2023屆高考前迅速提分復習專題2-2 函數(shù)與方程思想中的九種題型（導數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式、立體與解析幾何、計數(shù)原理與統(tǒng)計概率） （解析版）

2023年高考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案（上海地區(qū)專用））題型一：導數(shù)及其應用1．（2022秋·上海黃浦·高三格致中學?？茧A段練習）定義可導函數(shù)在x處的彈性函數(shù)為，其中為的導函數(shù)．在區(qū)間D上，若函數(shù)的彈性函數(shù)值大于1，則稱在區(qū)間D上具有彈性，相應的區(qū)間D也稱作的彈性區(qū)間．（1）若，求的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；（2）對于函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（ⅰ）當時，求的彈性區(qū)間D；（ⅱ）若在（i）中的區(qū)間D上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1），；（2）（?。?，（ⅱ）.【分析】（1）由，可得，根據(jù)題設(shè)條件，即可求得的彈性函數(shù)及彈性零點；（2）（ⅰ）函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，函數(shù)是彈性函數(shù)，得出不等式組，進而求得函數(shù)的彈性區(qū)間；（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，則，令，解得，所以彈性函數(shù)的零點為.（2）（ⅰ）當時，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，因為，函數(shù)是彈性函數(shù)，此不等式等價于下面兩個不等式組：（Ⅰ）或（Ⅱ），因為①對應的函數(shù)就是，由，所以在定義域上單調(diào)遞增，又由，所以①的解為；由可得，且在上恒為正，則在上單調(diào)遞增，所以，故②在上恒成立，于是不等式組（Ⅰ）的解為，同①的解法，求得③的解為；因為時，④，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）無實數(shù)解，綜上，函數(shù)的彈性區(qū)間.（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，則，而，由（?。┛芍?，在上恒為正，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點的求法，利用導數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，試題綜合性強，屬于難題．題型二：三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知銳角的面積為，，，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題先建立方程，再求，最后求角的大小即可.【詳解】解：因為銳角的面積為，，，所以，即，解得：，由因為角是銳角，所以故選：D.【點睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，是基礎(chǔ)題.2．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，其中、、、為已知實常數(shù)，，有下列四個命題：（1）若，則對任意實數(shù)恒成立；（2）若，則函數(shù)為奇函數(shù)；（3）若，則函數(shù)為偶函數(shù)；（4）當時，若，則（）；則上述命題中，正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用兩角和的余弦公式化簡表達式.對于命題（1），將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出（1）選項的真假；對于命題（2）選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出（2）選項的真假；對于命題（3）選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出（3）選項的真假；對于命題（4）選項，根據(jù)、，求得的零點的表達式，進而判斷出（4）選項的真假.【詳解】不妨設(shè)．為已知實常數(shù).若，則得；若，則得．于是當時，對任意實數(shù)恒成立，即命題（1）是真命題；當時，，它為奇函數(shù)，即命題（2）是真命題；當時，，它為偶函數(shù)，即命題（3）是真命題；當時，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題（4）是假命題．故選：C【點睛】本題考查兩角和差公式，三角函數(shù)零點，三角函數(shù)性質(zhì)，重點考查讀題，理解題和推理變形的能力，屬于中檔題型.二、填空題3．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎刃蔚膱A心角大小為，半徑為2，則扇形的弧長為___________.【答案】【分析】直接根據(jù)扇形的弧長公式求解即可．【詳解】故答案為：4．（2022秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學校考開學考試）在中，，，則面積為__________.【答案】【分析】由，結(jié)合余弦定理推論可求得,進而求得,利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】在中因為，所以由余弦定理的推論知,,因為，所以,因為，即,解得,所以的面積.故答案為:【點睛】本題主要考查三角形的余弦定理和三角形的面積公式;其中余弦定理與平面向量數(shù)量積結(jié)合是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.5．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，當時，，關(guān)于x的方程有且僅有四個不同的實數(shù)根，若是四個根中的最大根，則____.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可得，即，從而可得四個不同的實數(shù)根，進而可得，代入即可求解.