2021-2022學年南京高一上數(shù)學期中試卷及答案

南京一中2021-2022學年第一學期期中考試試卷

高一數(shù)學

一、單項選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上

1.全稱命題“VxeR,f+2x+320”的否定是（）.

A.VxeR.x2+2JC+3<0B.VxgR,x2+2x+3>0

C.3xeR,x2+2x+3<0D.BxeR,x2+2x+3<0

2,已知幕函數(shù)y=f(x)的圖象過點(3,⑹，貝lJ〃81)=()

A.3B,-C.9D.-

39

3.函數(shù)外力=誓1的定義域為（）

A.{x|x>—3}B.1x|x>-31C.{x|x之一3_fixwl}D.{X|X>-3HX^1}

4.下列各組函數(shù)不是同一組函數(shù)的是（

A-7(x)="g(x)=[：

x>0B./(x)=2x,g(x)="P"

X[―1,x<0

C.y(x)=2d+l,g(f)=2/+lD.〃x)=x,g(x)='V?

5.我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的圖象來琢磨函數(shù)的圖

象的特征.則函數(shù)=*的圖象大致為（）.

\x\

6.下列說法中，正確的是（）.

A.若c>d,］）PJac>bd8.若二<與，則〃<8

c-c-

C.若ac>be,]0lja>bD.a>bfc>d,貝!|a—c>Z?—d

7.航天之父、俄羅斯科學家齊奧科夫斯基（K.ETsiolkovsky）于1903年給出火箭最大速度的計算公式

v=V；lnfl+—Y其中，匕是燃料相對于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，町,是火箭（除去燃

料）的質(zhì)量，u是火箭將燃料噴射完之后達到的速度.已知匕=2km/s,則當火箭的最大速度u可達

至打Okm/s時，火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的（）倍.

A.e5D.e6-l

8.已知函數(shù)f（x）=x?R）的值域為［0,+oo）,若關(guān)于x的不等式/（x）＜c的解集為

（〃?,機+2?。?，則實數(shù)c的值是（）.

A.3B.5C.9D.12

二、多項選擇題：（本大題共3小題,每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）.

A.若定義在R上的函數(shù)"X）滿足"3）＞"2）,則函數(shù)“可是R上的增函數(shù)

B.若定義在R上的函數(shù)“力滿足/（3）＞"2）,則函數(shù)/（x）是R上不是減函數(shù)

C.若定義在R上的函數(shù)〃x）在上是增函數(shù)，在區(qū)間［0,內(nèi)）上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R

上是增函數(shù)

D.若定義在R上的函數(shù)“X）在（-oo,0］上是增函數(shù)，在區(qū)間（0,內(nèi)）上也是增函數(shù)，則函數(shù)/（X）在R

上是增函數(shù)

10.若函數(shù)同時滿足：⑴對于定義域內(nèi)的任意x,有f（x）+/（-x）=O；⑵對于定義域內(nèi)的任意為多，當

時，有‘㈤一"）＜0,則稱函數(shù)為“理想函數(shù)給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”

的是（）.

A./（x）=x2B./（x）=-x3C.f\x）=x--D.=［'''J：

XIX,X＜I

11.下列函數(shù)中最小值為2的是（）.

i—5---i4

=

A.y=x+—B.y=\[x+-j=C.y—\Jx~+34-]2=D.yx-\---->-2)

x

12.已知關(guān)于x的不等式a?+法+。>0的解集為｛%[2<XV3｝,則下列說法正確的是()

A.a>0B.a+b+c<0

C.不等式c￡一區(qū)+〃<0的解集為卜|x<—g或工>一；｝

D.3的最小值為6

a+b

三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上

13.已知/(2X+1)=X2-2X,則/(9)=.

14.若2"=5"=10,則」+，=.

ah

15.已知關(guān)于x的方程x2-fct+Z+3=0的兩個不相等的實數(shù)根都大于2,則k的取值范圍

是,

-2

-x—ax—6,x<1

16.已知/(%)=<a是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.

x>1

、x

三、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上

17.(本小題滿分10分)

求值：⑴源+*+(;)+(獷；

(2)log,54-log32+log23-log34.

