高中數(shù)學(xué)必修五知識點(diǎn)大全

word文檔精品文檔分享知識點(diǎn)串講必修五1/21word文檔精品文檔分享第一章：解三角形．．1正弦定理、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。、中，A060，a3,求abcsinAsinBsinC證明出abcABsinsinsinabcCsinAsinBsinC解：設(shè)absinAsinBcsinCkk(>o)那么有aksinA，bksinB，cksinC從而abcsinAsinBsinC=kAkBkCsinsinsinsinAsinBsinC=k又asinA3sin6002k，所以abcABCsinsinsin=2評述：在中，等式abcsinAsinBsinCabcsinAsinBsinCkk0恒成立。、中，sin:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c〔答案：1：2：〕1.1.2余弦定理、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC從余弦定理，又可得到以下推論：cosA222bca2bccosB222acb2accosC222bac2ba2/21word文檔精品文檔分享、在中，a23，c62，0B60，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos0452=12(62)43(3=8∴b22.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cosA222(22)2(62)2(23)21bca222(62)2,∴A060.解法二：∵sina230AsinBsin45,b22又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴A060.評述：解法二應(yīng)注意定A的取值X。、在中，假設(shè)2220〕abcbc，求角〔答案：A=120．．3解三角形的進(jìn)一步討論、在中，a,b,A，討論三角形解的情況分析：先由sinBbsinAa可進(jìn)一步求；那么CAB從而casinC180()A0．當(dāng)A為鈍角或直角，須ab才能有且只有一解；否那么無解。．當(dāng)A為銳角，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：3/21word文檔精品文檔分享〔〕假設(shè)absinA，那么有兩解；〔〕假設(shè)absinA，那么只有一解；〔〕假設(shè)absinA，那么無解?！惨陨辖獯疬^程詳見課本第910頁〕評述：注意在三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且bsinAab時，有兩解；其它情況時那么只有一解或無解。〕在中，a80，b100，0A45，試判斷此三角形的解的情況?！病吃谥?，假設(shè)a1，1c，20C，那么符合題意的b的值有_____個。40〔〕在中，axcm，bcm，0B45，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值X圍?！秤袃山猓弧病?〕2x22〕、在中，a7，b5，c3，判斷的類型。解：222753，即222abc，∴ABC是鈍角三角形?！吃谥?，sin:sinB:sinC1:2:3，判斷的類型。〔〕滿足條件acosAbcosB，判斷的類型?！矨BC是鈍角三角形2〕是等腰或直角三角形〕、在中，0A60，b1，面積為32，求abcsinAsinBsinC的值abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由13SbcsinA得c2，22那么2222cosabcbcA=3，即a3，從而abcsinAsinBsinCasinA24/21word文檔精品文檔分享1.2解三角形應(yīng)用舉例、兩燈塔、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，那么、B之間的距離為多少？解略：2akm、某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開場時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=AC2BC2AC2BCAB2=23,31那么sin2C=1-cos2C=432231,sinC=12331,所以sinMAC=sin〔120-C〕=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得35623MC=ACsinMAC=sinAMC313235623=35從而有MB=MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。5/21word文檔精品文檔分享、S=12absin，S=12bcsinA,S=12acsinB、在中，求證：2222absinAsinB〔〕;22csinC〔2〕a2+b2+c2=2〔bccosA+cacosB+abcosC〕〕根據(jù)正弦定理，可設(shè)abc===ksinAsinBsinC顯然k0，所以左邊=a22222kbsinAk222cksinsinC2B=22sinB右邊Asin2sinC〔〕根據(jù)余弦定理的推論，b22c2a+cac22a2ca2b+aba22bc2右邊=2(bc)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)222=a+b+c=左邊變式練習(xí)1：在中，B=30,b=6,c=63,求a及ABC的面積S提示：解有關(guān)兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183、如圖，在四邊形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=3，求：〔〕AB的長〔〕四邊形ABCD的面積6/21word文檔精品文檔分享略解〔〕因為BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因為BDC=45，所以DAC=180-〔75+45+30〕=30，所以AD=DC=3在BCD中，CBD=180-〔75+45〕=60，所以BD=sin75DCsin60，BD=3sin75sin60=622在中，AB2=AD2+BD2-2ADBDcos75=5,所以得AB=5〔〕SABD=12ADBDsin75=3243同理，SBCD=334所以四邊ABCD的面S=6343第二章：數(shù)列．