2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則集合M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣2≤x＜3}2．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，則B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°4．（5分）為了得到函數(shù)y＝sin2x的圖象，只需要把函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位5．（5分）2020年5月，《東莞市生活垃圾分類三年行動方案》出臺．根據(jù)該方案，小明家所在小區(qū)設(shè)置了兩個垃圾回收點A，B，他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走80米，到達回收點A，再向南偏東60°方向走30米，到達回收點B，則他從回收點B回到自家樓下至少還需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米6．（5分），是兩個非零向量，則使成立的一個必要非充分條件是（）A． B． C． D．（λ＞0）7．（5分）函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3個不同的零點a，b，c，則2a+2b+2c的取值范圍是（）A．[16，32] B．[16，34） C．（18，32] D．（18，34）8．（5分）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若A＝，a＝，則b2+c2+bc的取值范圍為（）A．（1，9] B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）以下命題（其中a，b表示直線，α表示平面），其中錯誤的是（）A．若a∥b，b?α，則a∥α B．若a∥α，b∥α，則a∥b C．若a∥b，b∥α，則a∥α D．若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．z的虛部為i B．＝2﹣i C． D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限（多選）11．（5分）如圖，透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，下面四個命題中正確的是（）A．水面EFGH所在四邊形的面積為定值 B．棱A1D1始終與水面所在平面平行 C．當(dāng)E∈AA1時，AE+BF是定值 D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，BE?BF是定值（多選）12．（5分）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?＝．若O是銳角△ABC內(nèi)的一點，A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足．則（）A．O為△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝m2﹣3m+（m2﹣6m）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m＝．14．（5分）已知向量，的夾角為45°，且||＝1，||＝，則|﹣|＝．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，則A的取值范圍是．16．（5分）窗花是貼在窗紙或戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）平面內(nèi)給定三個向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．（1）求滿足＝m﹣n的實數(shù)m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求實數(shù)k的值．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍．19．（12分）如圖：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點．（1）求證：BD1∥平面AEC；（2）若F為CC1的中點，求證：平面AEC∥平面BFD1．20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA），且（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤魘|＝2，求△ABC面積的最大值．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，請在①b+bcosC＝csinB；②（2b﹣a）cosC＝ccosA；③a2+b2﹣c2＝這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延長CB到D，使cos∠ADC＝，求線段BD的長度．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|+x，a∈R（1）若a＝0，判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實數(shù)a∈[﹣2，3]，使得關(guān)于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

