線性經(jīng)濟模型簡介

第六章線性經(jīng)濟模型簡介§6.1

投入產(chǎn)出數(shù)學模型1§6.1.1投入產(chǎn)出表經(jīng)濟系統(tǒng)各部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系可以用投入產(chǎn)出表來描述。投入產(chǎn)出表分為實物型表和價值型表兩種類型。(1)實物型表采用實物計量單位編制，其特點是經(jīng)濟意義明確，適合于實際工作的需要；(2)價值型表采用貨幣計量單位編制，其特點是單位統(tǒng)一，適合于對經(jīng)濟系統(tǒng)進行全面的分析研究。2一、投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)引例設(shè)某個地區(qū)的經(jīng)濟系統(tǒng)劃分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個部門。上一年度三個部門的生產(chǎn)與消耗情況如表6-1所示。消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)品工業(yè)農(nóng)業(yè)其他生產(chǎn)部門工業(yè)19610270192560農(nóng)業(yè)846842146340其他1123428106280凈產(chǎn)值168136140總產(chǎn)值560340280表6－1生產(chǎn)與消耗情況表案例6.1案例6.33產(chǎn)出部門間流量投入消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)品12┄合計合計消費積累┄合計生產(chǎn)部門1┄2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄合計┄凈產(chǎn)值勞動報酬┄純收入┄合計┄總產(chǎn)值┄表6－2價值型投入產(chǎn)出表一般經(jīng)濟系統(tǒng)的價值型投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)(表6-2)4二、投入產(chǎn)出數(shù)學模型表6-2中每一行可建立一個等式，反映一個部門的總產(chǎn)品分配情況。個部門的產(chǎn)品分配情況構(gòu)成線性方程組(6.1)或表示為(6.1’)此方程組稱為產(chǎn)品分配方程組，簡稱為產(chǎn)品方程組。5表6－2中消耗部門的列，也可構(gòu)成個等式，反映這些部門的總產(chǎn)值構(gòu)成情況。表示為(6.2)或表示為(6.2’)此方程組稱為產(chǎn)值構(gòu)成方程組，簡稱為產(chǎn)值方程組。6經(jīng)濟系統(tǒng)的產(chǎn)品方程組(6.1)與產(chǎn)值方程組(6.2)之間存在如下關(guān)系：(1)由于某一個部門的總產(chǎn)品價值就是該部門的總產(chǎn)值，故有但是，一個部門在生產(chǎn)過程中所提供給其他部門的產(chǎn)品價值與該部門所消耗的其他部門的產(chǎn)品價值通常并不相等，因而7于是這表明某一個部門的最終產(chǎn)品價值一般并不等于該部門的新創(chuàng)造價值。(2)由于整個經(jīng)濟系統(tǒng)的總產(chǎn)品價值就是該系統(tǒng)的總產(chǎn)值，故有因而8由于于是這表明整個經(jīng)濟系統(tǒng)的最終產(chǎn)品價值等于該系統(tǒng)的新創(chuàng)造價值。9§6.1.2利用直接消耗系數(shù)表示的

投入產(chǎn)出數(shù)學模型一、直接消耗系數(shù)的概念計劃期內(nèi)第j部門生產(chǎn)的總產(chǎn)品價值

生產(chǎn)過程中直接消耗第i部門的產(chǎn)品價值第j部門平均生產(chǎn)一個單位價值產(chǎn)品直接消耗第i部門的產(chǎn)品價值

短期內(nèi)相對穩(wěn)定.反映了部門的生產(chǎn)技術(shù)水平.10

定義6.1經(jīng)濟系統(tǒng)第j部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品所直接消耗第i部門的產(chǎn)品價值量，稱為第j部門對第i部門的直接消耗系數(shù)，記作(6.3)

經(jīng)濟系統(tǒng)n個部門相互之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的n階方陣，稱為直接消耗系數(shù)矩陣，記作(6.4)

只需將投入產(chǎn)出表中的各部門間流量分別除以同列最后一行的總產(chǎn)值，即可得到直接消耗系數(shù)矩陣。11案例6.1

求引例所示經(jīng)濟系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣。

解：根據(jù)表6.1中的各列部門間流量及總產(chǎn)值數(shù)據(jù)，可求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為(6.5)

12二、直接消耗系數(shù)的性質(zhì)(3)設(shè)A為經(jīng)濟系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，I為同階的單位矩陣，則(I—A)是可逆矩陣，且(6.6)