1數(shù)列的概念與簡單表示法按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。辯析數(shù)列的概念：“1，，3，，〞與“，，3，，〞是同一個數(shù)列嗎？與“，3，2，，〞呢？給出首項與第n項的定義及數(shù)列的法：{n}、數(shù)列的分:有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，數(shù)列。、數(shù)列的表示方法：項公式列表和圖象等方法表示數(shù)列、=2an-1+1〔∈N，n>1式稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。7/21word文檔精品文檔分享．2等差數(shù)列、數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字d表示。、個數(shù)，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這，A叫做a與b的等差中項。、等差數(shù)列中，假設(shè)m+n=p+q那么amanapaq、通項公式：以a為首項，d為公差的等差數(shù)列{an}的通項公式為：ana1(n1、迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式：〔迭加法〕：{an}是等差數(shù)列，所以anan1d,an1adn2,an2and3,??2ad1,兩邊分別相加1(n,ana所以an1(n〔迭代法〕：{a}是等差數(shù)列，那么anan1dnan2ddan22dan32ddadn33??1(n所以aandn1(8/21word文檔精品文檔分享、⑴求等差數(shù)列，5，2，?的第20項.⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，?的項？如果是，是第幾項？解：⑴由a，d=5-8=-3，n=20，得a208(21(3)491⑵由a=-5，d=-9-〔-5〕=-4，得這個數(shù)列的通項公為an54(n4n由題1意知，此題是要答復(fù)是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。解這個關(guān)于n的方程，得，即-401是這個數(shù)列的第100項。、某市出租車的計價準(zhǔn)1.2元/km，起步價10元，即最初的4km〔不含4千米〕計費(fèi)10元。如果某人乘坐該市的出租車往14km處的目的地，且一路暢通，等候時0解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列{a}來計車費(fèi).n令a=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行14km處時，n=11，此時需1要支付車費(fèi)1111.223.2(元)a答：需要支付車費(fèi)23.2元。．2等差數(shù)列的前n項和、倒序相加法求和我們用兩種方法表示S：n〔〕1(ad)(a2d)...[a(n],Sna①111nan(and)(an2d)...[an(n1)d],②由①②，得2S1n1an1an1an〔〕〔〕〔〕+...+〔〕nn個n(1n)由此得到等差數(shù)列{a}的前n項和的公式Snnn(a1an2)9/21word文檔精品文檔分享〔〕S1a2a3...ann=aadadand1(1)(12)...[1(1)]=na1[d...(n]=na1[12...(n1)]d=n(n1)nad12、一個等差數(shù)列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解：由題意知10310，201220，將它們代入公式〔〕nn1Snad，n12得到45d310，1190d12201解這個關(guān)于a與d的方程組，得到1=4，d=6，1所以〔〕nn2S4n63nnn2另解：aa1n10103102得11062；①aa120202012202所以120122；②②-①，得10d60，所以d6代入①得：14所以有〔〕nn12Sand3nnn12、數(shù)列{a}的前n項為n21Snn，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果n2是，它的首項與公差分別是什么？word文檔精品文檔分享解：根據(jù)S1a2...a1annn與S11a2...a1n1〕＞nn可知，當(dāng)＞1時，22111aSSnn[n〕〔n]①nnn1222當(dāng)n=1時，132aS11也滿足①式.1122所以數(shù)列{a}的通項公式為n1a2n.n2由此可知，數(shù)列{a}是一個首項為n32，公差為2的等差數(shù)列。這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.前n項和S，可求出通項nana〔n〕1SnSn〔＞〕1、如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關(guān)于n的二次型函數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.、等差數(shù)列24，，，....的前n項和為54377S，求使得n最大的序號n的值.n解：由題意知，等差數(shù)列24，，，....