2020北京各區(qū)中考一模分類匯編-11新定義（答案含解析）

專題11新定義

一.解答題(共15小題)

1.(2020?豐臺區(qū)一模)如果一個圓上所有的點都在一個角的內(nèi)部或邊上，那么稱這個圓為該角的角內(nèi)圓.特

別地，當這個圓與角的至少一邊相切時，稱這個圓為該角的角內(nèi)相切圓.在平面直角坐標系中，點E,

戶分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.

(1)分別以點A(1,O),C(3,2)為圓心，1為半徑作圓，得到A,8和C,其中是NEQF的角

內(nèi)圓的是;

(2)如果以點O(f,2)為圓心，以1為半徑的。為NEO尸的角內(nèi)圓，且與直線y=x有公共點，求f的取值

范圍；

(3)點M在第一象限內(nèi)，如果存在一個半徑為1且過點P(2,26)的圓為NEMO的角內(nèi)相切圓，直接寫

出NEOM的取值范圍.

【分析】(1)畫出圖象，根據(jù)角內(nèi)相切圓的定義判斷即可.

(2)求出兩種特殊位置時f的值即可判斷.

(3)如圖3中，連接OP,OM.首先求出NPOE,根據(jù)圖象可知當射線OM在NPOF的內(nèi)部(包括射線

OP,不包括射線OF)時，存在一個半徑為1且過點P(2,26)的圓為NEMO的角內(nèi)相切圓.

【解答】解：(1)如圖1中，觀察圖象可知，B和C,其中是ZEO尸的角內(nèi)圓.

圖1

故答案為：B,C.

(2)解：如圖,

當A與y軸相切時，設(shè)切點為M,則MR=1,可得4=1.

當2與y=x相切時，設(shè)切點為“，連接HR，設(shè)直線y=x與直線y=2交于點K,則A//K2，AMOK

都是等腰直角三角形，

KH=HD[=\,

KD2=>/2,

OM=MK=2,

MD2=MK+KD2=2+42

可得=2+夜，

觀察圖象可知，滿足條件的,的取值范圍是啜I2+及.

(3)如圖3中，連接OP,OM.

圖3

P(2,2我,

/.tanZ.POE=-----=\f3,

2

NPOE=60°,

觀察圖象可知當射線OM在NPO尸的內(nèi)部（包括射線OP,不包括射線OF）時，存在一個半徑為1且過點PQ,

26）的圓為NEMO的角內(nèi)相切圓，

60°?ZEOM<90°.

2.（2020?燕山一模）在平面直角坐標系x0y中，過T（半徑為r）外一點P引它的一條切線，切點為Q,

若0<PQ,2廠，則稱點尸為7的伴隨點.

（1）當。的半徑為1時，

①在點A（4,0）,8（0,石），C（l,后）中，。的伴隨點是；

②點。在直線y=x+3上，且點。是。的伴隨點，求點。的橫坐標”的取值范圍；

（2）〃的圓心為知（見0）,半徑為2,直線y=2x-2與x軸，），軸分別交于點E,F.若線段所上的

所有點都是M的伴隨點，直接寫出〃，的取值范圍.

1-

0~\

【分析】（1）①畫出圖形，求出切線長，根據(jù)O的伴隨點的定義判斷即可.

②如圖2中，設(shè)點。的坐標為（d,d+3）,構(gòu)建方程求出兩種特殊位置時點。的坐標即可解決問題.

（2）求出幾種特殊位置時機的值即可判斷.①如圖3-1中，設(shè)E7＞是M的切線，當fT=4時，線段EF

上的所有點都是“的伴隨點.②如圖3-2中，設(shè)ET是M的切線，連接MT,則NM7E=90。.③如圖

3-3中，當M在直線E尸的左側(cè)與￡尸相切時，設(shè)切點為T,連接分別求出根的值，結(jié)合圖形即可

得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①如圖1中，

圖1

A（4,0）,8（0,后），C（l,百），

切線4G的長=在二1r=岳＞2,

切線BN的長=7^二1=2,

切線。0的長=6<2,

:.點B,C是，O的伴隨點,

故答案為：B,C.

②如圖2中，設(shè)點。的坐標為+3),

圖2

當過點。的切線長為2r=2時,

O￡>=712+22=75,

:.d2+3+3)2=5,

解得4=—2,d.,=—\.

結(jié)合圖象可知，點。的橫坐標d的取值范圍是-2都/-1.

(2)由題意E(1,O),尸(0,-2).

①如圖3-1中，設(shè)燈是M的切線，肖口=4時，線段EF上的所有點都是M的伴隨點，此時機=4.

