【人教數(shù)學(xué)A版選修】《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》優(yōu)化總結(jié)

本

章

優(yōu)

化

總

結(jié)

專(zhuān)題探究精講本章優(yōu)化總結(jié)知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)題探究精講專(zhuān)題一導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率為f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．例1【解】

(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.專(zhuān)題二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)確定并指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間．特別要注意寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開(kāi)，絕對(duì)不能用“∪”連結(jié)．例2專(zhuān)題三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)．若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值．特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3(2)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：專(zhuān)題四利用導(dǎo)數(shù)解不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究某些函數(shù)的單調(diào)性與最值，可以解決一些不等式證明及不等式恒成立問(wèn)題，如利用“f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a”和“f(x)＞a?f(x)min＞a”的思想解題．

設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2處取得極值．(1)求a、b的值；(2)若對(duì)于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．【解】

(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1及x＝2處取得極值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，例4所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值，f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.則當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因?yàn)閷?duì)于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．專(zhuān)題五導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，一定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考慮，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實(shí)際問(wèn)題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)＝3700x＋45x2－10x3(單位：萬(wàn)元)；成本函數(shù)為C(x)＝460x＋5000(單位：萬(wàn)元)．又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(提示：利潤(rùn)＝產(chǎn)值－成本)(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？例5【解】

(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)．∵x＞0，∴P′(x)＝0時(shí)，x＝12.∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)，P′(x)＞0；當(dāng)x＞12時(shí)，P′(x)＜0，∴x＝12時(shí)，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305(x∈N*，且1≤x≤19)．所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，所以，單調(diào)減區(qū)間為[1,19]，且x∈N*.MP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義，隨著產(chǎn)量的增加，每艘利