(1)(2)13三、利用直接消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學模型1．產(chǎn)品分配方程組根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義（6.3）可以得到關(guān)系式將關(guān)系式(6.7)代入產(chǎn)品分配平衡方程組(6.1)，可得(6.8)

(6.7)

或表示為

(6.8‘)

14如果將整個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門的總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品分別記成向量形式

則可得用直接消耗系數(shù)矩陣A，將產(chǎn)品分配方程組(6.8)表示為矩陣形式

(6.8‘’)

其中x和y分別稱為經(jīng)濟系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量和最終產(chǎn)品向量。152．產(chǎn)值構(gòu)成方程組將關(guān)系式(6.7)代入產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組(6.2)，可得

(6.9)

(6.9‘)

或產(chǎn)品分配方程組(6.8)反映了經(jīng)濟系統(tǒng)各部門的總產(chǎn)品與最終產(chǎn)品之間的關(guān)系.產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組(6.9)反映了經(jīng)濟系統(tǒng)各部門的總產(chǎn)值與凈產(chǎn)值之間的關(guān)系。16案例6.2

建立引例所示經(jīng)濟系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學模型。

解：在例6.1中已求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為據(jù)此建立該系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學模型如下：

產(chǎn)品分配方程組為(6.10)

其中和分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個部門的總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品。17產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組為(6.11)

其中和分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個部門的總產(chǎn)值和凈產(chǎn)值。18四、模型的應(yīng)用

投入產(chǎn)出數(shù)學模型反應(yīng)了近期的生產(chǎn)技術(shù)水平，利用該模型可對近期的經(jīng)濟量作出預(yù)測。

設(shè)A是經(jīng)濟系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣;(1)由總產(chǎn)品向量，根據(jù)(6.8'')可求得系統(tǒng)的最終產(chǎn)品向量(6.12)

(6.13)

(2)由最終產(chǎn)品向量，根據(jù)定理6.2可求得系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量分別表示經(jīng)濟系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量和最終產(chǎn)品向量。19(3)由第部門的總產(chǎn)值，根據(jù)(6.9’)可求得該部門的凈產(chǎn)值(6.14)

(4)由第部門的凈產(chǎn)值，由(6.14)可求得該部門的總產(chǎn)值(6.15)

20

案例6.3

根據(jù)案例6.2中的直接消耗系數(shù)，并假設(shè)工業(yè)、農(nóng)業(yè)及其它部門的總產(chǎn)品分別為解:已知三個部門總產(chǎn)品，根據(jù)(6.12)式有即

所以，三個部門的最終產(chǎn)品分別為求這三個部門的最終產(chǎn)品.21

案例6.4

由案例6.3中的最終產(chǎn)品，求各部門的總產(chǎn)品及部門間流量。解:已知三個部門總產(chǎn)品，根據(jù)(6.13)式有即

所以，三個部門的總產(chǎn)品(總產(chǎn)值)分別為22再用總產(chǎn)品分別乘直接消耗系數(shù)矩陣中對應(yīng)列的元素，即可得到反映該系統(tǒng)部門間流量的矩陣23只要經(jīng)濟系統(tǒng)各個部門的生產(chǎn)技術(shù)條件沒有變化，就可將調(diào)查期的投入產(chǎn)出數(shù)學模型直接應(yīng)用于計劃期的經(jīng)濟工作。但某些部門可能改進更新技術(shù)，降低消耗，就需要重新測定這些部門的直接消耗系數(shù)，并對報告期的投入產(chǎn)出數(shù)學模型作出相應(yīng)的修正，然后再將其應(yīng)用于計劃期的經(jīng)濟工作.24§6.1.3完全消耗系數(shù)

一、完全消耗系數(shù)的概念

定義6.2

經(jīng)濟系統(tǒng)第j部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品所完全消耗第i部門的產(chǎn)品價值量，稱為第j部門對第i部門的完全消耗系數(shù)，記作由經(jīng)濟系統(tǒng)所有個部門相互之間的完全消耗系數(shù)構(gòu)成的階方陣，稱為經(jīng)濟系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣，記作

(6.16)