②如圖3-2中，設(shè)夕是M的切線，連接用T,則NM7E=90。

圖3-2

當￡7=4時，EM=-jMT2+ET2=722+42=2^,此時機=1-2遙

③如圖3-3中，當M在直線E尸的左側(cè)與E尸相切時，設(shè)切點為T,連接VT.

圖3-3

￡(1,0),F(0-2),

:.OE=\,OF=2,

.-.EF=^22+]2=y[5,

E廠是切線，

/.EF_LMT,

.\ZMTE=ZEOF=90°,

.ZMET=ZFEO,

^MTEs^FOE,

EMMT

/.---=----,

EFOF

EM_2

:飛F

EM=有,

此時m=l->/5,

結(jié)合圖象可知，當百時，線段EF上的所有點都是M的伴隨點，

綜上所述，機的取值范圍是1-26,“<1-石，或3<，%,4.

3.(2020?海淀區(qū)一模)A,8是C上的兩個點，點P在C的內(nèi)部.若NAPB為直角，貝I]稱ZAP8為A8

關(guān)于C的內(nèi)直角，特別地，當圓心C在/4尸8邊(含頂點)上時，稱NAPB為AB關(guān)于C的最佳內(nèi)直角.如

圖1,是AB關(guān)于C的內(nèi)直角，Z4A?是A8關(guān)于C的最佳內(nèi)直角.在平面直角坐標系X。)，中.

(1)如圖2,。的半徑為5,A(O,-5),B(4,3)是。上兩點.

①已知[(1,0),鳥(0,3),月(-2,1),在NAqB,ZAP2B,AAP}B,中，是A3關(guān)于O的內(nèi)直角的是；

②若在直線y=2x+b上存在一點P,使得NAPB是A8關(guān)于。的內(nèi)直角，求匕的取值范圍.

(2)點E是以T(f,0)為圓心，4為半徑的圓上一個動點，7與x軸交于點。(點。在點T的右邊).現(xiàn)有

點M(1,O),N(0,“)，對于線段MN上每一點H,都存在點T,使NDHE是OE關(guān)于7的最佳內(nèi)直角，請

直接寫出n的最大值，以及“取得最大值時t的取值范圍.

圖1圖2備用圖1

備用圖2

【分析】(1)判斷點1，P2,G是否在以A8為直徑的圓弧上即可得出答案;

(2)求得直線A8的解析式，當直線y=2x+8與弧AB相切時為臨界情況，證明AOAa/./1。，可求出此

時b=5,則答案可求出;

(3)可知線段MN上任意一點(不包含點M)都必須在以775為直徑的圓上，該圓的半徑為2,則當點N在

該圓的最高點時，”有最大值2,再分點”不勺點M重合，點M與點”重合兩種情況求出臨界位置時的f值

即可得解.

【解答】解：(1)如圖I,

弋i734「『

圖1

6(1,0),A(0,—5)，8(4,3),

AB=54-+8-=4x/5,PXA=Jl?+5,=126,F^B=RW+3?=3\/2,

二.《不在以AB為直徑的圓弧上，

故不是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

鳥(0,3),A(0,-5),3(4,3),

:.P2A=S,A8=4石，P2B=4,

2

6A2+P2B=AB',

:.ZAP2B=90°,

ZAR.B是AB關(guān)于O的內(nèi)直角，

2

同理可得，PyB-+P^=AB,

.?.N4￡3是AB關(guān)于。的內(nèi)直角，

故答案為：ZAP2B,

(2)NAP8是A8關(guān)于O的內(nèi)直角，

:.ZAPB=90°,且點P在。的內(nèi)部,

.??滿足條件的點尸形成的圖形為如圖2中的半圓H(點A,8均不能取到),

過點3作軸于點Q,

4(0,-5),8(4,3),

.?.30=4,AO=8,

并可求出直線A8的解析式為y=2x-5,

當直線y=2x+b過直徑時，匕=一5,

連接05,作宜線交半圓于點E,過點E作宜線￡73/48,交y軸于點產(chǎn)，

OA=OB,AH=BH,

EH1ABf

:.EH±EFf

二.EF是半圓”的切線.

ZOAH=ZOAH,ZOHB=ZBDA=90°,

:.\OAH^\BAD,

.OHBD_4_1

…7/78-2'

:.OH=-AH=-EH,

22

:.OH=EO,

ZEOF=ZAOH,ZFEO=ZAHO=90°,

:.\EOF^\HOA{ASA),

：.OF=OA=5,

EF//AB,直線AB的解析式為y=2x—5,

??.直線族的解析式為y=2x+5,此時〃=5,

b的取值范圍是-5＜瓦,5.

