2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A．110 B．65 C．55 D．1002．（5分）物體的運動位移方程是S＝10t﹣t2（S的單位：m；t的單位：s），則物體在t＝2s的速度是（）A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s3．（5分）6位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，如果規(guī)定每位同學(xué)必須報名，則不同的報名方法共有（）A．15種 B．30種 C．36種 D．64種4．（5分）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)測當x＝20時，y的估計值為（）x24568y2040607080A．210 B．210.5 C．211 D．211.55．（5分）設(shè)隨機變量X～B（2，p），若P（X≥1）＝，則p的值為（）A． B． C． D．6．（5分）已知函數(shù)，若y＝f（x）﹣k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．[﹣1，0） B． C．[﹣1，+∞） D．7．（5分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計劃去4個景點旅游，每人只去1個景點．設(shè)事件A＝“4位同學(xué)去的景點各不相同”，事件B＝“甲同學(xué)獨自一人去了一個景點”，則P（A|B）＝（）A． B． C． D．8．（5分）已知曲線C1：y2＝tx（y＞0，t＞0）在點M（，2）處的切線與曲線C2：y＝ex+1+1也相切，則t的值為（）A．4e2 B．4e C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0.分.（多選）9．（5分）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若A、B兩人站在一起有24種方法 B．若A、B不相鄰共有72種方法 C．若A在B左邊有48種排法 D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法（多選）10．（5分）設(shè)隨機變量ξ的分布列如表所示，則下列選項中正確的為（）ξ0123PmA．E（ξ）＝2 B． C． D．（多選）11．（5分）為了解閱讀量多少與幸福感強弱之間的關(guān)系，一個調(diào)查機構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下的2×2列聯(lián)表（個別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：幸福感強幸福感弱總計閱讀量多m1872閱讀量少36n78總計9060150計算得：χ2≈12.981，參照表：α0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828對于下面的選項，正確的為（）A．根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以認為“閱讀量多少與幸福感強弱無關(guān)” B．m＝52 C．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)” D．n＝42（多選）12．（5分）下列說法正確的是（）A．若函數(shù)f（x）滿足f'（1）＝1，則函數(shù)f（x）在x＝1處切線斜率為1 B．函數(shù)f（x）＝4x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]，上存在增區(qū)間，則k＜40 C．函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則 D．若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，則有實數(shù)t的最大值為e三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20.分.13．（5分）已知隨機變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），若，則P（﹣2≤Z≤2）＝．14．（5分）計算＝．15．（5分）甲罐中有5個紅球，1個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，2個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，則P（B）＝．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當x＞0時，xlnx?f'（x）+f（x）＞0，則使得成立的x的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）現(xiàn)有編號為A，B，C的3個不同的紅球和編號為D，E的2個不同的白球．（1）現(xiàn)將這些小球放入袋中，從中隨機一次性摸出3個球，求摸出的三個球中至少有1個白球的不同的摸球方法數(shù)．（2）若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E不相鄰，則有多少種不同的排法？（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（注：請列出解題過程，結(jié)果保留數(shù)字）18．（12分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；問題：在二項式（2x﹣1）n的展開式中，已知______．（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項（2）設(shè)，求a1+a2+a3+?+an的值；（3）求的展開式中x2的系數(shù)．19．（12分）甲乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出4道題進行測試，只有選中的4個題目均答對才能入選．（1）求甲恰有2個題目答對的概率；（2）求乙答對的題目數(shù)X的分布列；（3）試比較甲，乙兩人平均答對的題目數(shù)的大小，并說明理由．