【詳解】當時，函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，的極大值為，極小值為，作出函數(shù)當時的圖像如圖，函數(shù)函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當時的圖像與當時的圖像關(guān)于軸對稱，故函數(shù)的圖像如圖所示，將進行平移，可得當時，兩圖像有且僅有四個不同的實數(shù)根，令，可得，，，所以，故答案為：【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像以及根據(jù)方程根的個數(shù)求參數(shù)值、特殊角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.6．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學?？计谥校┮阎猰是實常數(shù)，若，則m的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有解，換元求函數(shù)的值域即可.【詳解】由可得：，若，則方程有解，令，，則，所以只需，故答案為：【點睛】本題主要考查了含的二次函數(shù)的值域，分離參數(shù)的方法，集合的概念，屬于中檔題.7．（2023春·上海金山·高一華東師范大學第三附屬中學校考階段練習）函數(shù)的定義域是_________【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數(shù)的定義域．【詳解】由題意知，，即，所以的定義域為：故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，根據(jù)函數(shù)的解析式列出滿足的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．三、解答題8．（2021秋·上海青浦·高三上海市青浦高級中學校考階段練習）在中，角，，的對邊分別是，，，已知，，．（1）求的值；（2）若角為銳角，求的值及的面積．【答案】（1）（2），【分析】（1）結(jié)合題設(shè)條件和正弦定理，即可求解；（2）由余弦的倍角公式，求得，，再結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）在中，因為，，由正弦定理，解得（2）因為，又，所以，．由余弦定理，得，解得或（舍），所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎?）化簡：；（2）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別是a、b、c，若，，且的面積，求a、b的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)誘導公式可化簡；（2）由（1）可得，再根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理可求得，解之得答案.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，即，又，所以，因為的面積，所以，解得，又，所以，由，解得，所以.【點睛】本題考查運用誘導公式化簡，三角形的面積公式和余弦定理的運用求解三角形，屬于中檔題.題型三：平面向量一、填空題1．（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學?？奸_學考試）已知平面向量、滿足，則的取值范圍是______【答案】【分析】利用待定系數(shù)法，可得，再利用數(shù)量積運算可得到關(guān)于的關(guān)系式，進而可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)與的夾角為，且，得，故，解得，所以，為計算方便，不妨令，，則，，所以，因為，所以，即，故，即.故答案為：.2．（2019秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學?？茧A段練習）已知向量、滿足，則、的夾角為__________.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知,,再利用平面向量的數(shù)量積的夾角公式即可求解.【詳解】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知,，因為，所以,因為,所以,因為，所以、的夾角為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其夾角公式;重點考查學生的運算能力;屬于基礎(chǔ)題.3．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知內(nèi)一點是其外心，，且，則的最大值為________.【答案】【分析】如圖所示，延長交于，令，由三點共線，得，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用解三角形知識，即可得答案.【詳解】如圖所示，延長交于，令，∵三點共線，∴，∴取最大值時，取最大值，∴，∵為外接圓的半徑定值，∴當取得最小時，取最大值，此時，∴為等腰三角形，且，∴，∴∵，，∴.故答案為：.【點睛】本題考查向量在三角形中的運用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、倍角公式、解三角形，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，綜合性較強.題型四：數(shù)列一、單選題1．（2022·上?！ざ＃┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，且，則下列說法中正確的是（

