2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．關(guān)于x的不等式≤0的解集是．2．已知f（x）＝+，y＝f（x+1）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是．3．已知某社區(qū)的家庭年收入（單位：萬(wàn)元）的頻率分布直方圖如圖所示，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表，則該社區(qū)內(nèi)家庭的平均年收入的估計(jì)值是萬(wàn)元．4．若函數(shù)y＝f（x）的值域是[，3]，則函數(shù)F（x）＝f（2x+1）+的值域是．5．2004年12月26日，印尼發(fā)生強(qiáng)烈地震，繼而引發(fā)海嘯，印尼地震監(jiān)測(cè)機(jī)構(gòu)最初公布的報(bào)告稱(chēng)，這次地震的震級(jí)為里氏6.8級(jí)，但美國(guó)地質(zhì)勘探局測(cè)定的地震震級(jí)為里氏8.9級(jí)，已知里氏震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為R＝（lgE﹣11.4），那么里氏8.9級(jí)的地釋放的能量大約是里氏6.8級(jí)地震釋放的能量的倍．（精確到0.1）．6．隨機(jī)抽取10個(gè)同學(xué)中至少有2個(gè)同學(xué)在同一月份生日的概率為（精確到0.001）．7．設(shè)f（x）＝2x﹣1﹣2﹣x﹣1，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x2+2mx）+f（2）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．8．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果方格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該四棱錐的體積為．9．設(shè)集合I＝{1，2，3，4}，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有種（用數(shù)字作答）．10．A、B、C、D是海上的4個(gè)島嶼，任意兩個(gè)島嶼之間都有條件用一條海底光纜相連，一條光纜只能連接兩個(gè)島嶼，為了節(jié)省開(kāi)支，現(xiàn)決定拉3條光纜，使這4個(gè)島嶼形成用光纜連接的連通網(wǎng)絡(luò)，則不同的拉光纜方案共有種（用數(shù)字作答）．11．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的a∈D，存在唯一的b∈D，使得f（a）+f（b）＝4，則稱(chēng)f（x）在D上的“特征”為4，給出下列函數(shù)：（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]；（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]；（3）f（x）＝；（4）f（x）＝x2?ex．其中“特征”為4的函數(shù)的序號(hào)是．12．對(duì)任意集合M，定義fM（x）＝，已知集合S、T?X，則對(duì)任意的x∈X，下列命題中真命題的序號(hào)是．（1）若S?T，則fS（x）≤fT（x）；（2）fS（x）＝1﹣f（x）；（3）fS∩T（x）＝fS（x）?fT（x）；（4）fS∪T（x）＝[]（其中符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)）．二、選擇題13．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．9名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口3人，則不同的分派方案共有（）種A．CCC B．3CCC C．6CCC D．15．設(shè)f（x）＝|2x﹣2|，a、b∈R+，且a≠b，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A．f（）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（）＞f（） C．f（）＞f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）16．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，誰(shuí)先贏滿3局誰(shuí)勝，已知甲方每一局的概率都是，則甲最終以3：1獲勝的概率是（）A． B． C． D．三、解答題17．如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，點(diǎn)G是△ACB1的重心，D1G⊥面ACB1；（1）求D1G的長(zhǎng)；（2）求AB與平面ACB1所成角的大?。?8．用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x），假定函數(shù)f（x）＝eax+b+c，e是自然對(duì)數(shù)的底，a、b、c為實(shí)數(shù)，f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），值域?yàn)椋?，1]．（1）求a、b、c的值；（2）現(xiàn)有t（t＞0）單位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說(shuō)明理由．19．已知f（x）＝（5+2x）2021．（1）證明f（）+f（﹣）是整數(shù)，并求f（）的整數(shù)部分的個(gè)位數(shù)；（2）將f（x）按照x的升冪展開(kāi)，求展開(kāi)式中系數(shù)最大和最小的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．20．對(duì)于給定的函數(shù)y＝f（x），記A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列舉法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求證：A＝B；（3）若f（x）＝，記函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)為y＝f﹣1（x），若關(guān)于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“曼哈頓距離”定義為|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，記為||PQ||，如點(diǎn)P（﹣1，﹣2）、Q（2，4）的“曼哈頓距離”為9，記為||PQ||＝9．（1）點(diǎn)P（﹣1，﹣2），Γ是滿足||PQ||≤1的動(dòng)點(diǎn)Q的集合，求點(diǎn)集Γ所占區(qū)域的面積；（2）動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝2x﹣2上，動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)y＝x2圖象上，求||PQ||的最小值；（3）動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)y＝x2（x∈[﹣3，3]）的圖象上，點(diǎn)P（a，b），||PQ||的最大值記為M（a，b），請(qǐng)選擇下列二問(wèn)中的一問(wèn)，做出解答：①求證：不存在實(shí)數(shù)a、b，使M（a，b）＝5；②求M（a，b）的最小值．

