《從傳播數(shù)學(xué)探究方法的視角看韋達定理教學(xué)》 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選從傳播數(shù)學(xué)探究方法的視角看韋達定理教學(xué)摘要：“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”在初中數(shù)學(xué)教材中大都被編排為選學(xué)內(nèi)容，教師對此部分內(nèi)容中教學(xué)出現(xiàn)了諸多教學(xué)態(tài)度，本文介紹了自己參加2021年初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課例展示與培訓(xùn)活動過程中的一些感悟和思考，理清了對一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的認識. 關(guān)鍵詞：探究，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，韋達定理，思考

引言：韋達定理是反映一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的重要定理.人教版九年級《數(shù)學(xué)》上冊第二十章“解一元二次方程”中，通過對求根公式的和與積探究得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達定理.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”[1]，現(xiàn)行不同版本的教科書在該主題的呈現(xiàn)上略有不同（見表1）.表1“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”在不同版本教科書（2011版）中的內(nèi)容比較版本呈現(xiàn)方式教材位置引入方式證明方法人教版附帶九上因式分解求根公式北師大版獨立成節(jié)九上解方程求根公式滬科版獨立成節(jié)八下解方程填表求根公式蘇教版獨立成節(jié)九上給根填表求根公式湘教版獨立成節(jié)九上解方程填表因式分解如果對方程的發(fā)展有所了解，我們會發(fā)現(xiàn)求根公式的出現(xiàn)晚于韋達定理，而這與大多數(shù)教材中的順序恰好相反.如果依照大多數(shù)教材的思路展開，直接使用求根公式來推導(dǎo)韋達定理，這樣的設(shè)計看似順其自然，卻不能揭示韋達定理的重要性、必要性和蘊含的思想.本節(jié)課通過傳播數(shù)學(xué)探究方法的視角區(qū)設(shè)計韋達定理的教學(xué)活動，試圖走進定理的發(fā)現(xiàn)過程，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗，了解數(shù)學(xué)家證明定理時真正采用的思想方法.12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選一、教學(xué)設(shè)計及其說明（一）內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系. 2.內(nèi)容解析

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是人教版九年級上冊第二十一章第二節(jié)的內(nèi)容，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法之后引入的，是一元二次方程知識體系中不可或缺的部分，對于學(xué)生今后進入高中學(xué)習(xí)也有著重要的作用，因此本節(jié)課起到了承前啟后的作用.基于以上分析，理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是本節(jié)課的重點. （二）目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，能通過系數(shù)表述方程的根，能用方程的根表示系數(shù).（2）通過由特殊到一般、再由一般到特殊的認識事物規(guī)律的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、猜想和推理論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，形成良好的思維品質(zhì)和探索意識，培養(yǎng)邏輯思維及創(chuàng)新思維能力.（3）通過融入數(shù)學(xué)文化教育，提升學(xué)生人文素養(yǎng)，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 2．目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能夠運用這一關(guān)系求出兩根之和、兩根之積，并能解決一些簡單的問題.達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生合作探究發(fā)現(xiàn)了三個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩根之和（x1+x2）、兩根之積（x1x2）與系數(shù)的關(guān)系，能夠歸納出一元二次方程x2+px+q=0的根與系數(shù)的關(guān)系，由特殊到一般，再猜想一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系，并進行推理論證. 達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生對本節(jié)課產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的興趣，課后觀看微視頻，了解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的產(chǎn)生與發(fā)展歷史.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 （三）學(xué)生學(xué)情分析

本課的教學(xué)對象是初中九年級學(xué)生，學(xué)生前面學(xué)習(xí)的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系分別從兩個不同的角度揭示了一元二次方程根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，但初中學(xué)生的思維處于形象思維階段，對事物的認識多是直觀、形象的，對于數(shù)學(xué)思想方法的體會還是比較膚淺的，基于以上分析，在尊重學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，按照學(xué)生的認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生自主探究其根與系數(shù)的關(guān)系，并進行推理論證是本節(jié)課的難點. （四）教學(xué)策略分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。因此本節(jié)課在“目標(biāo)導(dǎo)引教學(xué)”這一理念的指引下，主要采用的是引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法。教學(xué)中，有目的地設(shè)計四個一元二次方程，通過引導(dǎo)學(xué)生進行計算、觀察、思考、歸納等活動，得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生處于積極、主動的探究過程中，體會代數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，最后通過課后微視頻融入數(shù)學(xué)文化教育，提升學(xué)生人文素養(yǎng)，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而實現(xiàn)了教與學(xué)的最優(yōu)化狀態(tài)，最終達成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).二、課堂簡錄 活動一：知識回顧，導(dǎo)入新知

