。余位能駐值原理內(nèi)容彈性結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)對應(yīng)于總余位能取駐值?？傆辔荒堞?定義：

結(jié)構(gòu)余能V*與反力余位能-U*的和：Π*=V*-U*

反力余位能-U*：船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理支座處位移支座反力二、余位能駐值原理2023/5/177余位能駐值原理公式令支座反力有虛變化δRi：則支反力所做的虛余功為：根據(jù)虛力原理：余位能駐值原理公式：

對比位能駐值原理公式：

對于不能發(fā)生位移的支座：

總余位能等于余能：船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理二、余位能駐值原理2023/5/178余位能駐值原理算例利用余位能駐值原理解靜不定桁架。解：長度為l截面為A的拉桿的余能：該桁架桿長如圖，截面積均為A，各桿的余能為：利用節(jié)點力的平衡條件：桁架的余能為：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理二、余位能駐值原理2023/5/179余位能駐值原理算例利用余位能駐值原理解靜不定桁架。解：結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生位移的支座，桁架的總余位能為：根據(jù)余位能駐值原理：解得桿的拉力：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理二、余位能駐值原理2023/5/1710余位能駐值原理算例利用余位能駐值原理解靜不定桁架。討論：由余位能駐值原理：得到的公式：分析各項含義：變形協(xié)調(diào)方程：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理三、應(yīng)力能原理2023/5/1711應(yīng)力能原理若發(fā)生力的虛變化δPi，余能的變分形式為：

根據(jù)虛力原理：

比較兩個等式：

得到應(yīng)力能原理公式：卡氏第二定律若結(jié)構(gòu)僅力Pk變化，其余的力保持不變：對于線性體系，應(yīng)變能等于余能：V*=V船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理三、應(yīng)力能原理2023/5/1712最小余能原理和最小功原理結(jié)構(gòu)余能是外力及多余約束反力的函數(shù)。

內(nèi)約束：使結(jié)構(gòu)位移與支座位移協(xié)調(diào)的約束。

外約束：使結(jié)構(gòu)位移為零的約束。根據(jù)應(yīng)力能原理，對外約束有：結(jié)構(gòu)余能可分為梁的余能和彈性支座余能：

對內(nèi)約束X2有：P1P2PnX1Xr船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理用于計算靜不定結(jié)構(gòu)多余約束反力。X2Δ2三、應(yīng)力能原理2023/5/1713最小余能原理和最小功原理最小余能原理：

穩(wěn)定平衡的靜不定結(jié)構(gòu)；

結(jié)構(gòu)滿足外約束為零且內(nèi)約束處位移協(xié)調(diào)；

多余約束反力使結(jié)構(gòu)的余能取最小值。最小余能原理公式：最小功原理：

線性體系中結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對約束反力的偏導(dǎo)數(shù)等于零。最小功原理公式：船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理應(yīng)變能V應(yīng)使用力的表達(dá)式用于計算靜不定結(jié)構(gòu)多余約束反力。四、單位載荷法2023/5/1714單位載荷法原理虛力原理表達(dá)式為： 假設(shè)結(jié)構(gòu)某處有一單位虛力： 單位虛力引起的虛應(yīng)變?yōu)椋?單位位移法的公式表述為：單位載荷法可以用來求結(jié)構(gòu)某一點的位移。莫爾積分對于彎曲梁，由單位載荷法可以求得梁上某點的位移：

M為真實外力引起的彎矩；M0為在i處單位外力引起的彎矩。船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理五、最小功原理的例題2023/5/1715例一：靜不定曲桿剛架結(jié)構(gòu)。解：假設(shè)曲桿可以用桿的彎曲應(yīng)變能公式：根據(jù)最小功原理：多余約束反力為水平方向力H：設(shè)直桿段局部坐標(biāo)s1

，桿件斷面彎矩為：且有：HHR=P/2RPPrds1船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理五、最小功原理的例題2023/5/1716例一：靜不定曲桿剛架結(jié)構(gòu)。解：設(shè)曲桿段局部坐標(biāo)s2，桿件斷面彎矩為：且有：對于整個剛架：求得水平力H為：步求桿件斷面彎矩M(s1)和M(s2)；最大彎矩為拱形的頂點處：HHR=P/2RPPrds1s2φ船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)講義-虛力原理rq五、最小功原理的例題2023/5/1717例二：受均布壓力作用的等斷面圓環(huán)。解：圓環(huán)對稱，截面無剪力。取半環(huán)，該處截面彎矩M0和軸向力T。由靜力平衡：圓環(huán)任意截面彎矩為：根據(jù)最小功原理：故圓環(huán)截面無彎矩：TTM0M