20．（12分）某學(xué)校準備舉辦數(shù)學(xué)文化知識競賽，進入決賽的條件為：先參加初賽，初賽時，電腦隨機產(chǎn)生5道數(shù)學(xué)文化試題，能夠正確解答3道及以上的參賽者進入決賽．若學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為．（1）求甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率；（2）進入決賽后，采用積分淘汰制，規(guī)則是：參賽者初始分為零分，電腦隨機抽取4道不同的數(shù)學(xué)文化試題，每道試題解答正確加20分，錯誤減10分，由于難度增加，甲正確解答每道試題的概率變?yōu)椋蠹自跊Q賽中積分X的概率分布，并求數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx﹣2．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性：（2）若對于任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x﹣1），求整數(shù)k的最大值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xsinx．（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；（2）求證：函數(shù)f（x）在內(nèi)有且只有一個極值點；（3）求函數(shù)在區(qū)間（1，π]上的最小值．

2021-2022學(xué)年江蘇省南京航空航天大學(xué)蘇州附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）＝（）A．110 B．65 C．55 D．100【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)公式，即可求解．【解答】解：＝＝5×4+＝65．故選：B．【點評】本題主要考查了排列數(shù)和組合數(shù)公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）物體的運動位移方程是S＝10t﹣t2（S的單位：m；t的單位：s），則物體在t＝2s的速度是（）A．2m/s B．6m/s C．4m/s D．8m/s【分析】此類運動問題中瞬時速度問題的研究一般借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其某一時刻的瞬時速度，解答本題可以先求質(zhì)點的運動方程為s＝﹣t2+10t的導(dǎo)數(shù)，再求得t＝3秒時的導(dǎo)數(shù)，即可得到所求的瞬時速度【解答】解：∵質(zhì)點的運動方程為s＝﹣t2+10t∴s′＝﹣2t+10∴該質(zhì)點在t＝2秒的瞬時速度為|﹣2×2+10|＝6．故選：B．【點評】本題考查變化的快慢與變化率，正確解答本題關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的物理意義，即了解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與瞬時速度的關(guān)系．本題是導(dǎo)數(shù)在物理的應(yīng)用，是近幾年高考的熱點，利用數(shù)學(xué)知識解決物理問題，在高考試卷中的份量在逐年加重，對此類題解題規(guī)律應(yīng)好好把握．3．（5分）6位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，如果規(guī)定每位同學(xué)必須報名，則不同的報名方法共有（）A．15種 B．30種 C．36種 D．64種【分析】根據(jù)題意，分析可得每人有2種報名方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，6位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每人有2種報名方法，則6人有2×2×2×2×2×2＝26＝64種報名方法，故選：D．【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，注意題目的限制條件，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)測當x＝20時，y的估計值為（）x24568y2040607080A．210 B．210.5 C．211 D．211.5【分析】根據(jù)已知條件，求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將x＝20代入上式，即可求解．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，＝，＝，∵最小二乘法得到回歸直線方程，∴，∴，當x＝20時，．故選：D．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）設(shè)隨機變量X～B（2，p），若P（X≥1）＝，則p的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的概率公式，以及對立事件概率和為1，即可求解．【解答】解：隨機變量X～B（2，p），則P（X＝k）＝，k＝0，1，2，P（X≥1）＝1﹣P（X＜1）＝1﹣P（X＝0）＝，結(jié)合0≤p≤1，解得p＝．故選：A．【點評】本題主要考查二項分布的概率公式，以及對立事件概率和為1，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知函數(shù)，若y＝f（x）﹣k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．[﹣1，0） B． C．[﹣1，+∞） D．【分析】當x＜1時，求得f′（x）＝ex（x+1），求得函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）min＝﹣且f（1）＝e，把f（x）﹣k有三個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f（x）和y＝k的圖象有三個公共點，結(jié)合圖象，即可求解．