角平分線的性質(zhì) 省賽獲獎

汕頭市翠英中學(xué)王煒煜

12.3角平分線的性質(zhì)（1）

8.如圖，P是∠BAC平分線AD上一點，AC>AB，求證：PC-PB<AC-AB.PDACB證明：在AC上取AM=AB,連接PM.∵AD是∠BAC平分線，∴∠MAP=∠BAP在△MAP和△BAP中AM=AB，∠MAP=∠BAP，AM=AB，∴△MAP≌△BAP（SAS).∴MP=BP.∴PC-PB=PC-PM＜MC=AC-AM=AC-AB.M一、復(fù)習(xí)舊課9.如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線.求證：AB+AC＞2AD.ABCD證明：延長AD至E，使AD=DE，連結(jié)BE，∵AD是BC的中線，∴BD=

CD在△ACD和△EBD中AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，∴△ACD≌△EBD（SAS).∴BE=AC.∴AB+AC=AB+BE＞AE=2AD.E1.角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12∠1=∠2=?∠AOB一、復(fù)習(xí)舊課2.點到直線距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。OPAB線段的長度一、復(fù)習(xí)舊課

如圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC。將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線。你能說明它的道理嗎？ADCBE二、講授新課

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCENOMCENM

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑畫?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于點Ｃ．如何用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑畫弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．畫射線OC．則射線ＯＣ即為所求．

如圖：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？

AOBAOBCDEP可以看出，第一條折痕OC是∠AOB_________第二次形成了____條折痕，分別為__________,它們是角平分線上的一點到∠AOB兩邊的_______這兩個距離_______平分線2PD、PE距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理：你能用三角形全等證明這個性質(zhì)嗎？1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等如何證明幾何命題？AOBCDEP已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.求證：PD=PE.分析：仔細觀察圖形，思考證明兩條線斷相等的方法有哪些？△PDO≌△PEO嗎？證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠ＰＥＯ＝９０°.在△ＰＤＯ和△ＰＥＯ中，∠PDO=∠ＰＥＯ，∠ＡＯＣ=∠ＢＯＣ，

OＰ=OＰ，∴△ＰＤＯ≌△ＰＥＯ（ＡＡS）∴ＰＤ＝ＰＥ.AOBCDEP角平分線上的點到角的兩邊的距離相等總結(jié)歸納PD⊥OA，PE⊥OB.∵OP平分∠AOB，∴PD=PE.用符號表示為：AOBCDEPOABED思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，問PE=PD？為什么?CPPD，PE沒有垂直O(jiān)A，OB，它們不是角平分線上任一點到這個角兩邊的距離，所以不一定相等.運用角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。1.距離指的是點到角的兩邊的垂線段的長；2.該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要用全等三角形；3.使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有垂直。例1：如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝8，BD＝5，則點D到AB的距離是多少？ACDBE三、例題講解解：過D作DE⊥AB于E，∵BC＝8，BD＝5，∴CD=BC-BD=3.∵∠C＝900,∴AC⊥CD.∵

AD平分∠BAC，DE⊥AB，

AC⊥CD，∴DE=CD=3.答：

點D到AB的距離為3.例2：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD.OABECD三、例題講解證明：∵OE是∠

AOB的角平分線，CE⊥OA，DE⊥OB∴CE=DE.在Rt△AEC和Rt△BED中，

AE=BE，

CE=DE，∴Rt△AEC≌Rt△BED（HL）∴AC＝BD.四、課堂練習(xí)P501A0BMNPC1.如圖，OC平分∠AOB，PM⊥OB于點M，PN⊥OA于點N，△POM的面積為6，OM=6，則PN=_______。2四、課堂練習(xí)2.如圖:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB.

ACDBEF四、課堂練習(xí)證明：∵

∠C=900

∴AC⊥BC，

∵AD是∠

COB的角平分線，DE⊥AB，AC⊥BC，∴CD=DE.在Rt△CDF和Rt△EDB中，

BD=DF，

CD=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）∴CF＝EB.3.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE四、課堂練習(xí)證明：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，CD⊥AC,∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD，

CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL).∴AC=AE.∵