2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．關(guān)于x的不等式≤0的解集是（1，2]．【分析】直接利用分式不等式的解法，求解即可．【解答】解：不等式≤0，等價(jià)于，解得x∈（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式的解法，是基礎(chǔ)題．2．已知f（x）＝+，y＝f（x+1）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是2．【分析】根據(jù)題意，求出f（x）的解析式，由奇函數(shù)的定義可得+＝﹣（+），變形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝+，則f（x+1）＝+，若y＝f（x+1）是奇函數(shù)，則+＝﹣（+），變形可得：（﹣）+（﹣）＝0，必有a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3．已知某社區(qū)的家庭年收入（單位：萬(wàn)元）的頻率分布直方圖如圖所示，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表，則該社區(qū)內(nèi)家庭的平均年收入的估計(jì)值是6.5萬(wàn)元．【分析】利用頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式求解即可．【解答】解：由頻率分布直方圖可得，該社區(qū)內(nèi)家庭的平均年收入的估計(jì)值是：（4.5+5.5+6.5）×0.2+7.5×0.26+（8.5+9.5）×0.07＝6.5萬(wàn)元．故答案為：6.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法，頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算方法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．若函數(shù)y＝f（x）的值域是[，3]，則函數(shù)F（x）＝f（2x+1）+的值域是[2，]．【分析】由題意利用基本不等式，y＝t+的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y＝f（x）的值域是[，3]，∴t＝f（2x+1）的值域?yàn)閇，3]，故函數(shù)F（x）＝f（2x+1）+≥2．再根據(jù)y＝F（x）＝t+在[，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（）＝，F(xiàn)（3）＝，可得F（x）的最大值為，故F（x）的值域?yàn)閇2，]，故答案為：[2，]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的值域，基本不等式的應(yīng)用，y＝t+的單調(diào)性，屬于中檔題．5．2004年12月26日，印尼發(fā)生強(qiáng)烈地震，繼而引發(fā)海嘯，印尼地震監(jiān)測(cè)機(jī)構(gòu)最初公布的報(bào)告稱(chēng)，這次地震的震級(jí)為里氏6.8級(jí)，但美國(guó)地質(zhì)勘探局測(cè)定的地震震級(jí)為里氏8.9級(jí)，已知里氏震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為R＝（lgE﹣11.4），那么里氏8.9級(jí)的地釋放的能量大約是里氏6.8級(jí)地震釋放的能量的1412.5倍．（精確到0.1）．【分析】根據(jù)里氏震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為，可得8.9級(jí)的地震釋放的能量大約是里氏6.8級(jí)地震釋放的能量的關(guān)系，解方程可得結(jié)果．【解答】解：里氏震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為R＝（lgE﹣11.4），∴，∴，故答案為：1412.5．【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查對(duì)數(shù)方程，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．6．隨機(jī)抽取10個(gè)同學(xué)中至少有2個(gè)同學(xué)在同一月份生日的概率為0.996（精確到0.001）．【分析】本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)1210，至少有2位同學(xué)在同一個(gè)月出生的對(duì)立事件是沒(méi)有人生日在同一個(gè)月，共有種結(jié)果，根據(jù)對(duì)立事件和古典概型的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)1210，至少有2位同學(xué)在同一個(gè)月出生的對(duì)立事件是沒(méi)有人生日在同一個(gè)月，共有種結(jié)果，∴要求的事件的概率是1﹣≈0.996．故答案為：0.996．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，考查對(duì)立事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，也是一個(gè)易錯(cuò)題，注意本題的運(yùn)算不要出錯(cuò)．7．設(shè)f（x）＝2x﹣1﹣2﹣x﹣1，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x2+2mx）+f（2）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣）．