的公差為5437757，所以n5S[25〔n〕〔]n27=275n5n51511252〔〕n1414256于是，當(dāng)n取與152最接近的整數(shù)即7或8時，S取最大值.n6、已知數(shù)列an,是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S-S6，18-S12成等差數(shù)列，設(shè)kN,Sk,S2S,SS成等差數(shù)列嗎？kk3k2k生：分析題意，解決問題.解：設(shè)a,首項是na，公差為d1那么：6123a456word文檔精品文檔分享S12S6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a6d2)(a6d)3(a4)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636dS18S12a13a14a15a16a17a18(a7)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36dS12S636dS6,S12S,6S18S為等差數(shù)列12同理可得Sk,S2S,S3S2成等差數(shù)列.kkkk*m、求集合mm7n,nN,且100的元素個數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得n10071427滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合中的元素共有14個，從小到大可列為：，7×，×3，7×，?×14即：，14，21，28，?9814(798)這個數(shù)列是等差數(shù)列，為a,其中73517,a149814n2解由m=100，得n10071427滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：，7×，×3，7×，?×14即：7，，21，28，?9814(798)這個數(shù)列是等差數(shù)列，為a,其中73517,a149814n2答：集合m中共有14個元素，它們和等735word文檔精品文檔分享2.3等比數(shù)列、等比數(shù)列的定義：一般地，假設(shè)一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q≠ana即：n1〔≠〕、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．n1、等比數(shù)列的通項公式1:a1q(a,q均不為n1nm等比數(shù)列的通項公式2:aaq(aqn，mm、假設(shè){an}為等比數(shù)列，mnpq(m,n,q,pN)，那么amanapaq．由等比數(shù)列通項公式得：m1n1aq,an1q，mp1q1a1qq1q，p故2mn2aaaq且mn12pq2aaaq，pq1∵mnpq，∴amanapq．、三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。a解：由題意可以設(shè)這三個數(shù)分別為,,aaqq，得：22aqaqaaq27222aaq91a3221a(1q)912q∴4282q90，即得29q或21q，9∴q3或1q，3故該三數(shù)為：1，3，9或1，，9或9，3，1或9，3，1．a(chǎn)說明：三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為,,aaqq．、數(shù)列an為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，且前n項中數(shù)值最大的項為54，它的前2n項和為6560，求首項a和公比q。1解：假設(shè)q1，那么應(yīng)有2n2Sn，與題意不符合，故q1。依題意有：word文檔精品文檔分享na1q11q80(1)2na1q11q6560(2)(2)(1)得112nqnq82即282810nnqqnnn得q81或q1q81。n由q81知q1，數(shù)列n的前n項中an最大，得n54。n將q81代入〔〕得1q1〔3由n1a1q54得nn1q54q，即81〔4聯(lián)立〔3〕解方程組得12q3。2.4等比數(shù)列的前n項和、等比數(shù)列的前n項和公式：一般地，設(shè)等比數(shù)列a,aa,an13它的前n項和是2S1a2a3annSna1a2a3an由anaq1n1Sna1aq1aq12n2aq1aq1n1得qSnaq1aq123aq1naq11naq1word文檔精品文檔分享nq)Sn1aqaq1Sn1論同上〕∴當(dāng)q1時，qn)aa1nSn①或1qq②當(dāng)q=1時，Sna1n、等比數(shù)列11,,1,93，求使得n大于100的最小的n的值.答案：使得n大于100的最小的n的值為7.、設(shè)數(shù)列{an}n的前n項和為3San．當(dāng)常數(shù)a滿足什么條件時，{a}n才是等比數(shù)列？答案：a1、等比數(shù)列an中,420,S81640求S12.16000電的腦商規(guī)店定，購置時先支付貨款的3，剩余局部在三年內(nèi)按每月底等額還款的方式支付欠款，且結(jié)算欠款的利息欠款的月利率為0.5%到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？22解(1)因為購置電腦時貨主欠商店3的貨款即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一個月底的欠款數(shù)應(yīng)為4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一個月底欠款余額為4020元.