(3)?.?對于線段MN上每一個點H,都存在點T,使NDHE是DE關(guān)于7的最佳內(nèi)直角，

.?.點T一定在NZWE的邊上，

77)=4,NDHT=90°,線段上任意一點(不包含點M)都必須在以7?為直徑的圓上，該圓的半徑為

2,

當點N在該圓的最高點時，”有最大值，

即n的最大值為2.

分兩種情況：

①若點”不與點M重合，那么點r必須在邊"E上，此時ND”T=90。，

.?.點”在以QT為直徑的圓匕

如圖3,當.G與MN相切時，GH工MN,

OM=],ON=2,

：.MN=-JON2+OM2=石，

?.NGMH=ZOMN,NGHM=NNOM,ON=GH=2,

\GHM三ANOM(ASA),

：.MN=GM=亞,

.-.OG=y[5-1,

OT=j5+\,

當T與M重合時，f=l,

此時f的取值范圍是-石-L,t<l,

②若點H與點M重合時，臨界位置有兩個，一個是當點7與M重合時，r=l,另一個是當?shù)?=4時，/=5,

此時》的取值范圍是L,「<5,

綜合以上可得，f的取值范圍是-6-L,f<5.

4.(2020?平谷區(qū)一模)在A48M中，ZABM=90°,以AB為一邊向A48M的異側(cè)作正方形A8CO,以4為

圓心，AM為半徑作A,我們稱正方形A38為A的“關(guān)于AABM的友好正方形”，如果正方形A3C￡>恰

好落在A的內(nèi)部(或圓上)，我們稱正方形A88為4的“關(guān)于A48用的絕對友好正方形”，

例如，圖1中正方形AfiC￡>是A的“關(guān)于的友好正方形”.

(1)圖2中，A48W中，BA=BM,=90。，在圖中畫出A的“關(guān)于A48M的友好正方形A8CZ)

(2)若點A在反比例函數(shù)y=V(A>0,x>0)上，它的橫坐標是2,過點A作A8_Ly軸于8,若正方形A8CD

X

為A的“關(guān)于AABO的絕對友好正方形”，求k的取值范圍.

(3)若點A是直線y=-x+2上的一個動點，過點A作AB_Ly軸于B,若正方形ABCD為A的“關(guān)于AABO

的絕對友好正方形”，求出點A的橫坐標"的取值范圍.

【分析】(1)BA=BM,ZABM=90°,則圓的半徑AM=0AB=AC,故點C在圓上，即可求解;

(2)分a=2、a>2、a<2三種情況，分別探究即可求解；

(3)分加=1、0<>72<1xm=0>m<Q>五種情況，通過閩圖探究即可求解.

【解答】(1)-BA=BM,ZABM=90°,

.?.圓的半徑AM=0AB=4C,故點C在圓上，補全圖形如圖1,

(2)設(shè)A(2,a),

當a=2時，正方形ABC。的頂點C恰好落在A上（如圖2）；

當a>2時，正方形A8CQ的頂點均落在A內(nèi)部（如圖3）；

當a<2時，正方形48a（的頂點C落在4外部（如圖4）；

k

一.?反比例函數(shù)y=-（%>0,x>0）過點A（2,a）,

.,.當a.2時,則.4,

??M的取值范圍為：k.A；

圖2圖3圖4

（3）當相=1時，正方形A8CD的頂點C恰好落在A上（如圖5）；

當0＜相＜1時，正方形ABCZ）均落在A內(nèi)部（如圖6）；

當，w=0時，A48O不存在；

當機＜0時，正方形A8C￡＞均落在A內(nèi)部（如圖7）；

當m＞l時，正方形ABCD的頂點C落在A外部（如圖8）,（當力=2時AABO不存在）:

綜上分析，點A的橫坐標機的取值范圍為：0＜，%,1或，〃＜0.

5.（2020?順義區(qū)一模）已知：點P為圖形M上任意一點，點。為圖形N上任意一點，若點尸與點。之間

的距離PQ始終滿足「。＞0,則稱圖形M與圖形N相離.

(1)已知點4(1,2)、5(0,-5),C(Z-D、0(3,4).

①與直線y=3x-5相離的點是；

②若直線)，=3x+6與AABC相離，求b的取值范圍；

(2)設(shè)直線y=6x+3、直線>=-氐+3及直線y=-2圍成的圖形為W,7的半徑為1,圓心了的坐標

為“,0),直接寫出T與圖形W相離的1的取值范圍.

【分析】(1)①將A,B,C,。四個點的坐標代入直線y=3x-5計算即可判斷.

②根據(jù)直線y=3x+8經(jīng)過點A,和點C計算方的值即可得出答案.

(2)分三種情形求出經(jīng)過特殊位置的7的坐標即可得出答案.

