第06講角平分線的性質(zhì)（5大考點(diǎn)）（解析版）

第06講角平分線的性質(zhì)（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一角平分線概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP二角平分線?？妓姆N輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系出現(xiàn)?？键c(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：與角平分線有關(guān)的計(jì)算1.（2020·廊坊市期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB=35°，則∠AOD等于().A．35° B．70°C．110° D．145°【答案】C【詳解】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.故選C.2.（2019·通遼市期末）已知：如圖，直線BO⊥AO于點(diǎn)O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．則∠AOC的度數(shù)是()A．22° B．46° C．68° D．78°【答案】C【提示】由垂直的定義可知∠AOB=90°，由角平分線的定義可知∠BOC=∠BOD=22°，從而求得∠AOC的度數(shù).【詳解】解：∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=22°，∴∠AOC=90°-22°=68°.故選C.【名師點(diǎn)撥】本題考查了垂直的定義，角平分線的定義.3.（2018·鄭州市期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，則∠MOD的度數(shù)是（）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°【答案】C試題解析：分為兩種情況：如圖1，當(dāng)∠AOB在∠AOC內(nèi)部時(shí)，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；如圖2，當(dāng)∠AOB在∠AOC外部時(shí)，∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故選C．考點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)定理1.（2020·景泰縣期中）如圖所示，OP平分，，，垂足分別為A、B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）．A． B．PO平分C． D．AB垂直平分OP【答案】D【提示】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得出PA=PB，再利用“HL”證明△AOP和△BOP全等，可得出，OA=OB，即可得出答案．【詳解】解：∵OP平分，，∴，選項(xiàng)A正確；在△AOP和△BOP中，，∴∴，OA=OB，選項(xiàng)B，C正確；由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：D．【名師點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵．2.（2019·云龍縣期中）如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA于點(diǎn)D,PD=6,則點(diǎn)P到邊OB的距離為()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A試題提示：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即點(diǎn)P到OB的距離是6．故選A．3.（2019·肥城市期末）如圖，AD是的角平分線，，垂足為F，，和的面積分別為60和35，則的面積為A．25B．C．D．【答案】D【提示】過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作于H，是的角平分線，，，在和中，，≌，，在和中，≌，，和的面積分別為60和35，，=12.5，故選D．【名師點(diǎn)撥】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記掌握相關(guān)性質(zhì)、正確添加輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．4.（2019·磴口縣期中）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【解析】∵DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC=AE，CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB=6，所以，△DEB的周長(zhǎng)為6cm.故選B.考點(diǎn)三：角平分線的判定定理1．（2020·嵩縣期末）如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D．以上均不正確【答案】B【提示】過兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可得OP平分∠AOB.【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺的寬度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故選B.【名師點(diǎn)撥】本題考查角平分線的判定定理，角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；熟練掌握定理是解題關(guān)鍵.2.（2019·漳州市期中）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2，則PQ的最小值為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】提示：根據(jù)題意點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要求PQ的最小值，需要找出滿足題意的點(diǎn)Q，根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，所以我們過點(diǎn)P作PQ垂直O(jiān)M，此時(shí)的PQ最短，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：過點(diǎn)P作PQ⊥OM，垂足為Q，則PQ為最短距離，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故選B．3．（2018·深圳市期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，則以下結(jié)論：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周長(zhǎng)是4cm．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根據(jù)勾股定理和CD=DE求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正確；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA==67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②錯(cuò)誤；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∵AC=BC，∴AE=AC=BC，∵∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=CD，∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正確；△BDE周長(zhǎng)是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正確；即正確的個(gè)數(shù)是3，故選：B．【名師點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用1．（2020·濟(jì)南市期末）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，則點(diǎn)D到AB邊的距離為()A．7 B．9 C．11 D．14【答案】B【提示】先確定出CD=9，再利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵CD：BD=3：4．設(shè)CD=3x，則BD=4x，∴BC=CD+BD=7x，∵BC=21，∴7x=21，∴x=3，∴CD=9，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，∴DE=CD=9，∴點(diǎn)D到AB邊的距離是9，故選B．【名師點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段的和差，解本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．2．（2019·東城區(qū)期末）已知△ABC,兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在AB,AC上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，點(diǎn)M一定在（）.A．∠A的平分線上 B．AC邊的高上 C．BC邊的垂直平分線上 D．AB邊的中線上【答案】A【提示】根據(jù)角平分線的判定推出M在∠BAC的角平分線上，即可得到答案．【詳解】如圖，∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，∴M在∠BAC的角平分線上，故選：A．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．3．（2019·河西區(qū)期中）如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍城的一塊三角形平地上修建一個(gè)度假村。要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，應(yīng)該修在（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)C．三邊高線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】B【提示】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分線的交點(diǎn)處．【詳解】要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等，則度假村應(yīng)該修在△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故選：B．【名師點(diǎn)撥】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．考點(diǎn)五：作角平分線1．（2020·黃石市期末）角平分線的作法（尺規(guī)作圖）①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點(diǎn)；②分別以C、D為圓心，大于CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③過點(diǎn)P作射線OP，射線OP即為所求．角平分線的作法依據(jù)的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【提示】根據(jù)角平分線的作法步驟，連接CP、DP，由作圖可證△OCP≌△ODP，則∠COP＝∠DOP，而證明△OCP≌△ODP的條件就是作圖的依據(jù)．【詳解】解：如下圖所示：連接CP、DP在△OCP與△ODP中，由作圖可知：∴△OCP≌△ODP（SSS）故選：A．【名師點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的求證過程，從角平分線的作法中尋找證明三角形全等的條件是解決本題的關(guān)鍵。2．（2020·荊州市期末）如圖，在中，．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見詳解．【提示】要使點(diǎn)到的距離等于，只能是的角平分線，按照角平分線的作圖方法作出圖形即可．【詳解】作出的角平分線和交于點(diǎn)，如下圖所示：【名師點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的畫法是解決本題的關(guān)鍵．3．（2020·東莞市期末）如圖，在□ABCD中，AB=5，BC=8.（1）作∠ABC的角平分線交線段AD于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）：（2）在（1）的條件下，求ED的長(zhǎng).【答案】（1）作圖見解析；（2）3.