第08講基本不等式（解析版）

第08講基本不等式【學(xué)習(xí)目標】1.掌握基本不等式.2.能靈活應(yīng)用基本不等式解決一些證明、比較大小問題.3.進一步熟練掌握基本不等式，能夠通過拼湊、變形等利用基本不等式求最值.4.能夠利用基本不等式解決實際問題.【基礎(chǔ)知識】知識點一基本不等式如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．我們把這個不等式稱為基本不等式．知識點二基本不等式與最大(小)值當(dāng)x，y均為正數(shù)時，下面的命題均成立：(1)若x＋y＝S(S為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy取得最大值eq\f(S2,4)；(簡記：和定積有最大值)(2)若xy＝P(P為定值)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y取得最小值2eq\r(P).(簡記：積定和有最小值)知識點三基本不等式的實際應(yīng)用基本不等式常用于求解與最值有關(guān)的實際問題，具體步驟如下：(1)先理解題意，設(shè)出變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為因變量．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)根據(jù)實際意義寫出正確的答案．【考點剖析】考點一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用例1．下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式成立的條件，對三個求解過程分別進行判斷即可得到答案．【詳解】對：基本不等式適用于兩個正數(shù)，當(dāng)，均為負值，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；對：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，但，則等號取不到，故的用法有誤；對：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的用法有誤；故使用正確的個數(shù)是0個，故選：.考點二：利用基本不等式比較大小例2．設(shè)，其中、是正實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出與的大小關(guān)系.【詳解】因為、是正實數(shù)，且，則，，因此，.故選：B.考點三：利用基本不等式證明不等式例3．設(shè)，為正實數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，為正實數(shù)，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.考點四：利用基本不等式求最值例4．若，且.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.故選：D.考點五：利用基本不等式求解恒成立問題例5．當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意當(dāng)時，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，從而求得答案．【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，對均成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值等于3，，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．考點六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用例6．如圖，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，點C在MN上，米，米．(1)要使擴建成的花壇面積大于27米，則AN的長度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長度是多少米時，擴建成的花壇面積最??？并求出最小面積．【答案】(1)或(2)當(dāng)AN的長度是4米時，擴建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24米【解析】【分析】（1）設(shè)，（），由∽，得到，然后得到花壇AMPN的面積，再由求解；（2）由（1）的結(jié)果變形，然后利用基本不等式求解；(1)解：設(shè)，則．∽，，即，解得．花壇AMPN的面積．由，得，則，解得或，故AN的長度范圍是或．(2)由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．當(dāng)AN的長度是4米時，擴建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24米．【真題演練】1．若，且，則下列不等式中，恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析:，所以錯;，只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù)，所以當(dāng)時，錯;同時錯;或都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，，故正確.考點：不等式的性質(zhì)2．若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.3．設(shè)，，，則的最小值為__________.【答案】.【解析】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】由，得，得，等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立．故所求的最小值為．【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．4．若a>0，b>0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是(寫出所有正確命題的編號)．①ab≤1；②+≤；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;.【答案】①③⑤【解析】【詳解】對于①：因為，，所以，所以，故①項正確；對于②：左邊平方可得：，所以，故②項錯誤；而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②錯誤的結(jié)論；對于③：因為，由①知，所以，故③項正確；對于④：，故④項錯誤；對于⑤+==≥2，故⑤項正確；故本題正確答案為：①③⑤.5．某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是__________．【答案】【解析】【詳解】總費用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故答案為30.點睛:在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．6．要制作一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）【答案】160【解析】【分析】設(shè)底面長方形的長寬分別為和，先求側(cè)面積，進一步求出總的造價，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設(shè)底面長方形的長寬分別為和，則，所以總造價當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r區(qū)到最小值則該容器的最低總造價是160.故答案為：160.7．已知，且，則的最大值為________________【答案】【解析】【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時取等號.8．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場地圍墻的總費用為y.（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長為am，則根據(jù)圍建的矩形場地的面積為360m2，易得，此時再根據(jù)舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用y表示成x的函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍墻的總費用最小值，及相應(yīng)的x值試題解析:(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長為$am$則由已知，得所以(2).當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.即當(dāng)時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.9．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（II）證明見解析.【解析】【詳解】（Ⅰ）由，，得：，由題設(shè)得，即，所以，即.（Ⅱ）因為，，，所以，即，所以.本題第（Ⅰ）（Ⅱ）兩問，都可以由均值不等式，相加即得到.在應(yīng)用均值不等式時，注意等號成立的條件:“一正二定三相等”.【考點定位】本小題主要考查不等式的證明，熟練基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.10．若，且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得，并說明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【解析】【分析】（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【詳解】（1）由，得，且當(dāng)時取等號．故，且當(dāng)時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【過關(guān)檢測】1．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．C．函數(shù)最小值為D．若，則的最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、基本不等式確定正確選項.【詳解】A選項，若，則，A選項錯誤.B選項，根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B選項錯誤.C選項，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C選項正確.D選項，當(dāng)時，，，D選項錯誤.故選：C2．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形，求出圓的半徑以及.再利用勾股定理求得,結(jié)合直角三角形的直角邊長小于斜邊長，可得答案.【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D.3．當(dāng)時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式直接求解.【詳解】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為故選：B4．給出下面三個推導(dǎo)過程：①∵a、b為正實數(shù)，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】利用特殊值確定錯誤推導(dǎo)，結(jié)合基本不等式判斷正確推導(dǎo).【詳解】①，根據(jù)基本不等式的知識可知①正確.②，當(dāng)時，，所以②錯誤.③，根據(jù)基本不等式的知識可知③正確.所以正確的為①③.故選：B5．已知正實數(shù)滿足，使得取最小值時，實數(shù)的值為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代換即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立故當(dāng)，時，取最小值.故選：C6．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【解析】【分析】結(jié)合基本不等式、差比較法確定正確選項.【詳解】依題意，根據(jù)基本不等式可知，，，所以.所以，即.故選：B7．已知，，，若不等式恒成立，則m的最大值(

)A． B． C． D．5【答案】C【解析】【分析】恒成立﹒轉(zhuǎn)化為用基本不等式計算2a＋b的最小值﹒【詳解】由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值，由a＞0，b＞0，1，可得2a＋b＝(2a＋b)()＝3，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴m≤，∴m的最大值為，故選：C．8．已知正數(shù)x、y滿足，則xy的最大值為_______.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)，利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以xy的最大值為8.故答案為：8.9．若，，，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因為，，由基本不等式可得，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.10．已知實數(shù)滿足，則的最大值為___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計算作答.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，由且解得或，所以當(dāng)或時，取最大值1.故答案為：111．若，則的最小值是_________.【答案】5【解析】【分析】利用配湊法轉(zhuǎn)化成形式一致的因式，再根據(jù)基本不等式“一正，二定，三相等”求出最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時.故答案為：.12．函數(shù)的最小值為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)均值定理去求函數(shù)的最小值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)故答案為：13．已知x>，則的最小值為____．【答案】15【解析】【分析】對添項為：，再由基本不等式即可求出答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即x=4時，等號成立．故答案為：15.14．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.15．已知，，且，則的最小值是________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求的最小值.【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是8，故答案為：8.16．已知，，且，則的最小值為_________【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用進行求解【詳解】因為，所以