18.(本小題滿分12分)

已知集合A={x|2V6},B={x|1<x<5},C={x|/n<x</n+1),(7=R：

(1)求AU8，(Q,A)HB；

(2)若CUB,求利的取值范圍.

19.(本小題滿分12分)

已知命題0：實數(shù)x滿足不等式(x-a)(x-*)<0(a>0),命題4：實數(shù)x滿足不等式卜-5|<3.

(1)當。=1時，命題p,q均為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；

⑵若p是4的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

20.(本小題滿分12分)

隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，醫(yī)療消費需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，

醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進

技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另

2x2+80%,0<x<40

投入成本G(x)萬元，且G(x)=3600由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品的售價為200

201X+------2100,40cxs80

、x

萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.

⑴寫出年利潤W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入-成本)：

⑵當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤時多少？

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=(x+'x+a)為偶函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值；

⑵判斷了(x)的單調(diào)性，并證明你的判斷;

⑶是否存在實數(shù)人使得當/(x)的定義域為(“>0,”>0)時，函數(shù)/(x)的值域恰為

_mn_

[2-Am,2-An].若存在，求出入的取值范圍；若不存在說明理由.

22.(本小題滿分12分)

若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)的任意值為，在其定義域內(nèi)都存在唯一的々，使=1成立，則

稱函數(shù)y=/(x)為“依賴函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)y=1(x>0),g(x)=d+1(xeR)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；

X

⑵若函數(shù)/(幻二3/-x+；在定義域[加,〃](m,neNt,且機>1)上為"依賴函數(shù)”求m+〃的值；

⑶己知函數(shù)〃x)=(x-a)2,(”<g)在定義域g，4上為“依賴函數(shù)”.若存在實數(shù)xe1,4，使

得對任意的fe1,2,不等式+8都成立，求實數(shù)s的取值范圍.

南京一中2021-2022學年第一學期期中考試試卷

高一數(shù)學

一、單項選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上

1.全稱命題“TxeR,x2+2x+320”的否定是().

A.VxeR,x2+2x+3<0B.VxgR,x2+2x+3>0

C.3%eR,x2+2x+3<0D,3xeR,x2+2x+3<0

【答案】D；

【解析】命題，，VxeR,x2+2x+3>0/，的否定是大eR,d+2x+3<0,故選D.

2.已知事函數(shù)y=〃x)的圖象過點(3,6)，貝IJ〃81)=()

A.3B.-C.9D.-

39

【答案】C；

【解析】依題意可得/(x)=1

所以"81)=9

故選C.

3.函數(shù)/'(x)=左1的定義域為()

A.{x|x>-3}B.{x|x>-3}C.{X之-3且xwl}D.{x|工>-3且xwl}

【答案】C；

x+3>0

【解析】依題可得所以定義域為{x|xN-3且加1},故選C.

x-1^0

4.下列各組函數(shù)不是同一組函數(shù)的是().

,、3/、11,尤>0

A.〃x)=%g(上B.f(x)=2x,g(x)=y/4x^

x[―hX<U

c.〃x)=2/+l,g(f)=2產(chǎn)+1D./(x)=x,g(x)=V?

【答案】B；

【解析】B選項兩函數(shù)對應(yīng)法則不同，故選B.

5.我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的圖象來琢磨函數(shù)的圖

r2_1

象的特征.則函數(shù)的圖象大致為（).

rl

【解析】依題可得〃-x）=〃x）,為偶函數(shù)，又因為x>0時f（x）=x-L函數(shù)單調(diào)遞增，故選D.

X

6.下列說法中，正確的是（）.

A.若a>b,c>d,則B.若二<4,貝!Ia<b

cc

C.若ac>be,則a>bD.a>h,c>d,則a-c>Z?-d

【答案】B；

【解析】A選項沒考慮正負情況，C選項沒考慮c<0,D選項差值大小不確定，故選B.