【解答】解：⑴①；點41,2),

.,.當x=l時，3-5=-2,

二點A不在n線y-3x—5I,

同理，點C(2,-l)不在直線y=3x-5上，點8(0,-5),點0(3,4)在直線上，

與直線y=3x-5相離的點是A,C；

故答案為：A,C；

②當直線y=3x+匕過點A(l,2)時,

...3+Z?=2.

.e.Z?=—1.

當直線y=3x+6過點C(2,-l)時，

6+/?=—1.

:.b=-7.

:.b的取值范圍是可>T或I<-7.

(2)①如圖1,圖形W為AA8C,直線y=-&+3與y軸交于點A,與％軸交于點。,

令x=0,y=3,令y=0,x=6，

OA=3,OD=>/3，

ZOAD=30°,ZADO=60°,

當了位于直線AC右側(cè)，且與直線4c相切于點”，連接777，

:.TH±DH,

ZTDH=ZADO=60°t

777=1,

DT=-43，

3

OT=OD+DT=s/3+—=—,

33

.?.T(|6,0),

...當經(jīng)述時，T與圖形卬相離，

3

②如圖2,當：T位于直線y=6x+3左側(cè)，且與直線AB相切于點X,連接7W,

直線AB與1軸交于點E，

同理可得，TE=OE=6

3

T(--V3,0),

3

...當時，7與圖形卬相離,

3

③如圖3,當T位于直線AC左側(cè)，且與直線AC相切時,

同理可得">=2叵，oo=G，

3

.NRNRTTNA6

33

當T與48相切，且位于直線AB的右側(cè)時，

T{~—，0),

3

...當一且<,<更時，T與圖形印相離.

33

綜合以上可得，7與圖形W相離時f的取值范圍是：或f>亞或-3<r<3.

3333

6.(2020?東城區(qū)一模)在A43c中，CD是AA8C的中線，如果CD上的所有點都在&4BC的內(nèi)部或邊上,

則稱CD為AABC的中線弧.

(1)在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=\,3是AB的中點.

①如圖1,若NA=45。，畫出A48C的一條中線弧CO,直接寫出AA8C的中線弧C￡>所在圓的半徑，的最

小值；

②如圖2,若NA=60。，求出AABC的最長的中線弧CD的弧長/.

(2)在平面直角坐標系中，已知點A(2,2),8(4,0),C(0,0),在AABC中，。是A8的中點.求AABC的

中線弧CO所在圓的圓心尸的縱坐標f的取值范圍.

【分析】(1)①如圖1中，當直線弧CD的圓心是AC或8c的中點時，8所在圓的半徑r的最小.

②如圖2中，當中線弧C。所在的圓與AC,AB都相切時，CD的弧長最大.

(2)分兩種情形：如圖3中，若中線弧CO在線段C￡)的卜方時，如圖4中，若中線弧CO在線段C。的

上方時，分別求解即可解決問題.

【解答】解：(1)①如圖1中，當直線弧CZ)的圓心是AC或8c的中點時，C。所在圓的半徑r的最小，

圖1

Mr=-AC=-,

22

MBC的中線弧CD所在圓的半徑r的最小值為-.

2

②如圖2中，當中線弧C。所在的圓與AC,AB都相切時，C3的弧長最大,

D

圖2

此時，C。的圓心在8。上,

NDkBD,

NNDB=90。,

ZA=60°,ZACB=90°,

/.ZB=30°,

/.BN=2DN=2CN，

；.3CN=BC=6,

???半徑喈.

(2)如圖3中，若中線弧C￡)在線段CD的下方時,

AABC的中線弧C。所在的圓的圓心在線段CO使得垂直平分線上,

當中線弧CO所在圓與BC相切時，可得P(0,5),

觀察圖象可知中線弧CO所在圓的圓心P的縱坐標f..5.

如圖4中，若中線弧C。在線段C。的匕方時，

當中線弧CD所在圓與AC相切時，可得吟告,

觀察圖象可知中線弧CD所在圓的圓心P的縱坐標f”-1.

綜上所述，.中線弧8所在圓的圓心P的縱坐標f的取值范圍為：心5或&-3.

2

7.(2020?石景山區(qū)一模)在AABC中，以AB邊上的中線CO為直徑作圓，如果與邊AB有交點E(不與點

。重合)，那么稱為A48C的C-中線弧.例如，如圖中QE是AA8C的C-中線弧.在平面直角坐標系

X。)，中，已知AA8C存在C-中線弧，其中點A與坐標原點。重合，點B的坐標為(2f,0)(Z>0).

(1)當，=2時，

①在點G(—3,2),C2(0,2我,C3(2,4),C」(4,2)中，滿足條件的點C是；

②若在直線>=后然>0)上存在點尸是AA8C的C-中線弧。E所在圓的圓心，其中C￡>=4,求k的取值范

圍；

(2)若AA8C的C-中線弧QE所在圓的圓心為定點尸(2,2),直接寫出f的取值范圍.

