函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

第二課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用角度3抽象函數(shù)奇偶性的判斷例2、(1)已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對于任意實數(shù)a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)已知函數(shù)f(x)，x∈R，若對于任意實數(shù)x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，求證：f(x)為偶函數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)的定義域為(－l，l)(l>0)，證明：f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)，f(x)－f(－x)是奇函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的四種方法：(1)定義法：(2)圖像法：(3)驗證法：求出函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時，利用奇偶性所滿足式子的等價形式，即判斷(4)性質(zhì)法：利用奇、偶函數(shù)的和、差、積、商的奇偶性，以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性判斷.題型二奇、偶函數(shù)的圖像特征例3

(1)如圖給出了奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖像，則 f(－2)的值為(

)(2)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，當(dāng)x∈[0，5]時，函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則使函數(shù)值y＜0的解集為(

)(1)先判斷函數(shù)的奇偶性；(2)利用函數(shù)的奇偶性作圖，其依據(jù)是奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.題型三利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)(值)例4、(1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法 (1)此類問題應(yīng)充分運用奇(偶)函數(shù)的定義，構(gòu)造函數(shù)，從而使問題得到快速解決. (2)在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，若解析式中僅含有x的奇次項，則函數(shù)為奇函數(shù)；若解析式中僅含有x的偶次項，則函數(shù)為偶函數(shù)，常利用此結(jié)論構(gòu)造函數(shù). (3)利用奇偶性求參數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)x∈R，等式恒成立的特征求參數(shù).題型一利用奇偶性求函數(shù)解析式角度1求對稱區(qū)間上的解析式【例1－1】

(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時，f(x)＝________.x(x＋1)(2)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝________.角度2構(gòu)造方程組求解析式角度1利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小【例2－1】若對于任意實數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(

)題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用B比較大小的方法：①自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；②自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.角度2利用奇偶性、單調(diào)性解不等式【例2－2】

(1)設(shè)定義在[－3，3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)g(x)，當(dāng)x≥0時，g(x)為減函數(shù)，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范圍.利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，列出不等式(組)，同時不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.【例3】

(1)求證：二次函數(shù)f(x)＝－x2－2x＋1的圖像關(guān)于x＝－1對稱.題型三奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用(2)若偶函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，且f(3)＝3，則f(－1)＝________.3(1)要證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x＝h對稱，只需證明對定義域內(nèi)的任意x，滿足f(h－x