【分析】首先確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，然后脫去f符號(hào)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題，據(jù)此即可確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：由函數(shù)的解析式可知函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，且：f（﹣x）＝2﹣x﹣1﹣2x﹣1＝﹣f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)，則題中的不等式等價(jià)于：f（x2+2mx）＞﹣f（2）＝f（﹣2），脫去f符號(hào)即：x2+2mx＞﹣2，x2+2mx+2＞0恒成立，則：Δ＝4m2﹣8＜0，解得：，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，二次函數(shù)恒成立的處理方法等知識(shí)，屬于中等題．8．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果方格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該四棱錐的體積為10．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為直角梯形，高為3的四棱錐體；如圖所示：所以：V＝．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．設(shè)集合I＝{1，2，3，4}，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有17種（用數(shù)字作答）．【分析】根據(jù)題意，按集合A中的最大的元素分情況討論，求出每種情況下選擇方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A＝{1}時(shí)，B可以為{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}；有3+3+1＝7種情況，A＝{2}、{1，2}時(shí)，B可以為{4}，{3，4}，{3}；各有3種情況A＝{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}時(shí)，B只能為{4}，各有1種情況共計(jì)7+2×3+4＝17種；故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，涉及集合子集的定義，屬于基礎(chǔ)題．10．A、B、C、D是海上的4個(gè)島嶼，任意兩個(gè)島嶼之間都有條件用一條海底光纜相連，一條光纜只能連接兩個(gè)島嶼，為了節(jié)省開(kāi)支，現(xiàn)決定拉3條光纜，使這4個(gè)島嶼形成用光纜連接的連通網(wǎng)絡(luò)，則不同的拉光纜方案共有16種（用數(shù)字作答）．【分析】根據(jù)題意，先計(jì)算“任意兩個(gè)島嶼之間一條海底光纜相連”時(shí)需要修建光纜的數(shù)目，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在這6條海底光纜中撤去3條，保證4個(gè)島嶼形成用光纜連接的連通網(wǎng)絡(luò)”的問(wèn)題，由間接法分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A、B、C、D是海上的4個(gè)島嶼，任意兩個(gè)島嶼之間一條海底光纜相連，需要C42＝6條海底光纜，在這6條海底光纜中撤去3條，保證4個(gè)島嶼形成用光纜連接的連通網(wǎng)絡(luò)即可，在6條海底光纜中任選3條，有C63＝20種選法，其中不能保證4個(gè)島嶼形成用光纜連接的連通網(wǎng)絡(luò)，有C41＝4種選法，則有20﹣4＝16種符合題意的選法；故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的a∈D，存在唯一的b∈D，使得f（a）+f（b）＝4，則稱(chēng)f（x）在D上的“特征”為4，給出下列函數(shù)：（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]；（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]；（3）f（x）＝；（4）f（x）＝x2?ex．其中“特征”為4的函數(shù)的序號(hào)是（1）．【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)函數(shù)是不是“特征”為4的函數(shù)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析所給的4個(gè)函數(shù)：對(duì)于（1）f（x）＝lnx，x∈[，e5]，若對(duì)任意的a∈[，e5]，有b＝∈[，e5]，則有f（a）+f（b）＝4，則f（x）是“特征”為4的函數(shù)；對(duì)于（2）f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，]，f（）＝4，而f（﹣1）＝f（1）＝0，不滿足唯一性，則f（x）不是“特征”為4的函數(shù)；對(duì)于（3）f（x）＝，有f（）＝＝3，而不存在x，滿足f（x）＝1，則f（x）不是“特征”為4的函數(shù)；對(duì)于（4）f（x）＝x2?ex，有f（x）≥0，當(dāng)0≤f（a）＜4時(shí)，不存在f（b）滿足f（a）+f（b）＝4，則f（x）不是“特征”為4的函數(shù)；則其中“特征”為4的函數(shù)為（1）．故答案為：（1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．12．對(duì)任意集合M，定義fM（x）＝，已知集合S、T?X，則對(duì)任意的x∈X，下列命題中真命題的序號(hào)是（1）（2）（3）（4）．（1）若S?T，則fS（x）≤fT（x）；（2）fS（x）＝1﹣f（x）；（3）fS∩T（x）＝fS（x）?fT（x）；（4）fS∪T（x）＝[]（其中符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)）．【分析】直接根據(jù)給定的條件分別對(duì)4個(gè)命題逐一分析并判斷作答即可．【解答】解：對(duì)于（1），因?yàn)镾?T，所以當(dāng)x∈S時(shí)，x∈T，fS（x）＝fT（x）＝1；當(dāng)x?S時(shí)，fS（x）＝0，而fT（x）＝0或fT（x）＝1，則fS（x）≤fT（x），故（1）正確；對(duì)于（2），當(dāng)x∈S時(shí)，x??XS，則fS（x）＝1，；當(dāng)x?S時(shí)，x∈?XS，即fS（x）＝0，，所以fS（x+f（x）＝1，從而fS（x）＝1﹣f（x），故（2）正確；對(duì)于（3），當(dāng)x∈S∩T時(shí)，則x∈S，x∈T，fS∩T（x）＝1，fS（x）＝fT（x）＝1，即fS∩T（x）＝fS（x）?fT（x）；當(dāng)x?S∩T時(shí)，則fS∩T（x）＝0，此時(shí)x?S與x?T至少有一個(gè)成立，即fS（x）＝0與fT（x）＝0中至少一個(gè)成立，從而fS∩T（x）＝fS（x）?fT（x），故（3）正確；對(duì)于（4），當(dāng)x∈S∪T時(shí)，fS∪T（x）＝1，若x∈S，x∈T，則fS（x）＝1，fT（x）＝1，[]＝[]＝1；若x∈S，x?T，則fS（x）＝1，fT（x）＝0，[]＝1；若x?S，x∈T，同理可得：[]＝1；若x?S∪T，則x?S，x?T，fS∪T（x）＝fS（x）＝fT（x）＝0，[]＝[]＝0，綜上可得：fS∪T（x）＝[]，故（4）正確．