7.航天之父、俄羅斯科學家齊奧科夫斯基（K.ETsiolkovsky）于1903年給出火箭最大速度的計算公式

v=%ln（l+竺］.其中，匕是燃料相對于火箭的噴射速度，M是燃料的質(zhì)量，也是火箭（除去燃

ImJ

料?）的質(zhì)量，v是火箭將燃料噴射完之后達到的速度.已知％=2km/s,則當火箭的最大速度v可達

至!110km/s時，火箭的總質(zhì)量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的（）倍.

A.e5B.e5-IC.e6D.e6-l

【答案】A；

【解析】依題可得竺=e'-l,

所以火箭的總質(zhì)量（含燃料）是火箭（除去燃料）的質(zhì)量的曳土國=l+"=e'倍，故選A.

"%叫

8.已知函數(shù)/?（"=*2+如+/。/€1｛）的值域為［0,+00）,若關(guān)于X的不等式〃x）<c的解集為

（見“7+26），則實數(shù)C的值是（）.

A.3B.5C.9D.12

【答案】A；

【解析】依題可得外力=卜-公碼）所以c=〃m）=3

故選A.

二、多項選擇題：（本大題共3小題,每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）.

A.若定義在R上的函數(shù)“X）滿足〃3）>/（2）,則函數(shù)〃x）是R上的增函數(shù)

B.若定義在R上的函數(shù)〃尤）滿足〃3）>〃2）,則函數(shù)f（x）是R上不是減函數(shù)

C,若定義在R上的函數(shù)〃無）在（-oo,0］上是增函數(shù)，在區(qū)間［0,+oo）上也是增函數(shù)，則函數(shù)“X）在R

上是增函數(shù)

D.若定義在R上的函數(shù)“X）在（-8,0］上是增函數(shù)，在區(qū)間（0,+oo）上也是增函數(shù)，則函數(shù)在R

上是增函數(shù)

【答案】BC；

【解析】AD選項，函數(shù)不一定單調(diào)增，故選BC.

10.若函數(shù)同時滿足：⑴對于定義域內(nèi)的任意X,有/（力+/（-月=0：出對于定義域內(nèi)的任意知毛，當

片二修時，有則稱函數(shù)/（可為“理想函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”

%一%

的是（）.

23

A.f（x）=xB.f（x）=-xC./（JC）=%--D.〃x）=［

x［x,x<0

【答案】BD；

【解析】依題可得"理想函數(shù)"為單調(diào)遞減的奇函數(shù)，A為偶函數(shù)，C在（0,+8）上增，故選BD.

11.下列函數(shù)中最小值為2的是（）.

A.y=xB.y=>/x+-j=C.y=y/x2+3+.'=D.y=xd———（x>-2）

xJxVx2+3x+2

【答案】BD；

【解析】A選項，無最小值；C選項，最小值為戶0時取得，故選BD.

12.已知關(guān)于x的不等式以2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},則下列說法正確的是（）

A.a>0B.a+〃+cvO

C.不等式以*一云+〃<0的解集為卜|工<一；或

r24-4

D.的最小值為6

a+b

【答案】BCD；

【解析】令/（力=芯+6x+c

A選項，開口應(yīng)向下，錯誤;

B選項，f(])=a+b+c<0,正確;

所以cx2-bx+a<0的解集為卜|x<-；或x>-Y,正確;

C選項,

36fl2+4>

D選項，￡i1l==_9a+r_l|>61當且僅當〃=一工時取等，正確，故選BCD

a+b-4a\aJ3

三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上

13.已知/（2x+l）=/-2x,則/（9）=.

【答案】8；

【解析】令x=4可得"9）=8.

14.若2“=5%=10,貝+1=.

ab

【答案】1;

【解析】依題可得a=log210,匕=logs10,所以，+：=lg2+lg5=l.

ab

15.已知關(guān)于x的方程V-依+%+3=0的兩個不相等的實數(shù)根都大于2,則北的取值范圍

是___________

【答案】6<k<7；

A>0

k

【解析】依題可得〈一>2,解得6〈&<7.