【解答】解：由題意，當x＜1時，f（x）＝xex，可得f′（x）＝ex（x+1），當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（﹣1）＝﹣且f（1）＝e，當x＜﹣1時，可得f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，又由f（x）﹣k有三個不同的零點，即函數(shù)y＝f（x）和y＝k的圖象有三個公共點，結(jié)合圖象，可得實數(shù)k的取值范圍（﹣，0）．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，作出圖象是解答本題的關(guān)鍵點，屬于中檔題．7．（5分）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計劃去4個景點旅游，每人只去1個景點．設(shè)事件A＝“4位同學(xué)去的景點各不相同”，事件B＝“甲同學(xué)獨自一人去了一個景點”，則P（A|B）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．【解答】解：∵甲同學(xué)獨自去一個景點，則有4個景點可選，其余3人只能在甲同學(xué)剩下的3個景點中選擇，可能性為3×3×3＝27，∴甲獨自去一個景點的可能性為4×27＝108，∵4個人去的景點不相同的可能性為4×3×2×1＝24，∴．故選：A．【點評】本題主要考查條件概率公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知曲線C1：y2＝tx（y＞0，t＞0）在點M（，2）處的切線與曲線C2：y＝ex+1+1也相切，則t的值為（）A．4e2 B．4e C． D．【分析】求出y＝的導(dǎo)數(shù)，求出斜率，由點斜式方程可得切線的方程，設(shè)切點為（m，n），求出y＝ex+1+1的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲線C1：y2＝tx（y＞0，t＞0），即有y＝，y′＝?，在點M（，2）處的切線斜率為?＝，可得切線方程為y﹣2＝（x﹣），即y＝x+1，設(shè)切點為（m，n），曲線C2：y＝ex+1+1，y′＝ex+1，em+1＝，∴m＝ln﹣1，n＝m?+1，n＝em+1+1，可得（ln﹣1）?+1＝+1，即有（ln﹣1）?＝，可得＝e2，即有t＝4e2．故選：A．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運用點斜式方程是解題的關(guān)鍵，注意轉(zhuǎn)化思想的合理運用．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0.分.（多選）9．（5分）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若A、B兩人站在一起有24種方法 B．若A、B不相鄰共有72種方法 C．若A在B左邊有48種排法 D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若A、B兩人站在一起，將AB看成一個整體，與其他3人全排列，有AA＝48種方法，A錯誤；對于B，若A、B不相鄰，先將其他三人全排列，再將AB安排在3人的空位中，有A＝72種方法，B正確；對于C，5人全排列，有＝120種排法，其中A在B的左側(cè)和A在B的右側(cè)情況是一樣的，A在B左邊有×120＝60種排法，C錯誤；對于D，分2種情況討論：B站在最左邊，A＝24種排法，B不站在最左邊，CCA＝54，一共有24+54＝78種排法，D正確，故選：BD．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）設(shè)隨機變量ξ的分布列如表所示，則下列選項中正確的為（）ξ0123PmA．E（ξ）＝2 B． C． D．【分析】利用分布列的性質(zhì)求解m，然后求解期望與方差．【解答】解：由題意可知：＝1，解得m＝，可得E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝1．D（ξ）＝++＝．P（0≤ξ≤1）＝＝．故選：BCD．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望、方差的求法，是中檔題．（多選）11．（5分）為了解閱讀量多少與幸福感強弱之間的關(guān)系，一個調(diào)查機構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下的2×2列聯(lián)表（個別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：幸福感強幸福感弱總計閱讀量多m1872閱讀量少36n78總計9060150計算得：χ2≈12.981，參照表：α0.100.050.0250.0100.0050.001χα2.7063.8415.0246.6357.87910.828對于下面的選項，正確的為（）A．根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以認為“閱讀量多少與幸福感強弱無關(guān)” B．m＝52 C．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)” D．n＝42【分析】根據(jù)χ2的值域臨界值的大小關(guān)系判斷A，C，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)關(guān)系判斷B，D．【解答】解：χ2≈12.981＞6.635，則根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，可以認為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)”，故A錯誤，χ2≈12.981＞7.879，則根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為“閱讀量多少與幸福感強弱有關(guān)”，故C正確，∵m+36＝90，18+n＝60，∴m＝54，n＝42，故B錯誤，D正確．故選：CD．