故答案為：（1）（2）（3）（4）【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬中檔題．二、選擇題13．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“ab＞1”是“b＞”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣3時(shí)，由“ab＞1”?是“b＞”不成立，同樣a＝﹣2，b＝3時(shí)，由“b＞”?“ab＞1”也不成立，故“ab＞1”是“b＞”的既不充分也不必要條件，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．9名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口3人，則不同的分派方案共有（）種A．CCC B．3CCC C．6CCC D．【分析】根據(jù)題意，依次分析3個(gè)路口的分派方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，9名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口3人，第一個(gè)路口有種分派方法，第二個(gè)路口有種分派方法，第三個(gè)路口有種分派方法，故有種分派方法，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)f（x）＝|2x﹣2|，a、b∈R+，且a≠b，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A．f（）＞f（）＞f（） B．f（）＞f（）＞f（） C．f（）＞f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）【分析】先由基本不等式可得，結(jié)合f（x）的圖象可知三者的最大值一定不是，進(jìn)而判斷D錯(cuò)誤．【解答】解：因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，且a≠b，由基本不等式可知，所以，畫(huà)出函數(shù)f（x）＝|2x﹣2|的圖象，結(jié)合圖象可知，所以D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，考查函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．16．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，誰(shuí)先贏滿3局誰(shuí)勝，已知甲方每一局的概率都是，則甲最終以3：1獲勝的概率是（）A． B． C． D．【分析】比賽以甲3：1獲勝，則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出概率．【解答】解：∵甲最終以3：1獲勝，即在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，第4局甲勝，∴甲最終以3：1獲勝的概率為×（1﹣）×＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，解題的關(guān)鍵是甲最終以3：1獲勝的理解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，點(diǎn)G是△ACB1的重心，D1G⊥面ACB1；（1）求D1G的長(zhǎng)；（2）求AB與平面ACB1所成角的大?。痉治觥浚?）設(shè)長(zhǎng)方體AA1＝a，建立空間直角坐標(biāo)系，利用D1G⊥面ACB1，求出a，再求出DG1；（2）求出直線的方向向量，面ACB1的法向量，用空間向量求解即可．【解答】解：（1）設(shè)AA1＝a，a＞0，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D1（0，0，a），B1（3，3，a），∵G是△ACB1的重心，∴G（2，2，），∵D1G⊥面ACB1，AB1?面ACB1，∴D1G⊥AB1，∵，＝（0，3，a），∴，即，解得a＝3，∴，∴＝，（2）＝（0，3，0），∵D1G⊥面ACB1，∴面ACB1的法向量，∴＝＝，∴直線AB與平面ACB1所成角的正弦值為，∴AB與平面ACB1所成角的大?。军c(diǎn)評(píng)】本題考查了利用空間向量求線段長(zhǎng)度和直線與平面所成的角，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x），假定函數(shù)f（x）＝eax+b+c，e是自然對(duì)數(shù)的底，a、b、c為實(shí)數(shù)，f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），值域?yàn)椋?，1]．（1）求a、b、c的值；（2）現(xiàn)有t（t＞0）單位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說(shuō)明理由．【分析】（1）用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，所以，結(jié)合值域可得f（0）＝1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，解方程即可求a，b，c；（2）分別求兩種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量，再作比較即可．【解答】解：（1）由題意可得，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，所以，解得a＝﹣ln2，b＝c＝0．（2）由（1）可知，若清洗一次，，則現(xiàn)在蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為，若清洗兩次，，則現(xiàn)在蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為．故兩種方案殘留農(nóng)藥量一樣多．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)的值域，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．