2022-2023學(xué)年福建省連城縣高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省連城縣高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.【詳解】由得，故選：B2．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．3 B．7 C．6 D．1【答案】D【解析】求出即可求出物體在時(shí)的瞬時(shí)速度.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解.本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3．函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.4．設(shè)x，，向量，，且，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)，，解得x，y，然后由空間向量的模公式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且由得，由，得解得，所以向量，，所以，所以故選：C5．函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)樵谡麄€(gè)實(shí)數(shù)集上恒成立，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是.故選：C6．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，判斷奇偶性，并結(jié)合特殊值驗(yàn)證，即可判斷出答案.【詳解】由可知，則，即為奇函數(shù)，故A，D錯(cuò)誤；又，故C錯(cuò)誤，B正確，故選：B7．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意都有成立，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷，由此即可求的答案.【詳解】解：令，則對任意都有成立，即在上單調(diào)遞增又，即故選：C8．若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式可化為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性化簡不等式可得，由已知，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，可得的取值范圍.【詳解】不等式，可化為，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，而，因?yàn)?，所以，由已知恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞減；當(dāng)時(shí)，即遞增；∴，故只需，即．又，所以的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?二、多選題9．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．的中點(diǎn)坐標(biāo)為B．點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為C．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)關(guān)于面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷A正確；結(jié)合空間點(diǎn)對稱特點(diǎn)依次判斷BCD的正確性即可【詳解】利用中點(diǎn)公式可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，A對；點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，B錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，C對；點(diǎn)關(guān)于面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，D對；故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查空間中中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，空間中對稱點(diǎn)的判斷，可熟記以下結(jié)論：（1）若空間中的點(diǎn)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）若空間中的點(diǎn)為，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）若空間中的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（4）若空間中的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為10．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)則的值可以為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出的范圍，得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)則與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即解得故滿足條件的有故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)（

）A．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) B．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)【答案】BC【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖象結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷.【詳解】作出函數(shù)和的圖象，如圖，因?yàn)?，則，由零點(diǎn)存在性定理可知：在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)有零點(diǎn)，故選：BC.12．設(shè)為定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若恒成立，則B．若，，則不等式的解集為C．若是奇函數(shù)且滿足，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是D．若，，則在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】對于A，，有題目條件知在上單調(diào)遞增，∴，∴，即可判斷A；對于B，令，對求導(dǎo)結(jié)合題目易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，又，即可判斷B.對于C，設(shè)，對求導(dǎo)結(jié)合題目易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，可得函數(shù)的解集為，即可判斷C.對于D，，設(shè)，結(jié)合題目條件可知∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即可判斷D.【詳解】，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，故A正確．等價(jià)于，即，令，則．∵，即，且，∴，故函數(shù)在R上單調(diào)遞減，又，故的解集是，故B錯(cuò)誤．設(shè)，則．∵當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴為奇函數(shù)，∴也為奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴，∴函數(shù)的解集為．又等價(jià)于，∴的解集為，故C正確．由題意得，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為_________.【答案】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則，所以切線方程為，即.故答案為：14．如圖，在長方體中，P是線段上一點(diǎn)，且，若，則___________．【答案】/．【分析】用基底表示后可得．【詳解】由已知，所以，．故答案為：．15．已知函數(shù)則滿足的取值范圍是_________【答案】【分析】利用的單調(diào)性解不等式【詳解】，而，，均在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可化為，解得故答案為：16．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】求出，分，，討論的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由，，得，（1）當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，（2）當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，于是，①若，即時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，于是，②若，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?四、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求的距離；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的模長公式計(jì)算即可；（2）利用向量夾角運(yùn)算公式計(jì)算的值；【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，．，∴∴．所以的距離為.（2）依題意得，，，，∴，，，，，∴．18．設(shè)函數(shù)．(1)求的增區(qū)間；(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)、(2)【分析】（1）解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，依?jù)題意可知，令得或，所以，的增區(qū)間為，.（2）解：令，得（舍），，列表如下：x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，，對任意的，恒成立，則.19．設(shè)函數(shù)(1)求的極值．(2)證明：，．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義求函數(shù)的極值；（2）要證明，，只需證明，故考慮設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可完成證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)榱畹没?舍去)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，函數(shù)無極小值．（2）要證明，，只需證明，，令，則，令得或(舍去)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減∴，即.20．某學(xué)校高二年級一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會實(shí)踐活動(dòng)，決定對某“著名品牌”系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤最大.【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據(jù)利潤計(jì)算式得出具體表達(dá)式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時(shí)函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤最大.點(diǎn)睛：考查函數(shù)的表示，導(dǎo)函數(shù)最值的應(yīng)用，正確理解題意，寫出具體表達(dá)式，然后借助導(dǎo)數(shù)分析思維求解是解題關(guān)鍵，做此類題要有耐心，認(rèn)真審題，讀懂題意，屬于中檔題.21．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程得到，令，用導(dǎo)數(shù)法證明即可；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，令，轉(zhuǎn)化為，再利用數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?又∵，，∴該切線方程為，即.設(shè)，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增.又∵，∴，即在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，.令，則，∴，∴，化簡得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是利用數(shù)列的知識，根據(jù)（1）的結(jié)論，構(gòu)造而得解.22．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明：對，恒成立．（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】（1）；證明見解析；（2）只有一個(gè)零點(diǎn)；答案見解析．【分析】（1）利用切線方程求出；把原不等式轉(zhuǎn)化為只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，即可證明；（2）先設(shè)出，，根據(jù)函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)，研究出函數(shù)在上無零點(diǎn)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即證.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為此時(shí)若要證明，對，恒成立，需證明故需證明，則令，；；函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；故有當(dāng)，，即對，