【提示】（1）以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB，BC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，在□ABCD內(nèi)交于一點(diǎn)，過點(diǎn)B以及這個(gè)交點(diǎn)作射線，交AD于點(diǎn)E即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)求出∠ABE=∠AEB，從而得AE=AB，再根據(jù)AB、BC的長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示，BE為所求；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AD=BC=8，∴∠AED=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5，∴DE=AD-AE=3【名師點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的畫法以及角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，得出AE=AB是解題關(guān)鍵．4．（2020·六盤水期末）如圖，在中，，．（1）作的角平分線BE（點(diǎn)E在AC上；用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）95°【提示】（1）依據(jù)角平分線的作法，即可得到△ABC的角平分線BE；（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠AEB的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可得到∠BEC的度數(shù)．【詳解】（1）如圖（滿足“三弧一線”可得）線段BE即為所求（2）由（1）得，BE平分∵∴∵∴∵∴【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及基本作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用作角平分線的方法，可以把一個(gè)已知角（）A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分【答案】B【分析】利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案．【詳解】利用作角平分線的方法，可以把一個(gè)已知角二等分，進(jìn)而可以將兩角再次等分，故可以把一個(gè)已知角四等分．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，正確把握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·貴州銅仁·）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺規(guī)作圖在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE＝BD；分別以D，E為圓心、以大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若CG＝2，則點(diǎn)G到直線AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得BG平分∠ABC，再利用角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】解：由作法得BG平分∠ABC，∴點(diǎn)G到BA和BC的距離相等，而CG⊥BC，CG＝2，∴點(diǎn)G到直線AB的距離為2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·廣西八年級(jí)期中）如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn)．把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿足要求．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)，共三處．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)；這是一道生活聯(lián)系實(shí)際的問題，解答此類題目時(shí)最直接的判斷就是三角形的角平分線，很容易漏掉外角平分線，解答時(shí)一定要注意，不要漏解．4．（2021·三明市列東中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，的面積為14，平分，且于點(diǎn)，則的面積是（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，證明△ADB≌△ADE，得到BD=ED，，推出，由此得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵平分，∴，∵，∴，∵AD=AD，∴△ADB≌△ADE，∴BD=ED，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形中線分三角形面積的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定的證明是解題的關(guān)鍵．5．（2021·福建省福州延安中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是16，MB和MC分別是∠ABC和∠ACB角平分線交于M,且MD⊥BC，MD=4，則S△ABC=（）A．64 B．48 C．32 D．42【答案】C【分析】連接AM，過點(diǎn)M分別作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，由角平分線的性質(zhì)可得ME=MD=MF，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AM，過點(diǎn)M分別作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵M(jìn)B平分∠ABC，MC平分∠ACB，∴ME=MD=MF，∵，∴，∵△ABC的周長(zhǎng)是16，∴AB+BC+AC=16，∴=32，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．6．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，是的平分線，則，在中，因?yàn)?，所以，則在中可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴是的平分線，∴，∵，即，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記角平分線的判定定理．7．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知于點(diǎn)B，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，于點(diǎn)C，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，且可得出平分，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】∵于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，且，∴平分，∵，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定以及三角形外角的性質(zhì)，熟知角平分線上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的平分線，于點(diǎn)E，，則長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．6 D．5【答案】A【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，首先由角平分線的性質(zhì)可知DF＝DE＝2，然后由，及三角形的面積公式得出結(jié)果．【詳解】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵是中的平分線，，∴，由圖可知，，∴，解得．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；利用三角形的面積求線段的大小是一種很好的方法，要注意掌握應(yīng)用．9．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得度數(shù)，則結(jié)果可求．【詳解】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（2021·樂清市芙蓉鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，的周長(zhǎng)是21，，分別平分和，于，且，則的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離為4，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接OA∵，分別平分和，于，且∴點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離為4∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積問題，掌握角平分線的性質(zhì)、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．11．（2021·深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于，交于，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】B【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和可判定①，在AB上取一點(diǎn)H，使BH=BE，進(jìn)而可證△HBO≌△EBO，則有∠BOH=∠BOE=60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AH=AF，進(jìn)而可判定②，作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可判定③．【詳解】解：∵和的平分線、相交于點(diǎn)，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，∴，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH=BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴，∵OB=OB，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴，∴，∴，∵，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴，∴，故②正確；作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，如圖所示：∵和的平分線、相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)在的平分線上，∴，∴，故③正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2021·重慶一中八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】D【分析】過C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM＋MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長(zhǎng)，即為CM＋MN的最小值．【詳解】解：過C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，如圖：∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點(diǎn)E，M′N′⊥BC于N′，∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′＋M′E＝CM′＋M′N′是CM＋MN最小值，此時(shí)M與M′重合，N與N′重合，∵三角形ABC的面積為10，AB＝4，∴×4?CE＝10，∴CE＝5．即CM＋MN的最小值為5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形中的最短路徑，解題的關(guān)鍵是理解CE的長(zhǎng)度即為CM＋MN最小值．13．（2021·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由可證四邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，再證△ADF∽△ABC可得，據(jù)此得出EF=DF-DE．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AC于點(diǎn)H，∵EF//BC，∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四邊形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四邊形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE（AAS），∴CG=CH，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，∵，∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF//BC，∴△ADF∽△ABC，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·廣東明德學(xué)校）如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；