AB

【分析】(1)①先確定出點C的橫坐標的范圍即可得出結(jié)論；

②先確定出分界點點尸，P'的坐標，即可得出結(jié)論；

(2)表示出點。的坐標，再分點E在線段AD和5。上，求出AE,利用噴2t,且即可得出

結(jié)論.

【解答】解：(1)當f=2時，點8的坐標為(4,0),

?.?點。是的中點，二0(2,0),

①如圖1,

過點C作CE_LAB于E,則NCE￡)=90。，

:.CEA.AB,

即點C和點E的橫坐標相同,

.點E是以C￡>為直徑與邊AB的交點，

，闔4￡4,

.點E與點。重合，

/.AEw2，

.??點E的橫坐標大于等于0小于等于4,且不等于2,

即點E的橫坐標大于等于。小于等于4,且不等于2,

?.?點G(-3,2),G(0，273),C3(2,4)-6(4,2),

只有點G,c4的橫坐標滿足條件，

故答案為C,1C4；

②-A48C的中線C￡>=4,

.?.點C在以點。為圓心4為直徑的弧上，

由①知，點C的橫坐標大于等于0小于等于4,且不等于2,

.?.點C在如圖2所示的CC上(點”(2,4)除外)，

.一點P是以C￡>為直徑的圓的圓心，

.?.點P在如圖2所示的PP上(點G(2,2)除外)，

在RtAOAM中，AO=2,ME>=4,

根據(jù)勾股定理得，AO=26,

C(0,2我，

同理：C'(4,2收,

.點尸是。C的中點,

???尸(1,6),

同理：點P(3,石),

當直線y=fcv過點尸(1,8)時，得女=6，

當直線y=船過點P'(3,g)時，得太=等，

當直線y="過點G(2,2)時,得出=1,

結(jié)合圖形，可得左的取值范圍是迫效k6且Awl；

3

(2)同(1)①知，點E的橫坐標大于等于0小于等于2t,且不等于，,

?.點。是A3的中點，且B(2t,0),

D(r,O),

當點E在線段AO上時，AE=t-2(t-2)=-t+4..O,

t?4,

當點E在線段BE上時，AE=2(2-t)+t?2t,

.4

??t??.,

3

4

...±領(lǐng))4且1工2.

3

8.(2020?西城區(qū)一模)對于平面直角坐標系xQy中的圖形叱和圖形W?，給出如下定義：在圖形叱上存在

兩點A,B(點A與點B可以重合)，在圖形嗎上存在兩點M,N(點M與點N可以重合)，使得AM=28N,

則稱圖形叱和圖形嗎滿足限距關(guān)系.

(1)如圖1,點C(l,0),￡>(-1,0),E(0,g),點P在線段DE上運動(點尸可以與點￡>,E重合)，連接OP,

CP.

①線段OP的最小值為—，最大值為—，線段CP的取值范圍是,

②在點。，點C中，點—與線段DE滿足限距關(guān)系；

(2)如圖2,。的半徑為1,直線y=Gx+6S>0)與x軸、y軸分別交于點F，G.若線段FG與O滿

足限距關(guān)系，求人的取值范圍；

(3)。的半徑為r(r>0),點〃，K是。上的兩點,分別以H,K為圓心，1為半徑作圓得到”和K,

若對于任意點H,K,”和K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍.

【分析】(1)①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP,C尸的最大值，最小值即可解決問題.

②根據(jù)限距關(guān)系的定義判斷即可.

(2)直線丫=屈+匕與x軸、y軸分別交于點F,G(O,b),分三種情形：①線段FG在O內(nèi)部，②線段FG

與O有交點，③線段FG與O沒有交點，分別構(gòu)建不等式求解即可.

(2)如圖3中，不妨設(shè)K,”的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)，和K都滿足限距關(guān)系，構(gòu)

建不等式求解即可.

【解答】解：(1)①如圖1中，

,0(-1,0),E(o,5,

:.OD=\,OE=>/3,

ORr-

tanZEDO=—=V3,

OD

ZEDO=60°,

當OP_LOE時，OP=ODsin600=—,此時OP的值最小，

2

當點尸與E重合時，OP的值最大，最大值為百，

當CP_LOE時，CP的值最小，最小值=CE>cos6()o=G,

當點P與?；駿重合時，PC的值最大，最大值為2,

故答案為：2,6,昌仁尸2.

2

②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點M,N,滿足O例=2CW,

故點O與線段DE滿足限距關(guān)系.

故答案為O.