【點評】本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）下列說法正確的是（）A．若函數(shù)f（x）滿足f'（1）＝1，則函數(shù)f（x）在x＝1處切線斜率為1 B．函數(shù)f（x）＝4x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]，上存在增區(qū)間，則k＜40 C．函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則 D．若任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，則有實數(shù)t的最大值為e【分析】根據(jù)切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、極值點、構(gòu)造函數(shù)法對選項進行分析，從而確定正確答案．【解答】解：A．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知正確，B．由函數(shù)f（x）＝4x2﹣kx﹣8在區(qū)間[5，20]上存在增區(qū)間，可知x＝＜20，所以k＜160，故B錯誤；對于C，由，得f′（x）＝x2﹣ax+1，則f′（x）＝x2﹣ax+1＝0在區(qū)間上有變號零點，即a＝x+在區(qū)間上有解，又x+∈[2，]，當a＝2時，f′（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，函數(shù)沒有極值，故a∈（2，]，故C錯誤；對于D，令g（x）＝，則g′（x）＝，所以x∈（0，e），g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，又任意0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，即＜，故t∈（0，e]，即實數(shù)t的最大值為e，故D正確．故選：AD．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20.分.13．（5分）已知隨機變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），若，則P（﹣2≤Z≤2）＝．【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：隨機變量Z服從正態(tài)分布N（0，m2），，則P（﹣2≤Z≤2）＝2（﹣）＝．故答案為：．【點評】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．（5分）計算＝35．【分析】先把化為C33，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，?nm+?nm﹣1＝Cn+1m，逐個化簡，即可求出的值．【解答】解：∵?mn+Cm﹣1n＝?mn+1，∴＝+++＝++＝++＝+＝＝35．故答案為：35．【點評】本題考查了組合數(shù)性質(zhì)，做題時應(yīng)認真計算，避免出錯．15．（5分）甲罐中有5個紅球，1個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，2個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，則P（B）＝．【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和條件概率計算公式能求出結(jié)果．【解答】解：由甲罐中取出一球放乙罐，分別以A1，A2，A3表示取出的是紅球、白球、黑球的事件，則A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，且P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，再從乙罐中隨機取出一球，用B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，則由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式和條件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當x＞0時，xlnx?f'（x）+f（x）＞0，則使得成立的x的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪（0，1）．【分析】先構(gòu)造新函數(shù)F（x）＝f（x）?lnx，通過求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可判斷出當x＞0時，f（x）＞0，當x＜0時，f（x）＜0，最后分情況解不等式可得答案．【解答】解：令F（x）＝f（x）?lnx則當x＞0時，得x?lnx?f′（x）＞0，進而得F（x）＞0，故原函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，又因為F（1）＝0，當x∈（0，1）時，F(xiàn)（x）＜0，此時lnx＜0，所以f（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)（x）＞0，此時lnx＞0，所以f（x）＞0，所以，當x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，又因為f（x）是奇函數(shù)，當x∈（﹣∞，0）時，f（x）＜0，求，分兩種情況求解，當x＜0時，f（x）＜0，只需，解得x≤﹣2，當x＞0時，f（x）＞0，只需，解得0＜x＜1，所以x的范圍是（﹣∞，﹣2]∪（0，1）．故答案為：（﹣∞，﹣2]∪（0，1）．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）現(xiàn)有編號為A，B，C的3個不同的紅球和編號為D，E的2個不同的白球．（1）現(xiàn)將這些小球放入袋中，從中隨機一次性摸出3個球，求摸出的三個球中至少有1個白球的不同的摸球方法數(shù)．（2）若將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E不相鄰，則有多少種不同的排法？