2020-2021學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合M＝{x||x|≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則集合M∩N＝（）A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣2≤x＜3}【分析】先解不等式求出集合M，N，再根據(jù)交集的定義求出M與N的交集．【解答】解：∵M＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x≤2}，故選：B．【點評】本題考查了交集及其運算，一元二次不等式，絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)可求．【解答】解：＝＝1+i，其共軛復(fù)數(shù)為1﹣i．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，則B等于（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【分析】由正弦定理可求得sinB的值，由大邊對大角可得B＜A＝45°，從而可解得B的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB＝＝＝∵a＝2＞b＝，∴B＜A＝45°∴可解得：B＝30°故選：A．【點評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）為了得到函數(shù)y＝sin2x的圖象，只需要把函數(shù)y＝sin（2x+）的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：要把函數(shù)y＝sin（2x+）＝sin2（x+）的圖象向右平移個單位，可得函數(shù)y＝sin2x的圖象，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）2020年5月，《東莞市生活垃圾分類三年行動方案》出臺．根據(jù)該方案，小明家所在小區(qū)設(shè)置了兩個垃圾回收點A，B，他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走80米，到達回收點A，再向南偏東60°方向走30米，到達回收點B，則他從回收點B回到自家樓下至少還需走（）A．50米 B．57米 C．64米 D．70米【分析】畫出圖形，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意可知，小明的行走路線如圖，由余弦定理可得：OB＝＝＝70（米）．他從回收點B回到自家樓下至少還需走70米．故選：D．【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識的考查．6．（5分），是兩個非零向量，則使成立的一個必要非充分條件是（）A． B． C． D．（λ＞0）【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的公式化簡條件得到，同向共線，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由得cos＜，＞＝||||，則cos＜，＞＝1，即＜，＞＝0，則，同向共線，則條件成立的充要條件是（λ＞0），則使成立的一個必要非充分條件是∥，故選：B．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．7．（5分）函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3個不同的零點a，b，c，則2a+2b+2c的取值范圍是（）A．[16，32] B．[16，34） C．（18，32] D．（18，34）【分析】不妨設(shè)a＜b＜c，利用f（a）＝f（b）＝f（c），先確定2a+2b的值，再結(jié)合圖象求出c的取值范圍，即可得到2a+2b+2c的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，因為函數(shù)g（x）＝f（x）﹣t（t∈R）有3個不同的零點a，b，c，不妨設(shè)a＜b＜c，則有1﹣2a＝2b﹣1，所以2a+2b＝2，結(jié)合圖象，可得4＜c＜5，故16＜2c＜32，所以18＜2a+2b+2c＜34．故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解）．屬于中檔題．8．（5分）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若A＝，a＝，則b2+c2+bc的取值范圍為（）A．（1，9] B．（3，9] C．（5，9] D．（7，9]【分析】由已知利用正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得b2+c2+bc＝5+4sin（2B﹣），可求范圍2B﹣∈（，），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其取值范圍．【解答】解：∵A＝，a＝，由正弦定理，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2+bc＝b2+c2﹣bc+2bc＝a2+2bc＝3+2×2sinB×2sinC＝3+8sinBsin（﹣B）＝3+8sinB（cosB+sinB）＝5+4sin（2B﹣），∵銳角△ABC中，B∈（，），可得2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，∴b2+c2+bc＝5+4sin（2B﹣）的取值范圍為（7，9]．故選：D．【點評】此題考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）以下命題（其中a，b表示直線，α表示平面），其中錯誤的是（）A．若a∥b，b?α，則a∥α B．若a∥α，b∥α，則a∥b C．若a∥b，b∥α，則a∥α D．若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b【分析】對于A，a∥α或a?α；對于B，a與b相交、平行或異面；對于C，a∥α或a?α；對于D，由線面平行的性質(zhì)得a∥b．【解答】解：由a，b表示直線，α表示平面，知：對于A，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故A錯誤；對于B，若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若a∥b，b∥α，則a∥α或a?α，故C錯誤；對于D，若a∥α，a?β，α∩β＝b，則由線面平行的性質(zhì)得a∥b，故D正確．故選：ABC．【點評】本題考查命題真假的判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．（多選）10．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．z的虛部為i B．＝2﹣i C． D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡z，然后逐一分析四個選項得答案．【解答】解：∵＝＝，∴z的虛部為1，，，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為（2，1），在第一象限．∴AD錯誤，BC正確．故選：BC．