初等數(shù)論一組題

1、a=169,b=121,求a、b的最大公因數(shù)。2、證明兩整數(shù)a,b互質(zhì)的充分與必要條件是:存在兩個(gè)整數(shù)s,t滿足條件,3、求證3198041981能被5整除.4、求不定方程的整數(shù)解。5、設(shè)，計(jì)算某星期一后的第天是星期幾？6、數(shù)100！的十進(jìn)位制表示中，未尾連續(xù)地有多少位全是零？7、一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？

8、有一年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人？9、解同余方程。10、證明不定方程無(wú)解。1、a=169,b=121,求a、b的最大公因數(shù)。解：所以（此題考查學(xué)生輾轉(zhuǎn)相除發(fā)的運(yùn)用）2、證明兩整數(shù)a,b互質(zhì)的充分與必要條件是:存在兩個(gè)整數(shù)s,t滿足條件,證明：1)充分性：因?yàn)?設(shè),則c|a,c|b,所以c整除,即c整除1,所以c=1,即a和b互質(zhì)2)必要性：因?yàn)閍和b互質(zhì)，所以?？紤]非空集合,不妨設(shè)是A中最小正整數(shù)且,y是A中任意一個(gè)元素，由帶余除法,,則，若,則r是A中比更小之正整數(shù)，矛盾。所以,從而|y,特別地有|a,|b,所以|(a,b)=1,因此=1,所以存在整數(shù)和使得證畢。（此題考查學(xué)生對(duì)互質(zhì)數(shù)的理解和掌握）3、求證3198041981能被5整除.證明,,,,4、求不定方程的整數(shù)解。解：先求的一組特解，為此對(duì)37，107運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法：，，將上述過程回填，得：由此可知，,是方程的一組特解，于是，是方程的一組特解。因此原方程的一切整數(shù)解為：。5、設(shè)，計(jì)算某星期一后的第天是星期幾？解:星期幾的問題是被7除求余數(shù)的問題.由于，于是，，因而.為了把指數(shù)的指數(shù)寫成的形式，還需取6為模來(lái)計(jì)算.為此我們有，進(jìn)而有，，依次類推，有所以從而，這樣，星期一后的第天將是星期五.6、數(shù)100！的十進(jìn)位制表示中，未尾連續(xù)地有多少位全是零？解：命題等價(jià)于100！最多可以被10的多少次方整除。因?yàn)?因而100！中2的指數(shù)大于5的指數(shù)，所以100！中5的指數(shù)就是所需求出的零的位數(shù)。由,即可知100！的未尾連續(xù)地有24位全是數(shù)碼零。7、一個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？

解：題中3、4、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

為了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因?yàn)椋?74>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。8、有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個(gè)年級(jí)至少有多少人？解：題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。為了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，因?yàn)椋?508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。9、解同余方程。解∵=1，∴有二個(gè)解因?yàn)閜=137，故0<y≤34取q=3，則2為3一平方非剩余。解同余方程得，從不大于34的正整數(shù)中淘汰形如y=23t的數(shù)，即有下面1，3，4，6，7，9，10，12，13，15，16，18，19，21，22，24，25，27，28，30，31，33，34。再取q=5，2，3為g的平方非剩余的同余方程，解為,，再?gòu)那懊娴臄?shù)中淘汰形如y=25t和y=5t，有下面1，3，4，6，9，13，16，18，19，21，24，28，31，33，34。又取q=7，3，5，6為g的三個(gè)平方非剩余的同余方程的淘汰y=47t,7t,6