19．已知f（x）＝（5+2x）2021．（1）證明f（）+f（﹣）是整數(shù)，并求f（）的整數(shù)部分的個(gè)位數(shù)；（2）將f（x）按照x的升冪展開(kāi)，求展開(kāi)式中系數(shù)最大和最小的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．【分析】（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可證得f（）+f（﹣）∈Z，且個(gè)位為0，由0＜f（﹣）＜1，可求得f（）的整數(shù)部分的個(gè)位數(shù)；（2）求出f（x）的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，從而可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)ar+1，計(jì)算，可得各項(xiàng)系數(shù)的大小關(guān)系，即可求得結(jié)論．【解答】（1）證明：f（）+f（﹣）＝2（?52021+?52019?24+…+?5?241010）∈Z，其個(gè)位為0，因?yàn)?＜5﹣2＜1，所以0＜f（﹣）＜1，所以f（）的整數(shù)部分的個(gè)位數(shù)是9．（2）解：f（x）的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)為T(mén)r+1＝?52021﹣r?（2x）r，其中r＝0，1，2，…，2021，令ar+1＝?52021﹣r?2r（r＝0，1，2，…，2021），ar+1＞0恒成立，＝＝?，①當(dāng)r≤576時(shí)，＞1，故a1＜a2＜…＜a577＜a578；②當(dāng)r≥577，＜1，故a578＞a579＞…＞a2022，a1＝52021，a2022＝22021，a1＞a2022，綜上，系數(shù)最大的項(xiàng)是第578項(xiàng)，系數(shù)最小項(xiàng)是第2022項(xiàng)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20．對(duì)于給定的函數(shù)y＝f（x），記A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列舉法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求證：A＝B；（3）若f（x）＝，記函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)為y＝f﹣1（x），若關(guān)于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)f（x）＝，得出方程，即可求解．（2）任取x1∈A，f（f（x1））＝f（x1）＝x1，進(jìn)而可得x1∈B，可得A?B；任取x2∈B，則f（f（x2））＝x2，利用反證法的思想，證明f（x2）＝x2，得到x2∈A，所以B?A，即可證得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a與y＝f（x+a）互為相反數(shù)，得到g（g（x））＝x，根據(jù)g（x）的解析式得到函數(shù)g（x）單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)（1）轉(zhuǎn)化為g（x）＝x，得到方程＝x有實(shí)數(shù)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）由f（x）＝，令＝x，即x2+4x﹣13＝0，解得x＝﹣2+，即集合A＝{﹣2+}，由f（f（x））＝f（）＝x，即＝x，整理得（x2+4x﹣13）（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣2+或x＝1或x＝3，即集合B＝{1，3，﹣2+}．（2）證明：任取x1∈A，可得f（x1）＝x1，則f（f（x1））＝f（x1）＝x1，所以x1∈B，可得A?B，任取x2∈B，則f（f（x2））＝x2，下面證明：f（x2）＝x2，若f（x2）＞x2，則f（f（x2））＞f（x2）＞x2，若f（x2）＜x2，則f（f（x2））＜f（x2）＜x2，這與f（f（x2））＝x2矛盾，所以f（x2）＝x2，即x2∈A，所以B?A，綜上可得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a與y＝f（x+a）互為相反數(shù)，令g（x）＝f（x+a），即函數(shù)y＝g（x）的反函數(shù)為y＝g﹣1（x），則f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）?g﹣1（x）＝g（x）?g（g（x））＝x，因?yàn)間（x）＝在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，由（2）知g（g（x））＝x，可得g（x）＝x，即方程＝x有實(shí)數(shù)解，即x+a﹣2＝x2在[0，+∞）上有實(shí)數(shù)解，可得a＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+在[0，+∞）有實(shí)數(shù)解，所以a≥，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與函數(shù)的關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．21．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“曼哈頓距離”定義為|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，記為||PQ||，如點(diǎn)P（﹣1，﹣2）、Q（2，4）的“曼哈頓距離”為9，記為||PQ||＝9．（1）點(diǎn)P（﹣1，﹣2），Γ是滿足||PQ||≤1的動(dòng)點(diǎn)Q的集合，求點(diǎn)集Γ所占區(qū)域的面積；（2）動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝2x﹣2上，動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)y＝x2圖象上，求||PQ||的最小值；（3）動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)y＝x2（x∈[﹣3，3]）的圖象上，點(diǎn)P（a，b），||PQ||的最大值記為M（a，b），請(qǐng)選擇下列二問(wèn)中的一問(wèn)，做出解答：①求證：不存在實(shí)數(shù)a、b，使M（a，b）＝5；②求M（a，b）的最小值．【分析】（1）利用“曼哈頓距離”的定義，列出不等式并求出它表示的平面區(qū)域