師生活動：回憶前面學(xué)習(xí)的一元二次方程的解法、求根公式等知識，請同學(xué)們計算出下列三個方程的根.問題1：方程的根分別是多少？用什么方法解方程的？表2方程根x2x20x2x100x2x60 【設(shè)計意圖】

以學(xué)生為主體，立足學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，經(jīng)歷解方程的過程，回顧一元二次方程的求解方法和二次多項式的因式分解，從而體會因式分解法在一元二次方程中的本質(zhì)作32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選用，為后面的推理證明埋下伏筆.問題2：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的值是由什么決定的？ 由求根公式可知，方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且還反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系.問題3：一元二次方程的根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他的表現(xiàn)形式嗎？師生活動：學(xué)生開始嘗試探究根與系數(shù)的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生進行根的運算. 【設(shè)計意圖】

在不知不覺中引入新課，進而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，為本節(jié)課的探索之路做預(yù)熱練習(xí)，根據(jù)學(xué)生的回答，教師進行引導(dǎo)、跟進、展開、深化.活動二：合作交流，探索新知

問題1：你解得的兩個根的和、差、積、商分別是多少？問題2：觀察表中各方程的根的計算結(jié)果，你有哪些發(fā)現(xiàn)？表3方程根兩根之和兩根之差兩根之積兩根之商x2x201和23-1或121或22x2x100-5和2-3-7或7-105或225x2x602和35-1或162或332 【設(shè)計意圖】

通過算一算，讓學(xué)生體驗代數(shù)學(xué)習(xí)的基本過程，發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積的唯一確定性，嘗試由此來研究根與系數(shù)的關(guān)系，通過對兩個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的根與系數(shù)的觀察，初步發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的第一次認識.問題3：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這種關(guān)系該怎樣表示呢？ 根據(jù)學(xué)生的觀察，得到猜想：

如果方程x2+px+q=0的根是x1，x2，那么x1+x2=p，x1x2=q

師生活動：老師再出示一個方程及根的結(jié)果，請學(xué)生判斷剛才的猜想是否還成立，在教師引導(dǎo)下，以分組討論等形式讓學(xué)生思考問題.通過方程系數(shù)的觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)的不同，教師引導(dǎo)學(xué)生可以將二次項系42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選數(shù)化為1.

表4方程根兩根之和兩根之差兩根之積兩根之商x2x201和23-1或121或22x2x100-5和2-3-7或7-105或225x2x602和35-1或162或3322x2x101或123

21或1221

22或12 【設(shè)計意圖】

引導(dǎo)學(xué)生通過不完全歸納，親歷發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系的另一面，既是從教學(xué)層面讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)教學(xué)目的，又是從發(fā)現(xiàn)層面去理解數(shù)學(xué)，通過探究二次項不為1的一元二次方程，激發(fā)學(xué)生進一步探討一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的積極性，從而引發(fā)學(xué)生對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)思考，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，另外教師引導(dǎo)、學(xué)生分組自主完成的教學(xué)模式，也是教學(xué)活動，是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.問題4：二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，它們的根與系數(shù)有怎樣的關(guān)系？你能猜想出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根之和（x1+x2）與兩根之積（x1x2）與系數(shù)的關(guān)系嗎？師生活動：讓學(xué)生先思考，然后進行交流，通過把二次項系數(shù)化為1，類比x1+x2=p，xx=q可以得出xxb，c1212ax12a 進一步追問：由四個方程得出的結(jié)論能適用于所有方程嗎？如果這個結(jié)論要作為一個定理，還需要做什么？ 【設(shè)計意圖】

在探究過程中，利用表格幫助學(xué)生歸納出一般地一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，再一次體驗數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，為后面的推理證明搭設(shè)腳手架. 師生活動：師生回顧開始用因式分解方法解方程的過程，嘗試用因式分解的方法證明，由師生共同完成，實現(xiàn)對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的第二次認識.問題5：你能嘗試從其他角度驗證這個結(jié)論嗎？52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 師生活動：學(xué)生嘗試用求根公式論證，教師PPT展示學(xué)生證明過程，并引導(dǎo)學(xué)生觀察求根公式的結(jié)構(gòu)特征. 【設(shè)計意圖】