）A．為遞增數(shù)列B．當且僅當時，有最大值C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】C【分析】根據(jù)已知求出首項和公差即可依次判斷.【詳解】由，知，即，設(shè)等差數(shù)列的首項，公差，，解得，對于A，由，知為遞減數(shù)列，故錯誤；對于B，由，知當或時，有最大值，故B錯誤；對于C，由等差數(shù)列求和公式知，即，解得，即，故C正確；對于D，由等差數(shù)列求通項公式知，解得，故D錯誤；故選：C.2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】D【分析】化簡已知遞推關(guān)系式可得到，由此分別判斷選項，可知錯誤；設(shè)，則，；采用數(shù)形結(jié)合的方式知越來越小，錯誤；假設(shè)成立，通過化簡不等式可知不等式恒成立，知正確.【詳解】，，，又，，，對于，若，則，，，，錯誤；對于，若，則，，即，，錯誤；對于，設(shè)，則，考慮函數(shù)與的圖象，如下圖所示：當時，單調(diào)遞減，且越來越小，，，錯誤；對于，設(shè)，則，，若，則，等價于，即，即，而顯然成立，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列前后項所滿足的關(guān)系，同時借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象來進行表現(xiàn)，屬于難題.二、填空題3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）數(shù)列滿足，記，若對任意的

恒成立，則正整數(shù)的最小值為___________．【答案】10【分析】先求出數(shù)列的通項公式，化簡得到數(shù)列為遞減數(shù)列，求得數(shù)列的最大項為，得到，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，所以，所以數(shù)列是以4為公差，以1為首項的等差數(shù)列，可得，所以，令所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為，因為，解得，又由為正整數(shù)，所以，故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的恒成立問題的求解，其中解答中利用數(shù)列的遞推公式求得數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.4．（2020·上海市進才中學高三階段練習）已知數(shù)列的首項為，且滿足，則下列命題：①是等差數(shù)列；②是遞增數(shù)列；③設(shè)函數(shù)，則存在某個區(qū)間，使得在上有唯一零點；則其中正確的命題序號為________【答案】②③【分析】對于①，將已知遞推關(guān)系式變形可證得數(shù)列為等比數(shù)列；對于②，結(jié)合等比數(shù)列通項公式可求得，可驗證出，知數(shù)列遞增；對于③，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定單調(diào)性，利用零點存在定理可得到結(jié)論.【詳解】對于①，由得：，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，①錯誤；對于②，由①知：，，，是遞增數(shù)列，②正確；對于③，由②知：，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當時，，，即，由零點存在定理知③正確；綜上所述：正確的命題序號為②③.故答案為：②③.【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應用問題，涉及到利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列、根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項公式和確定數(shù)列增減性、零點存在定理的應用等知識；解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握數(shù)列增減性和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.5．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，為其前項和，等比數(shù)列的前三項分別為，設(shè)向量，則的最大值是__________【答案】【分析】由題意得，求得，可得，表示出再由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值.【詳解】由題意構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當取得最大值，此時最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，通項，前n項和，以及向量的模的綜合運算，關(guān)鍵在于正確地運用公式，利用定義進行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.6．（2020·上海交大附中高三階段練習）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關(guān)于x的方程：有實數(shù)解，那么以下2021個方程，，，…，中，無實數(shù)解的方程最多有______個.【答案】1010【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，設(shè)，，由一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，則，，所以原方程可變?yōu)椋稍摲匠逃袑崝?shù)解可得即，若要使方程無解，則要使，設(shè)，，易得為開口向上的拋物線的一部分，為直線的一部分，又時，，所以滿足的的取值最多可有1010個，即無實數(shù)解的方程最多有1010個.故答案為：1010.【點睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應用，考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.三、解答題7．（2019·上海市建平中學高三階段練習）已知數(shù)列的前項和為，對一切正整數(shù)，點都在函數(shù)的圖像上，過點的直線斜率為且與的圖像有且僅有一個交點.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最小數(shù)，，求的通項公式.【答案】（1）（2）【分析】（1）由點都在函數(shù)的圖像上可得的表達式，利用作差法可求得，再檢驗時表達式是否成立，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）斜率應為函數(shù)過點的導函數(shù)的值，先化簡集合，可得，結(jié)合題意求得，再由不等關(guān)系求得，利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得公差，進而求得的通項公式【詳解】（1）由題可知，，則，由可得，，經(jīng)檢驗符合表達式，故；（2），由題知，所以，，，由可得，當，故，，，故，故，，【點睛】本題考查函數(shù)與數(shù)列的轉(zhuǎn)化，由的表達式求，集合的交集運算，數(shù)列通項公式的求法，綜合性強，但難度不大，屬于中檔題8．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知為等差數(shù)列，其中奇數(shù)項和比偶數(shù)項和大15，且，求.【答案】280【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得（1），（2），解方程即得，再求數(shù)列的和得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為奇數(shù)項和比偶數(shù)項和大15，所以（1）因為，所以