25完全消耗系數(shù)矩陣的求法根據(jù)直接消耗系數(shù)與完全消耗系數(shù)的定義，經(jīng)濟系統(tǒng)第j部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品時，對第i部門產(chǎn)品的消耗情況如下：(1)第j部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品完全消耗第i部門產(chǎn)品價值量為；(2)第j部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品直接消耗第i部門產(chǎn)品價值量為；(3)第j部門直接消耗第r部門的產(chǎn)品價值量為，而第r部門為生產(chǎn)這價值量為的產(chǎn)品所完全消耗第i部門的產(chǎn)品價值量為。即第j部門通過第r部門間接消耗第i部門的全部產(chǎn)品價值量為26完全消耗就是直接消耗與所有的間接消耗之和，故將上面關(guān)系式用矩陣形式表示為即

其中A和C分別是經(jīng)濟系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣和完全消耗系數(shù)矩陣。由(6.17)即可由直接消耗系數(shù)矩陣得到完全消耗系數(shù)矩陣(6.17)

(6.18)

27案例6.5

求引例所示經(jīng)濟系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。

解：根據(jù)(6.17)，關(guān)于該系統(tǒng)有由此可求得該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣為

(6.19)

28(6.18)

完全消耗系數(shù)矩陣由直接消耗系數(shù)矩陣決定完全消耗系數(shù)矩陣由生產(chǎn)技術(shù)條件決定如果經(jīng)濟系統(tǒng)各個部門的生產(chǎn)技術(shù)條件沒有變化，則各部門之間的直接消耗系數(shù)不會改變，各部門之間的完全消耗系數(shù)也不會改變。29值得注意的是直接消耗系數(shù)是部門性的，某個部門對各個部門的直接消耗系數(shù)僅取決于本部門的生產(chǎn)技術(shù)水平。

完全消耗系數(shù)是系統(tǒng)性的，某個部門對各個部門的完全消耗系數(shù)不僅取決于本部門，而且取決于其他部門的生產(chǎn)技術(shù)水平。

因為經(jīng)濟系統(tǒng)中任何一個部門生產(chǎn)技術(shù)條件的變化，都會通過由完全消耗所形成的連鎖關(guān)系，影響到整個系統(tǒng)所有部門相互之間的完全消耗系數(shù)。30二、消耗系數(shù)矩陣的經(jīng)濟意義

設(shè)經(jīng)濟系統(tǒng)的計劃期總產(chǎn)品為最終產(chǎn)品為則x-y就是系統(tǒng)在生產(chǎn)過程中所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品。這些產(chǎn)品是如何消耗掉的?31對整個系統(tǒng)個部門產(chǎn)品的直接消耗量可以用向量形式表示為(6.20)

其中，A是經(jīng)濟系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，是系統(tǒng)生產(chǎn)最終產(chǎn)品所需的直接消耗產(chǎn)品。首先從最終產(chǎn)品考慮

根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義，系統(tǒng)在生產(chǎn)最終產(chǎn)品y的過程中，對本系統(tǒng)第部門產(chǎn)品的直接消耗量為32再從直接消耗產(chǎn)品考慮仿照上面的分析即可知道，系統(tǒng)在生產(chǎn)直接消耗產(chǎn)品的過程中，對本系統(tǒng)產(chǎn)品的直接消耗量為這里，就是系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)品所需的一次間接消耗產(chǎn)品。二次間接消耗產(chǎn)品為三次間接消耗產(chǎn)品為(6.21)r-1次間接消耗產(chǎn)品為33其中，時表示直接消耗產(chǎn)品；時表示各次間接消耗產(chǎn)品。經(jīng)濟系統(tǒng)在生產(chǎn)過程中所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品，應(yīng)是上述直接消耗產(chǎn)品與各次間接產(chǎn)品之和。于是有(6.21)34再根據(jù)(6.6)和(6.18)即可得到(6.22)其中C是經(jīng)濟系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。以上得到的(6.20)和(6.46)分別表明了直接消耗系數(shù)矩陣A和完全消耗系數(shù)矩陣C的經(jīng)濟意義。即如果經(jīng)濟系統(tǒng)的計劃期最終產(chǎn)品為，那么系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)品所直接消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品為，所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品為。35§6.1.4投入產(chǎn)出數(shù)學模型經(jīng)濟應(yīng)用案例一、在經(jīng)濟預(yù)測中的應(yīng)用