(2)設(shè)第i個月底還款后的欠款數(shù)為yi那么有y1=4000(1+0.5%)-ay2=y1(1+0.5%)-a2-a(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)y3=y2(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-a32-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)word文檔精品文檔分享ii1yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)i2-a(1+0.5%)--a,整理得i0.5%)1aiyi=4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36)(3)因為y36=0,所以(10.5%)a-0.5%361364000(1+0.5%)=0即每月還款數(shù)a=360.36169(元)所以每月的款額為121.69元.第三章不等式3.1不等式與不等關(guān)系、不等式的根本性質(zhì)：〔〕ab,bcac〔〕abacbc〔〕ac0acbc〔〕ac0acbc、ab0,c0,求證ccab。證明：以為ab0，所以ab>0,1ab0。word文檔精品文檔分享于是11ababab，即11ba由c<0，得ccab3.2一元二次不等式及其解法、一元二次不等式的定義象250xx這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．、設(shè)一元二次方程20axbxc(a0)的兩根為、x2且1x2，24bac，那么不等式的解的各種情況如下表：000二次函數(shù)2yaxbxc(a0)的圖象一元二次方程20axbxc有兩相異實根1,2(12)有兩相等實根xx12b2a無實根20axbxc(a0)的解集xxx或xx12xxb2aR20axbxc(a0)的解集xxxx12、一個汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x〔輛〕與創(chuàng)造的價值y〔元〕之間有如下的關(guān)系：2y2x220x假設(shè)這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？解：設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到22x220x6000移項整理，得211030000xxword文檔精品文檔分享因為△1000，所以方程211030000xx有兩個實數(shù)根150,260．由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50x60．因為x只能取正整數(shù)，所以，當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51-59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益．、設(shè)2A{x|x4x30}，2Bxxxa，且AB，求a的取值X圍．{|280}解：令2f(x)x2xa8由AB，及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得ff(1)0(3)0，即12a8096a80，解之得9a5．因此a的取值X圍是9a5．．3二元一次不等式〔組〕與平面區(qū)域．、畫出不等式2x+y－6＜0表示的平面區(qū)域。解：先畫直線2x+y－6＝〔畫成虛線〕。取原點(diǎn)〔0，02x+y－6，∵×0+0－＝－＜0，∴原點(diǎn)在2x+y－＜0表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2x+y－＜0表示的區(qū)域如圖：、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．word文檔精品文檔分享②線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于、y的一次式x+y是欲到達(dá)最大值或最小值所涉及的量、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)．③線性規(guī)問：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問．④可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解〔〕叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)問的最優(yōu)解、有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸效果見表．方式效果輪船運(yùn)輸t飛機(jī)運(yùn)輸t種類糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運(yùn)輸至少2000t糧食和1500t石油，需至少安排多少艘輪船和多少架飛機(jī)？答案：解：設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機(jī)，那么y300x150y20006x3y40≥，≥，250x100y≥1，5x2y30≥，x0≥，x0≥，即5x2y300y≥．y≥．目標(biāo)函數(shù)為zxy．作出可行域，如下圖．作出在一組平行直線xyt〔t為參數(shù)〕中經(jīng)過可行域內(nèi)某點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最小的直線，此直線經(jīng)過直線x6x3y400和y0的交點(diǎn)20A0，直線方程3為：20xy．3由于203不是整數(shù)，而最優(yōu)解(，中，y必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)點(diǎn)203，不是最優(yōu)解．0經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)〔橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)〕且與原點(diǎn)距離最近的直線經(jīng)過的