（2）解方程（1）（2）得.所以.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項的基本量的計算，考查等差數(shù)列的求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．（2021·上海師大附中高三期中）有下列三個條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個條件中任選一個，補充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項和為，，對任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【分析】根據(jù)等差?等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列單調(diào)性來找到數(shù)列的最大項，題干中有3個條件，選取一個進行分析即可.【詳解】記，從而有().選擇①，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因為，所以，即.所以，所以.由，當時，，當時，，所以當或2時，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得對任意的，都有.選擇②，方法一：是公差為1的等差數(shù)列，因為，所以，當時，，則，當時，上式成立，所以.所以，從而.由，所以當時，；當時，，所以當時，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得對任意的，都有.方法二：利用“夾逼法”，即利用來求解.，由()，得，解得.選擇③，方法一：，則，從而，即.又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.所以，從而，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故不存在，使得對任意的，都有.方法二：利用求解.，，則，因為，所以不存在，使得對任意的，都有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題屬于開放性試題，選擇不同的條件，根據(jù)數(shù)列通項及單調(diào)性得到的結(jié)論不同，關(guān)鍵點即復合數(shù)列單調(diào)性的判斷.10．（2022·上海市實驗學校高三開學考試）對于有限數(shù)列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定義：對于任意的k≤N，k∈N*，有(1)S*(k)＝|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak|；(2)對于，記L(k)＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+?+|ak﹣c|.對于k∈N*，若存在非零常數(shù)c，使得L(k)＝S*(k)，則稱常數(shù)c為數(shù)列{an}的k階ω系數(shù).(i)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為，計算S*(4)，并判斷2是否為數(shù)列{an}的4階ω系數(shù)；(ii)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n﹣39，且數(shù)列{an}的m階ω系數(shù)為3，求m的值；(iii)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，滿足﹣1，2均為數(shù)列{an}的m階ω系數(shù)，且S*(m)＝507，求m的最大值.【答案】(i)30，2是數(shù)列{an}的4階ω系數(shù)；(ii)26；(iii)26.【分析】(i)結(jié)合已知條件，利用等比數(shù)列求和運算即可；(ii)利用等差數(shù)列求和方法分別求出和，結(jié)合已知條件運算即可；(iii)結(jié)合已知條件，構(gòu)造新函數(shù)，并求出函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得到的最大值.【詳解】(i)因為，所以，故，因為，所以2是數(shù)列的4階ω系數(shù)；(ii)因為數(shù)列的階系數(shù)為3，所以當時，存在，時成立，設(shè)等差數(shù)列的前項和，由an＝3n﹣39可得，，令，則，故設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則，令，則，故當時，顯然；當時，由，得，解得；(iii)由題意可知，，設(shè)數(shù)列公差為，構(gòu)造函數(shù)，故，同理，，即，，為的三個零點，由函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可知為偶數(shù)，且滿足，解得，從而，當數(shù)列，且，可知當時命題成立，即的最大值為26.11．（2021·上海普陀·模擬預測）設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意的，均有是常數(shù)且成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，已知的首項．(1)若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，若不等式對一切，恒成立？