九年級(jí)北師大版切線長(zhǎng)定理

北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章《圓》3.7切線長(zhǎng)定理根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，存在與A點(diǎn)重合的一點(diǎn)B，且落在圓，連接OB，則它也是⊙o的一條半徑。OPAB你能發(fā)現(xiàn)OA與PA，OB與PB之間的關(guān)系嗎？PA、PB所在的直線分別是⊙o兩條切線。∟∟切線長(zhǎng)概念經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)。OPAB

切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；

切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量。切線和切線長(zhǎng)OPABA根據(jù)你的直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB？∠1與∠2又有什么關(guān)系？證明：∵PA、PB是⊙o的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2猜想證明請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.APOBPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.證一證切線長(zhǎng)定理∵PA，PB分別切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.過圓外一點(diǎn)，所畫的圓的兩條切線的長(zhǎng)相等.幾何語言:OPAB

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。A

切線長(zhǎng)定理：APOB若連接兩切點(diǎn)A，B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分ABM證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線.∴OP垂直平分AB.試一試已知：⊙O的半徑為3厘米，點(diǎn)P和圓心O的距離為6厘米，經(jīng)過點(diǎn)P和⊙O的兩條切線，求這兩條切線的夾角及切線長(zhǎng)．練習(xí)OFPE⌒12⌒

李師傅在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。下圖是他的幾種設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)們幫他確定一下。思考ABC【例1】△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的長(zhǎng).【解析】設(shè)AF=x,則AE=x∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC可得13-x+9-x=14，解得x=4.∴AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.【例題】【例1】如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于點(diǎn)L，M，N，P，求證：AD+BC=AB+CD.證明：由切線長(zhǎng)定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等．DLMNABCOP【例題】ABCDEF2.設(shè)△ABC的邊BC=8，AC=11，AB=15，內(nèi)切圓⊙I和BC,AC,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F.求AE,CD,BF的長(zhǎng)..Ixyz【解析】設(shè)AE=x，BF=y，CD=z,

xyz答：AE,CD,BF的長(zhǎng)分別是9,2,6.

x+y=15,y+z=8,x+z=11,x=9,y=6,z=2,則解得1．（珠?！ぶ锌迹┤鐖D，PA,PB是⊙

O的切線，切點(diǎn)分別是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°C2.（杭州·中考）如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3C．D． 3.已知：如圖,PA,PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A,B，Q為⊙O上一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作⊙O的切線，交PA,PB于E,F點(diǎn)，已知PA=12cm，求△PEF的周長(zhǎng).【解析】易證EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.∴PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.∴周長(zhǎng)為24cm.F1、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。2、性質(zhì):

內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角。OABC三角形的內(nèi)切圓作三角形內(nèi)切圓的方法：ABC1、作∠B、∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I。I2．過點(diǎn)I作ID⊥BC，垂足為D。3．以I為圓心，ID為半徑作⊙I.⊙I就是所求的圓。DMN例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，求AF、BD和CE的長(zhǎng)。CBAEDFOr解：因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，由切線長(zhǎng)定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF∴AF+BD+CE=(AB+AC+BC)∵BD+CE=∴AF=18-9=9BD+CD=BC=9=18∴BD=AB-AF=13-9=4∴CE=BC-BD=9-4=5（1）∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴∠BOC=180°－(∠1＋∠3)=180°－(25°＋35°)例2如圖，在△ABC中