②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①正確．利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問題．②正確．證明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再證明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解決問題．③錯(cuò)誤．利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可．④錯(cuò)誤，可以證明S四邊形ABDE=2S△ABP．⑤正確．由DH∥PE，利用等高模型解決問題即可．【詳解】解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正確．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正確．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，∴HD∥EP，∴S△EPH=S△EPD，∴S△APH=S△AED，故⑤正確，∵S四邊形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正確．若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH，∵DH∥BE，∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，∴∠CDE=∠ABC，∴DE∥AB，這個(gè)顯然與條件矛盾，故③錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題15．（2021·湖南八年級(jí)期末）如圖，在RtABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝8，則ABD的面積是_____．【答案】8【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2，∴△ABD的面積=×AB×DE=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，中，平分，交于，于點(diǎn)，的面積是，，，則______．【答案】3.5【分析】作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】作，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴；故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．（2021·西安市西航一中八年級(jí)月考）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是______．【答案】3：5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等，估計(jì)三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，∴設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h1，h2，∴h1＝h2，∴△ABD與△ACD的面積之比＝AB：AC＝3：5，故答案為：3：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．18．（2021·重慶一中八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分線，作DE⊥AB，已知AB＝4，AC＝2，△ABD的面積是2，則△ADC的面積為___．【答案】1【分析】先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出DE=

1，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，然后利用三角形的面積公式計(jì)算△ADC的面積．【詳解】DE⊥AB，S△ABD

=×

DE

×

AB

=

2，

DE==1，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，點(diǎn)D到AC的距離為1，S△ADC