求數(shù)列中的所有可能的值；(3)是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項公式及對應的的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，，，，(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意得到，可得，兩式相減得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的通項公式，即可求解.（2）由題意得到，則，兩式相減得，進而得到，根據(jù)，求得，即可求解（3）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，得到，則，利用兩式相減得到，同理得到，得到對任意恒成立，結(jié)合，得到矛盾，即可求解.(1)解：數(shù)列為“數(shù)列”，則，可得，兩式相減得，又因為時，，所以，所以對任意的恒成立，即（常數(shù)），故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項公式為．(2)解：數(shù)列為“數(shù)列”，則，則，兩式相減得，，當時，，當時，，則，則，因為，所以，因為，，得，所以，且．解得，，，，．(3)解：假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則，故，兩式相減得，故有同理由是“數(shù)列”得，所以對任意恒成立．所以，即，又，即，兩者矛盾，故不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”.12．（2022·上海市實驗學校高三階段練習）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；(2)求使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值；(3)當時，求證：.【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，證明等于一個定值，即可得證，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）問題可轉(zhuǎn)化為對于任意的正整數(shù)都成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得出答案；（3）要證，只需證，利用，即可得證.(1)解：當時，，所以，當時，，即，則有，，所以是以1為公差2為首項的等差數(shù)列，是以，是以；(2)解：，則，即為，即為對于任意的正整數(shù)都成立，令，則，故，是以單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為；(3)證明：要證，只需證，因為，所以，所以.【點睛】本題考查了利用與的關(guān)系及構(gòu)造法求數(shù)列的通項，考查了數(shù)列不等式恒成立問題及數(shù)列不等式的證明問題，還考查了組合數(shù)性質(zhì)的應用，考查了數(shù)據(jù)處理能力及邏輯推理能力，綜合性比較強，難度較大.題型五：不等式一、填空題1．（2022秋·上海奉賢·高一?？茧A段練習）已知一元二次方程的兩根為，則=___________.【答案】19【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方和公式進行求解即可.【詳解】一元二次方程的兩根為，，所以有，因此，故答案為：2．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知方程在區(qū)間中有且只有一解，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】或【分析】設(shè)，建立不等式組或，可得答案.【詳解】設(shè)，因為方程在內(nèi)恰有一解，則需或，解得或.故答案為：或.【點睛】本題考查一元二次方程的根的分布，常常從相應的二次函數(shù)中的特殊點的函數(shù)值的正負、對稱軸、根的判別式等方面建立不等式組，屬于中檔題.二、解答題3．（2021秋·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習）（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值；（2）若，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析【分析】（1）由二次不等式的解集，利用韋達定理求解系數(shù)；（2）分類討論二次不等式的解.【詳解】（1）由題意得的兩根為和1，所以，解得；（2）由得，即，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.4．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習）求實數(shù)為何值時，方程的兩個實根.（1）分別在區(qū)間（1，2）和（3，4）內(nèi)；（2）絕對值小于1.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)的函數(shù)值的正負得出關(guān)于的不等式組，可得出實數(shù)的范圍.（2）根據(jù)對稱軸需所在的范圍，最小值、的正負得出關(guān)于的不等式組，可得出實數(shù)的范圍.【詳解】解：設(shè).（1）由題意，得所以，當時，原方程兩實根分別在區(qū)間（1，2）和（3，4）內(nèi)；（2）由題意，兩個實根的絕對值小于1，即兩個實根均在區(qū)間內(nèi).因而有所以，當時，原方程的兩個實根的絕對值小于1.【點睛】本題考查一元二次方程根的分布，常常從二次函數(shù)的對稱軸、根的判別式、特殊點的函數(shù)值的正負等方面考慮，屬于中檔題.5．（2023·上海·高三專題練習）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續(xù)風貌，豐富設(shè)施，精彩活動”的整治目標．某科學研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復合劑．這種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間（單位：小時）變化的函數(shù)為，已知當時，的值為28，且只有在活性不低于3.5時才能產(chǎn)生有效作用．