(2)直線y=J5x+b與x軸、y軸分別交F點尸，G(0,6),

當0<8<1時，線段尸G在O內(nèi)部，與O無公共點，

此時O上的點到線段尸G的最小距離為1-。，最大距離為1+。，

.線段FG與O滿足限距關(guān)系，

1+/?..2(1-/?)1

解得A」，

3

的取值范圍為1,"<1.

3

當1領(lǐng)b2時,線段尸G與。有公共點，線段尸G與O滿足限距關(guān)系，

當人>2時，線段FG在。的外部，與。沒有公共點,

此時O上的點到線段FG的最小距離為Lb-l,最大距離為人+1,

2

.線段FG與O滿足限距關(guān)系，

h+\..2.^—b—1)>

而方+1..2(gb-l)總成立，

.?2>2時，線段尸G與O滿足限距關(guān)系，

綜上所述，6的取值范圍為h.!.

3

(3)如圖3中，不妨設(shè)K.H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè),

兩圓的距離的最小值為2r-2,最大值為2r+2,

?"和K都滿足限距關(guān)系，

/.2r+2..2(2r—2),

解得r,,3,

故廠的取值范圍為0<",3.

9.(2020?通州區(qū)一模)如果的兩個端點M,N分別在NAO5的兩邊上(不與點。重合)，并且"N除

端點外的所有點都在NAO8的內(nèi)部，則稱MN是ZAO8的“連角弧”.

(1)圖1中，Z4OB是直角，MN是以。為圓心，半徑為1的''連角弧”.

①圖中的長是—，并在圖中再作一條以M,N為端點、長度相同的“連角弧”；

②以M,N為端點，弧長最長的“連角弧”的長度是—.

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，點點N(f,O)在x軸正半軸上，若MN是半圓，也是NAOB

的“連角弧”求f的取值范圍.

(3)如圖3,已知點M,N分別在射線。4,OB上，ON=4,MN是NAOB的“連角弧”，且MV所在

圓的半徑為1,直接寫出NAOB的取值范圍.

【分析】(1)①利用弧長公式計算即可.如圖1-1中，作正方形OMKN,以K為圓心，KM為半徑畫弧,

交A0于交08于N,可得劣弧MN.

②作正方形OMKN,以K為圓心，KM為半徑畫弧，交AO于交OB于N,可得優(yōu)弧MV./即為最長

的弧.

(2)求出兩種特殊情形0N的長即可判斷.

(3)如圖3中，當MN為直徑，且時，NAOB的值最大，求出NAOB的最大值即可.

【解答】解：(1)①MN的長="1=工.

1802

如圖1-1中，MN即為所求.

圖1-1

②作正方形QMKN,以K為圓心，KM為半徑畫弧，交A。于M,交OB于N,可得優(yōu)弧MVJ即為最長

的弧

圖1-2

優(yōu)弧的長=%生=立

1802

故答案為乙，—.

22

(2)如圖2中,

圖2

1"(1,揚，

tanNMOB=V3,

乙MOB=60°,OM="+(揚2=2,

當時，可得。乂=1,此時r=l,

當時，可得。網(wǎng)=4,此時f=4,

觀察圖象可知滿足條件的f的值為1領(lǐng))4.

(3)如圖3中，當MN為直徑,且時，Z4O8的值最大,

:.ZAOB=30°,

觀察圖形可知滿足條件的ZAOB的值為0。＜NA08,,30°

10.(2020?延慶區(qū)一模)對于平面內(nèi)的點尸和圖形M,給出如下定義：以點尸為圓心，以r為半徑作P,

使得圖形M上的所有點都在P的內(nèi)部(或邊上)，當r最小時，稱P為圖形M的尸點控制圓，此時，P

的半徑稱為圖形M的尸點控制半徑.已知，在平面直角坐標系中，正方形。48c的位置如圖所示，其中點

3(2,2).

(1)已知點0(1,0),正方形OABC的D點控制半徑為斗，正方形OABC的4點控制半徑為r2,請比較大?。?/p>

4----2；

(2)連接OB,點尸是線段08上的點，直線/:y=75x+〃；若存在正方形OA8C的尸點控制圓與直線/有

兩個交點，求b的取值范圍.

-6-5-4-3-2-^Ql234567X

-2-

-3-

-4~

-5-

-6_

【分析】(1)根據(jù)控制半徑的定義，分別求出/;和與的值即可得解.

(2)如圖所示：。和8的半徑均等于。5,分兩種情況：①當直線/:y=?+匕與。相切于點M時，

連接OM,則OM_U,②當直線/:y=6x+b與B相切于點N時，連接8N,則8N，/；分別求得兩個

切點的坐標，進而得出b值，則可得答案.