2

4-2%+攵+3>0

-x1-ax-6,x<\

16.已知f(x)=.a是R上的增函數(shù)，則〃的取值范圍是_____________

—x>\

X

【答案】*—

-->1

2-

【解析】依題可得a<0,解得—<6Z<—2.

2

-a-1<a

三、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上

17.(本小題滿分10分)

求值:⑴病+?+(；)+弓)\

(2)log354-log32+log23-log34.

【答案】⑴y；⑵5；

【解析】(1)原式=2+4+1+之=口；

22

(2)原式=log327+logz4=3+2=5.

18.(本小題滿分12分)

已知集合A={x|24x46},B={x|l<x<5},C={x\m<x<m+\],U=R：

(1)求AUB,(Q.A)n?;

(2)若CUB,求機的取值范圍.

【答案】⑴AUB={x|l<x<6}；?4案8=(1,2)；(2)l<m<4.

【解析】⑴A|JB={x|l<x<6},

[A=(-oo,2)U(6,+8),(Q,A)nB=(l,2)；

(2)因為C*0

所以[E",解得14於4.

[zn4-1<5

19.(本小題滿分12分)

已知命題0：實數(shù)x滿足不等式(x-a)(x-3a)<0(a>0),命題q：實數(shù)x滿足不等式|x-5|<3.

⑴當。=1時，命題p,q均為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；

⑵若p是g的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴xe(2,3)；(2)2<?<|.

【解析】⑴由題意可得p：xe(l,3)；q：xe(2,8)；

所以命題p,q均為真命題可得xe(2,3)；

(2)依題意可得{x|(x-a)(x-3a)<0}$(2,8)

因為,

Q

所以2<a,3a<8,解得24a4-.

3

20.(本小題滿分12分)

隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，醫(yī)療消費需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，

醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)療公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進

技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另

2X2+80X,0<X<40

投入成本G(x)萬元，且G(x)=3600由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品的售價為200

201x+^—^-2100,40<x<80

.x

萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.

⑴寫出年利潤W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量尤臺的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入-成本)；

⑵當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤時多少？

-2x2+120x-300,0<x<40

【答案】⑴卬(x)=3600；⑵年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤

-x-----+1800,40<x<80

x

為1680萬元.

【解析】(1)依題可得0<xV40時，W(x)=200%-300-G(x)=-2x2+120x-300

40<xW80時，W(x)=200x-300-G(x)=-x-^U1800

X

-2A:2+120X-300,0<x<40

所以W（x）=v…您+1800,

40<x<80

.x

⑵0<x440時，x=30最大，最大值為1500

40<xW80時,

當且僅當x=60時取等

綜上，年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為1680萬元.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=為偶函數(shù)

⑴求實數(shù)。的值；

⑵判斷“X）的單調(diào)性，并證明你的判斷；

⑶是否存在實數(shù)2,使得當/（x）的定義域為（機>0,〃>0）時，函數(shù)〃x）的值域恰為

_mn_

[2-Am,2-An].若存在，求出4的取值范圍；若不存在說明理由.

【答案】⑴-1；⑵在（0,+8）上單調(diào)增，（-8,0）上單調(diào)減，證明見解析;（3）存在，A>2；

【解析】（1）由〃-1）=0可得/⑴=生產(chǎn)=0,解得…1,

此時“力=譽=1-4，/（-x）=/（%）,故函數(shù)為偶函數(shù)，。=-1；

⑵由題意可知，=，任取0Vxi<彳2,

則有一口=仁一：[+再）>。，

故/⑺在（0,伊）上為增函數(shù)

任取玉<W<°

貝惰/伍）-〃占）=4-」=吐蜓5<0,

?^1?^2?X*1

故/(X)在(-8,0)上為減函數(shù);

⑶因為函數(shù)在(0,+00)上為增函數(shù)，所以在上值域為f