(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時間；（結(jié)果精確到小時）(2)由于環(huán)境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產(chǎn)生損耗，設(shè)損耗剩余量關(guān)于時間的函數(shù)為，記為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出的最大值．（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)小時(2)6.5【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；（2）當時，令，，再令，面積由基本不等式求得最值；當時，，利用單調(diào)性可得的最大值，再比較可得答案．【詳解】(1)由于，則，當時，，解得，當時，，即產(chǎn)生有效作用的時間段為，故產(chǎn)生有效作用的時間為小時．(2)當時，令，則，同時，再令，則，面積，由基本不等式，，當且僅當時等號成立，則在上的最大值為，當時，，則此時在是單調(diào)遞減的，則最大值在時取到，，綜上所述，在上的最大值為6.5．6．（2022春·上海寶山·高一上海市吳淞中學校考階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若不等式在上恒成立，求實數(shù)最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性代入表達式即可求解；（2）函數(shù)零點轉(zhuǎn)為方程根的個數(shù)問題，再利用分離參數(shù)即可求解；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)最值即可求解.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，所以，即，即，即，即，；當時，的奇函數(shù)，滿足條件．當時，不成立，故．（2）函數(shù)的定義域為，由解得，函數(shù)存在零點，即有解，即有解，因為，所以或，即或，即實數(shù)的取值范圍是或.（3）若不等式在上恒成立，即在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)最大值是.題型六:空間向量與立體幾何1．（2023·上海·高三專題練習）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．【答案】【分析】設(shè)，，,利用向量的坐標運算求出，進而求出，借助向量模的運算及，整理可得，進而得解.【詳解】由題意可設(shè)，，,由，得，，，所以（當且僅當，時等號成立），所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查的是空間向量的坐標運算和空間向量模長的坐標表示，意在考查學生的計算能力，屬于中檔題.求向量的模的方法：（1）利用坐標進行求解，，則；（2）利用性質(zhì)進行求解，，結(jié)合向量數(shù)量積進行求解.題型七：解析幾何一、單選題1．（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知為拋物線的焦點，、是拋物線上的不同兩點，則下列條件中與“、、三點共線”等價的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，將韋達定理逐一代入各選項中的等式，求出的值，進而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，.拋物線的焦點的坐標為，若、、三點共線，則.對于A選項，，解得；對于B選項，，解得；對于C選項，，整理得，即，解得；對于D選項，，整理得，解得或.故選：B.【點睛】本題考查焦點弦性質(zhì)相關(guān)的判斷，涉及韋達定理的應用，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題2．（2020·上海靜安·高三階段練習）一個水平放置的等軸雙曲線型的拱橋橋洞如圖所示，已知當前拱橋的最高點離水面5米時，量得水面寬度米，則當水面升高1米后，水面寬度為_________.米(精確到0.1米)【答案】26.5【分析】建立坐標系，設(shè)出雙曲線的方程，由點在雙曲線上，可求得，再代入點可求得水面的寬.【詳解】以雙曲線的實軸為y軸，雙曲線的對稱中心為原點建立平面直角坐標系，設(shè)等軸雙曲線的方程為，則點在雙曲線上，所以解得，所以雙曲線的方程為，點，當水面上升1米后，即點的縱坐標為，代入到雙曲線方程中得，所以水面寬度為，故答案為：26.5.【點睛】本題考查雙曲線的實際應用，關(guān)鍵在于建立合適的平面坐標系，設(shè)出雙曲線的方程，已知的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點的坐標求解，屬于中檔題.3．（2022·上海寶山·一模）在平面直角坐標系中，已知圓，點是直線上的一個動點，直線分別切圓于兩點，則線段長的取值范圍為______．【答案】【分析】設(shè)，利用點到直線距離公式可知，將長表示為關(guān)于的函數(shù)，求得函數(shù)值域即為所求范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，設(shè)，則，為圓的切線，，，，是的垂直平分線，，，，，即線段長的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的綜合應用問題，涉及到圓的切線的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用函數(shù)求值域的方法求得結(jié)果.三、解答題4．（2016·上海·高三階段練習）已知橢圓；（1）若該橢圓的焦點為?，點是該橢圓上一點，且為直角，求點坐標；（2）若橢圓方程同時滿足條件，則由此能否確定關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式?若能，請寫出的解析式，并寫出該函數(shù)的定義域?值域?奇偶性?單調(diào)性，只需寫出結(jié)論；若不能，請寫出理由.【答案】（1），，，（2）答案見解析【分析】（1）設(shè)，由為直角，可得，與聯(lián)立解得，即得點P的坐標；（2）由題得，再寫出函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性得解.【詳解】（1）橢圓，，設(shè)，為直角，，，，即，與聯(lián)立解得．所以點P的坐標為，，，.（2）能確定關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.由