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）如圖，透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，下面四個命題中正確的是（）A．水面EFGH所在四邊形的面積為定值 B．棱A1D1始終與水面所在平面平行 C．當(dāng)E∈AA1時，AE+BF是定值 D．當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，BE?BF是定值【分析】直接利用幾何體的體積公式，線面平行的判定，等體積轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對于A：根據(jù)容器的傾斜程度，水面EFGH是不斷發(fā)生變化的，故A錯誤；對于B：由于A1D1∥AD∥平面EFGH，故B正確；對于C：利用等體積得知：容器中水的高為BC不會發(fā)生變化，所以底面積不會發(fā)生變化，即BE?BF為定值，故D正確；由于水的體積的不變性，BE+BF為定值，故C正確；故選：BCD．【點評】本題考查的知識要點：幾何體的體積公式，線面平行的判定，等體積轉(zhuǎn)換法，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?＝．若O是銳角△ABC內(nèi)的一點，A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足．則（）A．O為△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．||：||：||＝sinA：sinB：sinC D．【分析】通過可判斷A；在四邊形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°可判斷B；通過，，相互數(shù)量積表示可判斷C；用三角形面積公式absinC表示SA，SB，SC可解決D．【解答】解：∵，∴（﹣）?＝0，∴⊥，同理：⊥，⊥，∴O為△ABC的垂心，∴A正確；∵延長BO交AC于點D，延長AO交BC于點E，在四邊形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣∠DCE，即∠AOB＝180°﹣∠C，∴B正確；∵?＝||||cos∠AOB＝||||cos（180°﹣C）＝﹣||||cosC，同理：?＝﹣||||cosB，?＝﹣||||cosA，∴||||cosC＝||||cosB＝||||cosA，∴||：||：||＝cosA：cosB：cosC，∴C錯；∵SA＝||||sin（180°﹣A）＝||||sinA，同理：SB＝||||sinB，SC＝||||sinC，∴SA：SB：SC＝：：＝：：＝tanA：tanB：tanC，由奔馳定理得tanA?+tanB?+tanC?＝，∴D正確．故選：ABD．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝m2﹣3m+（m2﹣6m）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m＝3．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義建立方程進行求解即可．【解答】解：∵z是純虛數(shù)，∴，得，得m＝3，故答案為：3【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，根據(jù)純虛數(shù)的定義建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知向量，的夾角為45°，且||＝1，||＝，則|﹣|＝1．【分析】由平面向量的和與差的模的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：|＝＝故答案為：1．【點評】本題考查了平面向量和與差的模的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，則A的取值范圍是（0，]．【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用和函數(shù)值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，則+＝，整理得a2＝bc．由余弦定理的得cosA＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，所以cosA≥，故0＜A≤，即A的取值范圍是（0，]．故答案為：（0，]．【點評】本題考查的知識要點：余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．16．（5分）窗花是貼在窗紙或戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是[8，12]．【分析】先利用平面向量的線性運算法則，把，用向量，來表示，然后將所求表達為||2的形式，結(jié)合函數(shù)思想求范圍．【解答】解：由正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，故正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓半徑為r＝OAsin60°＝2，外接圓半徑R＝4．，則＝（+）?（+）＝2﹣2＝||2﹣4．由圖可知2≤||≤4，∴∈[8，12]．故答案為：[8，12]．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）平面內(nèi)給定三個向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．（1）求滿足＝m﹣n的實數(shù)m，n；（2）若（+k）∥（2﹣），求實數(shù)k的值．【分析】（1）利用向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、向量相等即可得出．（2）利用向量共線定理即可得出．【解答】解：（1）（3，2）＝＝m﹣n＝m（﹣1，2）﹣n（4，1）＝（﹣m﹣4n，2m﹣n）．∴，解得m＝，n＝﹣．（2）+k＝（3，2）+k（4，1）＝（3+4k，2+k）．2﹣＝2（﹣1，2）﹣（3，2）＝（﹣5，2）．∴﹣5（2+k）﹣2（3+4k）＝0，解得k＝﹣．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、向量相等、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)倍角公式和兩角和公式，對函數(shù)進行化簡，再利用T＝，進而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性進而求得函數(shù)f（x）的范圍．