=×2×1=

1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平分于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則圖中有__________對(duì)全等三角形．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE=PF，根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．【詳解】解：如圖，平分于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，∴，在和中，∴，∴，在和中，∴，在和中，∴，∴圖中有3對(duì)全等三角形．故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．三、解答題20．（2021·福建八年級(jí)期中）如圖，在中，．（1）作的平分線交BC于點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，若，，則的面積為_________．【答案】（1）見解析；（2）15【分析】（1）根據(jù)基本作圖-作角平分線的方法作出圖形即可．（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E．證明DE=DC=3，再利用三角形的面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E．∵，AD平分∠BAC，，，∴DE=DC=3，∴【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．21．（2021·清澗縣教學(xué)研究室）如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)，使得沿直線折疊后，點(diǎn)恰好落在邊上．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只需要作∠BAC的角平分線即可得到答案．【詳解】解：如解圖，點(diǎn)即為所求．以A為圓心，以任意長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑畫弧與直線AB，AC分別交于M、N點(diǎn)，分別以M、N為圓心以大于MN長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，兩弧交于Q點(diǎn)，連接AQ并延長(zhǎng)與BC交于P，即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．22．（2021·福建省福州延安中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，Rt∠ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）尺規(guī)作圖：在BC邊上求作點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到邊AB的距離等于CQ（保留作圖痕跡，不寫做法）；（2）連接AQ（Q為所求作的點(diǎn)）交CD于點(diǎn)P，若∠ABC=55°，求∠CPQ的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）72.5°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)利用尺規(guī)作圖作∠A的平分線交BC于點(diǎn)Q即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等即可求解．【詳解】解：（1）作∠A的平分線交BC于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求作的點(diǎn)．（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=55°，∴∠CAB=90°-55°=35°，∵AQ平分∠CAB，∴∠PAD==17.5°，∵CD⊥AB于D，∴∠ADP=90°，∴∠APD=90°-17.5°=72.5°，∴∠CPQ=∠APD=72.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖－角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，的外角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在的平分線上．【分析】作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，∵的外角平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴，∴，又∵，∴點(diǎn)P在的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，熟知角平分線的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知中，，平分，交于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．【答案】35【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)解得，再利用等積法解題即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵，即，平分，∴，∵，∴．∴，∵，設(shè)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．25．（2021·重慶一中八年級(jí)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD．（1）用基本尺規(guī)作圖：作∠ACB的角平分線CM，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BD于F（保留畫圖的痕跡，不寫作法）；（2）若F是BD的中點(diǎn)，AD＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）7【分析】（1）利用基本作圖，作出∠ACB的平分線即可；（2）先證明∠ACE＝∠AEC得到AE＝AC＝3，再證明△BCF≌△DEF，所以BC＝DE．【詳解】解：（1）如圖，CM為所作；以C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，BC與G、N兩點(diǎn)，分別以G、N為圓心，以大于GN的一半長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)H，連接CH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于E.（2）∵CM平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠AEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC＝3，∵F是BD的中點(diǎn)，∴BF＝AF，在△BCF和△DEF中，，∴△BCF≌△DEF（AAS），∴BC＝DE＝4+3＝7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.26．（2021·江蘇八年級(jí)開學(xué)考試）我們把從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角的射線叫做這個(gè)角的平分線．如圖①，在中，若，則或叫做“三等分線”．（基礎(chǔ)運(yùn)用）（1）已知，、分別是的外角、的角平分線，、分別是、的角平分線，、分別是、的角平分線，若，則、所在直線的夾角的度數(shù)為______．（用含的代數(shù)式表示）（概念提升）（2）在中，，，若的三等分線與的外角的三等分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為______．（問題解決）是四邊形的外角，設(shè)、．（3）如圖②，和的三等分線、相交于點(diǎn)（，），求證：；（4）如圖③，和的等分線分別相交于點(diǎn)、、、…、，則________（用含、、的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）或或或；（3）見解析；（4）【分析】（1）設(shè)，，直線與直線相交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)用含的代數(shù)式即可表示出BM，CN所在直線的夾角的度數(shù)；（2）畫出圖形，∠ABC的三等分線與∠ACB的交點(diǎn)有四個(gè)，分別求出對(duì)應(yīng)的度數(shù)即可；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)分別用、、n，表示出∠P1，∠P2，∠P3，…∠Pn，再加在一起計(jì)算即可.【詳解】解：（1）如下圖所示，設(shè)，，直線與直線相交于點(diǎn)，由題意可得，，、分別是的外角、的角平分線，，，、分別是、的角平分線，，，，故答案為：；（2）如下圖所示，的三等分線與的外角的三等分線的交點(diǎn)為、、和，，，，，，，，，故答案為：或或或；（3）證明：如下圖所示，，，，，，，，（4），，同理可得，，，……，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性