通過回顧前面鋪墊的內(nèi)容，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生容易得到證明過程：如果x2+px+q=0有兩個根x1，x2，那么該方程一定可以寫成如下形式：（x-x1)(x--x2)=0，因此，將上式變形得x2-(x1+x2)x+x1x2=0，再由“多項式相等”的概念證明定理，引導(dǎo)學(xué)生觀察求根公式的結(jié)構(gòu)特征，尋找有價值的變形方向，從前面的計算、觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想環(huán)節(jié)，再到本環(huán)節(jié)的證明，這一思維歷程既讓學(xué)生從形式層面理解數(shù)學(xué)，又使學(xué)生明白數(shù)學(xué)思維的邏輯性和嚴(yán)謹性，為學(xué)生今后探討一元高次方程的根與系數(shù)的關(guān)系提供了一種可行的探究思路，真正挖掘出了證明背后所蘊含的豐富科學(xué)方法，全程讓學(xué)生參與定理本質(zhì)的概況過程，這也是教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力的必由之路.由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果2的兩根，，那么b，xc如果ax+bx+c=0(a≠0)的兩根x1，x2，那么x12a12a這個關(guān)系通常稱為韋達定理.課后延伸學(xué)習(xí)：教師推送微視頻的方式，以精煉、生動的語言深入淺出、通俗而不失嚴(yán)謹?shù)睾喪鲰f達定理的產(chǎn)生與發(fā)展歷史，回顧歷史上一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理的不同證明方法. 【設(shè)計意圖】

運用現(xiàn)代技術(shù)手段，更加生動地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家靈活、多樣、精彩的證法，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展史中的作用，更加重要的是讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家不斷追求真理、勇于探索奧秘的數(shù)學(xué)精神，彰顯了數(shù)學(xué)文化之美，落實了“德育之效”，實現(xiàn)對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的第三次認識.活動三：理解應(yīng)用，拓展提升

練習(xí)：不解方程，求下列方程的兩根之和，兩根之積.（1）x2x150（2）3x2x90（3）x14x2（4）3x21師生活動：學(xué)生逐一回答，教師追問做這些題目你有什么樣的體驗？例題：已知關(guān)于x的方程，x2+kx+2=0，一個根是2，求它的另一個根及k的值.【設(shè)計意圖】62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，讓學(xué)生感受到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的靈活應(yīng)用，提供訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維的機會，從而進一步加強學(xué)生對所學(xué)知識的體會. 活動四：師生互動、課堂小結(jié)

師生活動：學(xué)生引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進行系統(tǒng)的總結(jié)，讓學(xué)生了解知識結(jié)構(gòu)，提高語言表達能力，學(xué)會總結(jié)與反思.1.今天我們學(xué)習(xí)了什么知識？2.怎樣獲得根與系數(shù)的關(guān)系的？通過怎樣的路徑？3.發(fā)現(xiàn)和證明的過程運用了哪些數(shù)學(xué)方法？ 回到開始研究的表格中，發(fā)現(xiàn)|x1-x2|的結(jié)果是唯一確定的，那么兩個根之差的絕對值和系數(shù)有什么樣的關(guān)系呢？留給學(xué)生課后思考.一元一次方程ax+b=0(a≠0)bx0=abxxc一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)x1x2a12a............ 【設(shè)計意圖】

梳理知識、提煉方法、首尾呼應(yīng)，為學(xué)生課后探究學(xué)習(xí)留下了方向，為學(xué)生今后探討一元高次方程的根與系數(shù)的關(guān)系提供了線索.活動五：布置作業(yè)

基礎(chǔ)作業(yè)：

1.課后觀看微視頻.2.求下列方程兩個根的和與積.（1）x2x10（2）x2x50（3）x2x5x16（4）x25x8拓展作業(yè)：

1.若ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，如何用a，b，c來表示|x1-x2|? 【設(shè)計意圖】

設(shè)計分層作業(yè)，滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的不同需求，通過課后練習(xí)鞏固所學(xué)知識，給學(xué)生充分的獨立思考時間，有利于能力的培養(yǎng)，同時通過作業(yè)來反饋教學(xué)效果，為接下來的教72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選學(xué)提供依據(jù).活動六：板書設(shè)計

表5§21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系方程x2+px+q=0的根如果是x1，x2，證明：一元一次方程ax+b=0(a≠0)x0=bax2+bx+c=0可化為那么x1+x2=p，x1x2=q0a定理：x2bxc一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)aax1xcx1xb它的根是x1，x22a2ax1xc方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，2a那么x1xbc（x--x1)(x--x2)=0，......2a，x1x2acx2-(x1+x2)x+x1x2=0b，x1x2 x1x2 a a【課堂教學(xué)目標(biāo)檢測】1.下列各方程中，兩根之和與兩根之積各是多少？（1）2x2-9x+5=0

（2）4x2-7x+1=0

（3）2x2+3x=0

（4）3x2=5x+1

2.已知關(guān)于x的方程3x2-19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值三、教學(xué)反思從歷史發(fā)展的角度來看，本節(jié)課秉承了歷史發(fā)展的軌跡，通過觀察、猜想、歸納、推理、證明的方式，步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，從數(shù)學(xué)思想的角度來看，韋達定理體現(xiàn)出整體性