22

【解答】解：(1)由題意得：q=BD=CD=Vl+2=,r2=AC-42。+2。=2>/2,

:.ri<r2,

故答案為：<.

(2)如圖所示：。和B的半徑均等了08,

X

2

^

3

4

5

6

當直線/:?=怎+6與O相切于點M時，連接。M,則OM，/,

則直線0M的解析式為：丫=一冬,

n

設(shè)——-x),

3

OM=OB,

二OM=卜+(-y-x)2=V22+22,

/.x2+—=8,

3

解得：x=—\[6或x=R(舍),

一旦=&,

3

:.M(-瓜,揚，

將M(—幾，&)代入丁=瓜+。得：&,=&(-扃+b,

解得：b=45/2.

當直線/:了=氐+〃與5相切于點N時，連接5N,則&V，/,

同理，設(shè)直線8N的解析式為：y=_今+/],將5(2,2)代入得:

2=--x2+/i,

3

、20

.77=2H-------,

3

直線BN的解析式為：y=-3x+2+空,

33

設(shè)N(m、—m+2+

3

BN=OB,

J(2-m)2+(2+易”一2一手)2=V22+22,

244m4o

/.4-4m+tnH---------F—=8

333

trr—4m+2=0,

/.m=2—\f6(舍)或m=2+x/6,

，一:^^+2+型=一迫(2+向+2+亞=2—0,

3333

:.NQ+瓜,2-V2),

.?.將N(2+#，2-0)代入y=6x+〃得：2-亞=6(2+遙)+6,

解得：8=2-26-4夜，

二.存在正方形。4BC的F點控制圓與直線/有兩個交點，此時b的取值范圍為：2-2G-40<6<4&.

11.(2020?房山區(qū)一模)如圖，平面上存在點P、點M與線段AB.若線段AB上存在一點Q,使得點“在

以PQ為直徑的圓上，則稱點M為點P與線段AB的共圓點.

已知點P(0,l),點A(-2,-l),點5(2,-1).

(1)在點。(0,0),C(-2,l),0(3,0)中，可以成為點P與線段AB的共圓點的是；

(2)點K為x軸上一點，若點K為點P與線段AB的共圓點，請求出點K橫坐標4的取值范圍；

(3)已知點若直線y=gx+3上存在點尸與線段AM的共圓點，請直接寫出相的取值范圍.

AQB

（分析】（1）當。與A重合時，點C在以AP為宜徑的圓上，所以可以成為點P與線段AB的共圓點的是C;

（2）由兩點的距離公式可得AP=3P=2也，分別畫以AP和8P為直徑的圓交x軸于4個點：號、勺、K：、

K4,結(jié)合圖形2可得4個點的坐標，從而得結(jié)論；

（3）先根據(jù)直線y=gx+3,當x=0和y=0計算與x軸和y軸的交點坐標，分兩種情況：M在A的左側(cè)

和右側(cè)，先計算圓E與直線y=gx+3相切時m的值，從而根據(jù)圖形可得結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1,可以成為點P與線段AB的共圓點的是C,

故答案為：C;

(2)P(O,1),點A(—2,-1),點5(2,-1).

AP=BP=7(-2-0)2+(-1-1)2=2后，

如圖2,分別以PA、P8為直徑作圓，交x軸于點&、K］、（、/，

OP=OG=\,OE//AB.

:.PE=AE=C,

:.OE=-AG=\,

2

.?1^,(-1-5/2,0),e(1一血，0),右(血一1,0),勺(1+&,0).

?.?點K為點P與線段AB的共圓點，

—1—V5級％1-yfi或>/2-掇1+>/2；

（3）分兩種情況:

①如圖3,當M在點A的左側(cè)時,。為線段AM匕一動點，以尸。為直徑的圓E與直線y=gx+3相切于點

F，連接EF,則EF工FH,

當x=O時，y=3,當y=0時，y=gx+3=0,x=-6

:.ON=3,OH=6,

33嘰絲=」,

OHFH62

設(shè)EF=a,貝ijF〃=2a,EH=氐,

OE=6—\[5a,

RtAOEP中，OP=\,EP=a,

由勾股定理得：EP2=OP2+OE2,

a2=l2+(6-V5a)2,

36+2正

解得：a(舍)或.3石；2立,

2

QG=2OE=2(6-y/5a)=-3+2710,

“4,3-2\/10；

②如圖4,當M在點A的右側(cè)時，。為線段AM上一動點，以P。為直徑的圓E與直線y=gx+3相切于點

F,連接EF,則EF1FH,

同理得QG=3+2廂，

m,.3+2\/?0,

綜上，機的取值范圍是m,3-2版或機.3+2西.

