導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問(wèn)題有答案

導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)問(wèn)題知識(shí)梳理★一、定義：、形如的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)1.三次函數(shù)圖象a>0a<0>00>00圖象xx1x2xxxx0xxx1x2xxx0x2．函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)個(gè)數(shù)情況。=，記=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x1<x2）a>0a<0>00>00單調(diào)性在上,是增函數(shù)；在上,是減函數(shù)；在R上是增函數(shù)在上，是增函數(shù)；在上，是減函數(shù)；在R上是減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20203、三次函數(shù)最值問(wèn)題。函數(shù)若，且，則：；。4、三次方程根的問(wèn)題。（三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題）三次函數(shù)(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.5、對(duì)稱中心。三次函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)，此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)?！锏湫涂碱}★1.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（A）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2.如圖，函數(shù)y＝f（x）的圖象如下，則函數(shù)f（x）的解析式可以為（A）Ａ）f（x）＝（x－a）2（b－x）Ｂ）f（x）＝（x－a）2（x＋b）Ｃ）f（x）＝－（x－a）2（x＋b）Ｄ）f（x）＝（x－b）2（x－a）3.設(shè)＜b,函數(shù)的圖像可能是（C）4．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)有3個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給出下列4個(gè)命題：①函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)；②函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)；③方程的根小于的任意實(shí)根；④和有一個(gè)相同的實(shí)根．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（C）。 A．1 B．2 C．3 D．5、函數(shù)在閉區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是（C）交點(diǎn)有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)？1Oyx2－21Oyx2－2－1當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與有二個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)。變式四、為何值時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)？三個(gè)零點(diǎn)？解：令、、的變化情況如下表－1（－1，1）1＋0－0＋極大值極小值∴的單調(diào)遞增區(qū)間是和的單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，有極大值當(dāng)時(shí)，有極小值要使有一個(gè)零點(diǎn)，需且只需，解得 要使有二個(gè)零點(diǎn)，需且只需，解得 要使有三個(gè)零點(diǎn)，需且只需，解得變式五、已知函數(shù)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍解：設(shè)切點(diǎn)為，則∴切線方程即∵切線過(guò)點(diǎn)A∴即∵過(guò)點(diǎn)可作的三條切線∴方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根設(shè)，則當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表0＋0－0＋極大值極小值由單調(diào)性知：①若極大值或極小值，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②若或，方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，綜上，要使方程有三個(gè)相異的實(shí)根，須且只須，所以，所求的的取值范圍是。變式六、已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍。解：∵∴①若，則∴在上恒成立∴在上單調(diào)遞增∵∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)。②若，則∴有兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為、且，則當(dāng)變化時(shí)，、的取值變化情況如下表＋0－0＋極大值極小值∵∴∴同理∴令，解得－ayx3x2x－ayx3x2x1y=f(x)∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)∴的大致圖象如圖所示：綜上所述，的取值范圍是