（3）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則有多少種不同的放法？（注：請列出解題過程，結(jié)果保留數(shù)字）【分析】（1）根據(jù)題意，用排除法分析：先計算“在5個球中任選3個”的取法，排除其中“全部為紅球”的取法，分析可得答案；（2）根據(jù)題意，先把A安在中間位置，從A的兩側(cè)各選一個位置插入D、E，其余小球任意排，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，則先把5個小球分成3組，再進入3個盒子中即可，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，在5個球中任選3個，有C53＝10種取法，其中全部為紅球的取法有1種，則摸出的三個球中至少有1個白球方法有10﹣1＝9種；（2）根據(jù)題意，將這些小球排成一排，要求A球排在中間，且D，E各不相鄰，則先把A安在中間位置，從A的兩側(cè)各選一個位置插入D、E，其余小球任意排，方法有4×2×2＝16種；（3）根據(jù)題意，將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，則先把5個小球分成3組，再進入3個盒子中即可，有（C+）×＝150種放法．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）在下面兩個條件中任選一個條件，補充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于37；條件②：第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；問題：在二項式（2x﹣1）n的展開式中，已知______．（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項（2）設(shè)，求a1+a2+a3+?+an的值；（3）求的展開式中x2的系數(shù)．【分析】（1）根據(jù)n的值以及二項式系數(shù)最大的求解公式即可求解；（2）分別令x＝0，x＝1，進而可以求解；（3）根據(jù)二項式定理求出含x2項，由此即可求解．【解答】解：（1）選擇①，因為，所以n＝8，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為，選擇②，因為，所以n＝8，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為，（2）令x＝1，則，令x＝0，則，所以a1+a2+…+a8＝0，（3）因為，所以的展開式中含x2的項為：，所以展開式中x2的系數(shù)為560．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）甲乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的8道題，規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出4道題進行測試，只有選中的4個題目均答對才能入選．（1）求甲恰有2個題目答對的概率；（2）求乙答對的題目數(shù)X的分布列；（3）試比較甲，乙兩人平均答對的題目數(shù)的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)二項分布概率計算公式，計算出所求概率．（2）利用超幾何分布分布列計算公式，計算出分布列．（3）由（2）計算出乙平均答對題目數(shù)的期望值利用二項分布期望計算公式，計算出甲平均答對題目數(shù)的期望值．由此得到兩人平均答對的題目數(shù)的大?。窘獯稹拷猓海?）∵甲在備選的10道題中，答對其中每道題的概率都是，∴選中的4個題目甲恰有2個題目答對的概率；（2）由題意知乙答對的題目數(shù)X的可能取值為2，3，4，，，，X的分布列為：X234P（3）∵乙平均答對的題目數(shù)，甲答對題目Y～，甲平均答對的題目數(shù)，∵EX＞EY，∴甲平均答對的題目數(shù)小于乙平均答對的題目數(shù)．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．20．（12分）某學(xué)校準備舉辦數(shù)學(xué)文化知識競賽，進入決賽的條件為：先參加初賽，初賽時，電腦隨機產(chǎn)生5道數(shù)學(xué)文化試題，能夠正確解答3道及以上的參賽者進入決賽．若學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為．（1）求甲在初賽中恰好正確解答4道試題的概率；（2）進入決賽后，采用積分淘汰制，規(guī)則是：參賽者初始分為零分，電腦隨機抽取4道不同的數(shù)學(xué)文化試題，每道試題解答正確加20分，錯誤減10分，由于難度增加，甲正確解答每道試題的概率變?yōu)椋蠹自跊Q賽中積分X的概率分布，并求數(shù)學(xué)期望．【分析】（1）利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算即可得解；（2）列出決賽中積分X的所有可能的取值，分別計算概率，列出分布列計算期望即可．【解答】解：（1）記“甲在初賽中恰好正確解答4道試題的”為事件A，學(xué)生甲參賽，他正確解答每道試題的概率均為，則P（A）＝××＝．（2）甲的積分X的可能的取值為80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，則P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列為：X805020﹣10﹣40P所以數(shù)學(xué)期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx﹣2．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性：（2）若對于任意的x∈（1，+∞），都有xlnx+x＞k（x﹣1），求整數(shù)k的最大值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為k＜，令g（x）＝，利用導(dǎo)數(shù)可得g（x）min＝g（x0）∈（3，4），結(jié)合k＜g（x）min＝x0∈（3，4），可得整數(shù)