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，∴，解得ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范圍為．【點評】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象，三角函數(shù)式恒等變形，三角函數(shù)的值域．公式的記憶，范圍的確定，符號的確定是容易出錯的地方．19．（12分）如圖：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點．（1）求證：BD1∥平面AEC；（2）若F為CC1的中點，求證：平面AEC∥平面BFD1．【分析】（1）設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，推導(dǎo)出OE∥BD1，由此能證明BD1∥平面EAC；（2）由F為CC1的中點，E為DD1的中點，推導(dǎo)出D1F∥CE，從而可得D1F∥平面AEC，結(jié)合（1）中結(jié)論，由面面平行的判定定理即可得證．【解答】證明：（1）設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD是正方形，∴O是BD中點，∵E是DD1的中點，∴OE∥BD1，∵BD1?平面AEC，OE?平面AEC，∴BD1∥平面AEC．（2）因為F為CC1的中點，E為DD1的中點，所以CF∥ED1，CF＝ED1，所以四邊形CFD1E為平行四邊形，所以D1F∥CE，又因為EC?平面AEC，D1F?平面AEC，所以D1F∥平面AEC，由（1）知BD1∥平面AEC，又因為BD1∩D1F＝D1，BD1?平面BFD1，D1F?平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1．【點評】本題主要考查線面平行，面面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題．20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知＝（a，c﹣2b），＝（cosC，cosA），且（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤魘|＝2，求△ABC面積的最大值．【分析】（Ⅰ）由題意得a?cosC+（c﹣2b）?cosA＝0，從而sinB﹣2sinBcosA＝0，進而cosA＝，由此能求出A．（Ⅱ）將||＝2兩邊平方，推導(dǎo)出bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝6，時取等號，由此求出△ABC面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意得a?cosC+（c﹣2b）?cosA＝0，∴sinA?cosC+（sinC﹣2sinB）?cosA＝0，即sinB﹣2sinBcosA＝0，∵sinB≠0，∴cosA＝，∵A是△ABC內(nèi)角，∴A＝60°．（Ⅱ）將||＝2兩邊平方，即4＝，∴bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b＝6，c＝2時取等號，此時，，其最大值為3．【點評】本題考查角的大小的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查三角函數(shù)恒等式、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，請在①b+bcosC＝csinB；②（2b﹣a）cosC＝ccosA；③a2+b2﹣c2＝這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：（1）求∠C；（2）若a＝5，c＝7，延長CB到D，使cos∠ADC＝，求線段BD的長度．【分析】（1）選①：利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再由輔助角公式，即可得解；選②：利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可得解；選③：結(jié)合余弦定理和正弦的面積公式，可求得tanC的值，從而得解．（2）在△ABC中，由余弦定理求得b＝8，再由正弦定理得sin∠ABC的值，然后分別在△ABD和△ACD中使用正弦定理和余弦定理，即可得解．【解答】解：（1）選①：由正弦定理知，＝＝，∵b+bcosC＝csinB，∴sinB+sinBcosC＝sinBsinC，∵B∈（0，π），∴1+cosC＝sinC，即sin（C﹣）＝，∵C∈（0，π），∴C﹣∈（﹣，），∴C﹣＝，即C＝．選②：由正弦定理知，＝＝，∵（2b﹣a）cosC＝ccosA，∴（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，∴2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB，∵B∈（0，π），∴cosC＝，∵C∈（0，π），∴C＝．選③：∵a2+b2﹣c2＝S△ABC＝×absinC＝absinC，由余弦定理知，cosC＝＝sinC，∵C∈（0，π），∴tanC＝，∴C＝．（2）在△ABC中，由余弦定理知，cosC＝，∴＝，化簡b2+5b﹣24＝0，解得b＝8或﹣3（舍負），由正弦定理知，，∴＝，∴sin∠ABC＝，所以sin∠ABD＝sin∠ABC＝，而sin∠ADC＝＝＝，在△ABD中，由正弦定理知，＝，∴AD＝，在△ACD中，由余弦定理知，AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CDcos∠ADC，即64＝+（5+BD）2﹣2??（5+BD）?，化簡得，BD2﹣2BD﹣15＝0，解得BD＝5或﹣3（舍負），故線段BD的長度為5．【點評】本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合運用，熟練掌握正弦定理、余弦定理、正弦面積公式、兩角和差公式等基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x|x﹣a|+x，a∈R（1）若a＝0，判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實數(shù)a∈[﹣2，3]，使得關(guān)于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0有三個不相等的實數(shù)根，