案例6.6假定根據(jù)引例所示經(jīng)濟系統(tǒng)的生產(chǎn)發(fā)展情況，預(yù)計該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個部門的計劃期總產(chǎn)品將在報告期總產(chǎn)品的基礎(chǔ)上分別增長9%、7%、6%。由于在生產(chǎn)過程中系統(tǒng)內(nèi)部存在著復(fù)雜的產(chǎn)品消耗關(guān)系，故一般說來，各個部門最終產(chǎn)品的增長幅度與總產(chǎn)品的增長幅度并不一致。試預(yù)測該系統(tǒng)最終產(chǎn)品的增長情況。解計劃期總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品分記別為和。根據(jù)表6-1中的報告期總產(chǎn)品數(shù)據(jù)以及預(yù)計的計劃期總產(chǎn)品增長幅度，該系統(tǒng)三個部門的計劃期總產(chǎn)品應(yīng)分別為36工業(yè)部門：

農(nóng)業(yè)部門：其他產(chǎn)業(yè)部門：將這些數(shù)據(jù)代入(6.12)，可求得即由此可對該系統(tǒng)三個部門的計劃期最終產(chǎn)品及其相對于報告期最終產(chǎn)品的增長幅度作出預(yù)測。37工業(yè)部門：

農(nóng)業(yè)部門：其他產(chǎn)業(yè)部門：增長增長增長

根據(jù)預(yù)測結(jié)果，可對該系統(tǒng)的計劃期最終產(chǎn)品與實際需要是否相符作出判斷，避免出現(xiàn)大的偏差。38二、在制訂計劃中的應(yīng)用

案例6.7

現(xiàn)假定通過預(yù)測，引例所示經(jīng)濟系統(tǒng)三個部門的計劃期最終產(chǎn)品需要量分別為工業(yè)部門：

農(nóng)業(yè)部門：其他產(chǎn)業(yè)部門：

試確定計劃期總產(chǎn)品、部門間流量及計劃期各部門凈產(chǎn)值。解將這些數(shù)據(jù)代入產(chǎn)品分配方程組(6.13)，可求得39由此可知，該系統(tǒng)三個部門的計劃期總產(chǎn)品分別為工業(yè)部門：

農(nóng)業(yè)部門：其他產(chǎn)業(yè)部門：

用上述三個部門的總產(chǎn)品分別乘該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣(6.5)中對應(yīng)列的元素，可得到該系統(tǒng)計劃期部門間流量的矩陣40再將上述三個部門的總產(chǎn)品(總產(chǎn)值)代入產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組(5.11)，可求得該系統(tǒng)三個部門的計劃期凈產(chǎn)值分別為工業(yè)部門：

農(nóng)業(yè)部門：其他產(chǎn)業(yè)部門：

根據(jù)以上所求得的各項數(shù)據(jù)即可編制出該系統(tǒng)的計劃期投入產(chǎn)出表，見表6－341產(chǎn)出部門間流量投入消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)品工業(yè)農(nóng)業(yè)其他生產(chǎn)部門工業(yè)22412080216640農(nóng)業(yè)968048176400其他1284032120320凈產(chǎn)值192160160總產(chǎn)值640400320表6－342習題43產(chǎn)出部門間流量投入消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)品123生產(chǎn)部門16019030y16002901520180y238003309560y3600凈產(chǎn)值z1z2z3總產(chǎn)值60038006001、設(shè)某經(jīng)濟系統(tǒng)各部門的總產(chǎn)品及部門間流量如下表所示。44（1）求該系統(tǒng)各部門的最終產(chǎn)品y1，y2，y3。（2）求該系統(tǒng)各部門的凈產(chǎn)值z1，z2，z3。（3）求該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣。452、設(shè)某經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的直接消耗系數(shù)及各部門的凈產(chǎn)值如下表所示。x3x2x1總產(chǎn)值200500900凈產(chǎn)值x3y30.30.20.23x2y20.10.10.12x1y10.40.20.31生產(chǎn)部門321總產(chǎn)品最終產(chǎn)品消耗部門產(chǎn)出投入直接消耗系數(shù)46（1）求該系統(tǒng)各部門的總產(chǎn)值x1，x2，x3。（2）求該系統(tǒng)的部門間流量xij（i，j＝1，2，3）。（3）求該系統(tǒng)各部門的最終產(chǎn)品y1，y2，y3。473、設(shè)某經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的直接消耗系數(shù)及各部門的凈產(chǎn)值如下表所示。x3x2x1總產(chǎn)值z3z2z1凈產(chǎn)值x32250.10.10.13x21200.20.20.