12.(2020?門頭溝區(qū)一模)對于平面直角坐標系xQy中的任意點尸(x,y),如果滿足x+y=a(x..0,a為

常數(shù))，那么我們稱這樣的點叫做“特征點”.

(1)當2黜3時,

①在點A(l,2),8(1,3),C(2.5,0)中，滿足此條件的特征點為；

②卬的圓心為WQ〃,O）,半徑為1,如果W上始終存在滿足條件的特征點，請畫出示意圖，并直接寫出機

的取值范圍；

（2）已知函數(shù)2=工+4工＞0）,請利用特征點求出該函數(shù)的最小值.

X

-2-1°23456x-2-1023456x

【分析】（1）①根據(jù)“特征點”的定義判斷即可.

②如圖2中，當叱與直線y=-x+2相切時，叱（2-0,0）,當叱與直線y=-3相切時，%（3+夜，

0）,結(jié)合圖象，W與圖中陰影部分有交點時，W上存在滿足條件的特征點.

（2）特征點的圖象是由原點向外擴大，當與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點時，*的值最?。ㄈ鐖D3

中）.

【解答】解：（1）①?，1+2=3,1+3=4,2.5+0=2.5,

又12和73,

:.A,C是特征點.

故答案為：A,C.

②如圖2中,

當叱與直線y=—x+2相切時，叱（2-及，0）,

當代與直線y=-3相切時，%（3+0,0）,

觀察圖象可知滿足條件的機取值范圍為：2-0領(lǐng)前3+啦.

（2）x>0?

.?.y=1的圖象在第一象限，這個圖象上的點的坐標為（X,），

XX

特征點滿足x+y=a（x..O,。為常數(shù)），

.-.x+-=a,特征點的圖象是由原點向外擴大，當與反比例函數(shù)的圖象第一次有交點時，x+1的值最?。ㄈ?/p>

XX

圖3中），

此時交點的坐標為（1,1）,

，Z=x+L的值最小，最小值為2.

X

13.(2020?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標系也)，中，點A(，,0),BQ+2,0),C(H,1),若射線。。上存在點P,

使得^ABP是以A8為腰的等腰三角形，就稱點P為線段AB關(guān)于射線OC的等腰點.

斗

1-

???___?____?[].

0(A)1Bx

(1)如圖，t=O,

①若〃=0,則線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的坐標是一；

②若〃<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的縱坐標小于1,求”的取值范圍；

(2)若〃=@,且射線OC上只存在一個線段A8關(guān)于射線OC的等腰點，則/的取值范圍是.

3

【分析】(1)①根據(jù)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的定義可知OP=A3=2,由此即可解決問題.

②如圖2中，當OP=AB時，作PHLx軸于求出點P的橫坐標，利用圖象法即可解決問題.

(2)如圖3-1中，作CH_Ly軸于，.分別以A,8為圓心，A8為半徑作4,8.首先證明NCOH=30。，

由射線OC上只存在一個線段A8關(guān)于射線OC的等腰點，推出射線OC與A,8只有一個交點，求出

幾種特殊位置f的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可.

【解答】解：(1)①如圖1中，由題意A(0,0),1(2,0),C(0,l),

圖1

.點P是線段AB關(guān)乎射線OC的等腰點，

：.OP=AB=2,

.-.P(0,2).

故答案為(0,2).

②如圖2中，當OP=A8時，作PH_Lx軸于”.

在RtAPOH中，PH=OC=\,OP=AB=2

OH=No產(chǎn)-PH?=-E=73,

觀察圖象可知：若〃<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點的縱坐標小于1時.，n<-^3.

(3)如圖3-1中，作a7_Ly軸于4.分別以A,8為圓心，AB為半徑作A,B.

由題意C（3，1）,

:.CH=—,OH=\,

3

/.tanZC0/7=—=—,

OH3

NCOH=30°,

當B經(jīng)過原點時，8(-2,0),此時3T,

.射線OC上只存在一個線段AB關(guān)于射線OC的等腰點，

.?.射線OC與A,8只有一個交點，觀察圖象可知當T<f,,-2時，滿足條件,

如圖3-2中，當點A在原點時，NPOB=60°,此時兩圓的交點P在射線OC上，滿足條件，此時f=0,

圖3-2

如圖3-3中，當8與OC相切于尸時.，連接BP.

.?.OC是B的切線,

...OP1.BP,

/.ZOPB=90°,

BP=2,NPOB=6。。，

473此時,=*2,

四懸~V

如圖3-4中，當4與OC相切時，同法可得04=生叵，此時，=迪

33

圖3T

觀察圖形可知，滿足條件的t的值為：速逑，

33

綜上所述，滿足條件f的值為-2或y0或逑-2〈&遞.

33

故答案為：T<%,-2或/=0或4)—2<4后.

33

14.(2020?