綜合練習(xí)題Oyx121、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；如圖所示，Oyx12求：⑴的值；⑵、、的值。（2006北京）解：⑴由數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)時(shí)，；∴在上遞減當(dāng)或，，∴在和上遞增∴當(dāng)時(shí)，有極大值⑵解法一、由已知，得解得解法二、由數(shù)形結(jié)合可設(shè)又∴由∴∴，2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2004全國(guó)卷）解：令解得，①當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)，不合題意②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，依題意應(yīng)有：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，解得綜上，的取值范圍是3、已知函數(shù)在處取得極值，⑴討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；⑵過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。（2004天津）解：⑴，依題意有即解得∴∴令得，若，則∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和若，則∴的單調(diào)遞減區(qū)間為所以，是極大值，是極小值⑵曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足因，故切線方程為∵點(diǎn)在切線上∴解得∴切點(diǎn)為，切線方程為變式：若第⑵小題改為，其他不變。提示：仿照上題中的解法，有或所求的切線方程為或3、已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值。⑴求、的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍。（2006江西）解：⑴，依題意，得，解得∴變化時(shí)，、的變化情況如下表1＋0－0＋極大值極小值所以的遞增區(qū)間為與，遞減區(qū)間為⑵，當(dāng)時(shí)，為極大值，而∴為最大值要使恒成立只須解得或思考：若變?yōu)椋娜≈捣秶鯓樱?、已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值，⑴求的單調(diào)區(qū)間和極大值；⑵證明：對(duì)任意，，不等式恒成立。⑴解：由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有，即∴注意：可用因此，由條件為的極值，得即解得，∴當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)區(qū)間上為增函數(shù)所以在處取得極大值，極大值為⑵證明：由⑴知，，是減函數(shù)且在上的最大值為在上的最小值為所以對(duì)任意恒有5、已知，，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切。⑴求與的關(guān)系式（用表示）；⑵設(shè)函數(shù)在內(nèi)有極值點(diǎn)，求的取值范圍。（2004湖北）解：⑴依題意，令，得由，得∵∴⑵∴令即則△①若，則有一實(shí)根上，且變化時(shí)，的變化如下＋0＋于是不是函數(shù)的極值點(diǎn)②若，則有兩個(gè)不等的實(shí)根，變化時(shí)，的變化如下＋0－0＋由此，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有極值點(diǎn)由，得或∵∴或解得或故所求的取值范圍是2（2010江西卷）設(shè)函數(shù).（1）若的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.[解析]，由得，∴當(dāng)時(shí)，取極大值0，當(dāng)時(shí)取極小值且極小值為負(fù)。故選C?；虍?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，選C[解析]（1）由已知有，從而，所以；（2）由，所以不存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù).（06福建文21）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。[解析]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。滿分12分。（I）解：是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知，得（II）方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。2．（2010北京卷）設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4。（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；（Ⅱ）若在無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。3．（2009江西卷）設(shè)函數(shù)．（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．3．解：(1),因?yàn)?,即恒成立,所以,得，即的最大值為(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)時(shí),取極大值;當(dāng)時(shí),取極小值;故當(dāng)或時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)根.解得或.4．已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，，，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：例1、（全國(guó)Ⅱ卷文21）已知函數(shù)f（x）=x-3a+3x+1。（Ⅰ）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。例1、解：①式無(wú)解，②式的解為，因此的取值范圍是.例2、已知函數(shù)滿足（其中為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，為常數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù)；（3）在（2）的條件下，若，求函數(shù)的圖象與軸圍成的封閉圖形的面積．例2、解：（1）由，得．取，得，解之，得，∴．從而，列表如下：1＋0－0＋↗有極大值↘有極小值↗∴的單調(diào)遞增區(qū)間是和；的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）由（1）知，；．∴方程有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于或．………8分∴常數(shù)或．（3）由（2）知，或．而，所以．令，得，，．∴所求封閉圖形的面積．……14分例3、（恒成立問(wèn)題）已知函數(shù)有極值．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若在處取得極值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．例3、解：（Ⅰ）∵，∴，要使有極值，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，從而△＝，∴．（Ⅱ）∵在處取得極值，∴，∴．∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．∴時(shí)，在處取得最大值，∵時(shí)，恒成立，∴，即，∴或，即的取值范圍是．例4、（信息遷移題）對(duì)于三次函數(shù)。定義：（1）的導(dǎo)數(shù)（也叫一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”；定義：（2）設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（1）己知，求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對(duì)稱;（3）對(duì)于任意的三次函數(shù)寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）。例4、解：（1）依題意，得：，。由，即?！啵?，∴的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是。（2）由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是。而===，由定義(2)知：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（3）一般地，三次函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，它就是的對(duì)稱中心?；蛘撸喝魏我粋€(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù).例5、（與線性規(guī)劃的交匯問(wèn)題）設(shè)函數(shù),其中,是的導(dǎo)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的解析式;(2)若,函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為滿足.設(shè),試求實(shí)數(shù)的取值范圍.例5、解:(Ⅰ)據(jù)題意,由知,是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸又,故是方程的兩根.設(shè),將代入得比較系數(shù)得:故為所求.另解：，據(jù)題意得解得故為所求.(Ⅱ)據(jù)題意,,則又是方程的兩根,且則

則點(diǎn)的可行區(qū)域如圖的幾何意義為點(diǎn)P與點(diǎn)的距離的平方.觀察圖形知點(diǎn)，A到直線的距離的平方為的最小值故的取值范圍是例3.（天津）已知函數(shù)在x＝±1處取得極值。（I）討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；（II）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程。解：（I）因?yàn)?，所以?dǎo)方程。因?yàn)樵趚＝±1處取得極值，所以，是導(dǎo)方程的兩根，所以解得a＝1，b＝0所以由推論得是f(x)的極大值；f(1)＝－2是f(x)的極小值。（II）曲線方程為，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)為M因?yàn)?，故切線方程為點(diǎn)A（0，16）在切線上，所以解得，切點(diǎn)為M（－2，－2）故所求切線方程為例4.（湖北）已知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切。（I）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；（II）設(shè)函數(shù)在（）內(nèi)有極值點(diǎn)，求c的取值范圍。解：（I）依題意，，得，所以因?yàn)樗裕↖I）因?yàn)樗訤（x）的導(dǎo)方程為：依性質(zhì)1的推論得：所以，所以或解之得故所求c的范圍是（0，）（）。★鞏固練習(xí)★1、設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是（）2、函數(shù)在閉區(qū)間[－3，0]上的最大值、最小值分別是（C）A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 3、（江西卷文17）設(shè)函數(shù).（1）若的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)極值單調(diào)性等知識(shí)4、設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4。（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；（Ⅱ）若在無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。5、（天津卷文20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.6、（重慶卷文19）已知函數(shù)（其中常數(shù)a，b∈R），是奇函數(shù).（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值與最小值.7、已知在函數(shù)的圖象上以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為（1）求m、n的值；（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使不等式對(duì)于恒成立？求出最小的正整數(shù)k，若不存在說(shuō)明理由；（3）求證：8、（2010浙江文數(shù)）（本題滿分15分）已知函數(shù)（a-b）<b)。（I）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線方程。（II）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，9、（福建文22）已知函數(shù)f（x）=的圖像在點(diǎn)P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+是[]上的增函數(shù)。（i）求實(shí)數(shù)m的最大值；(ii)當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封