第3講-數(shù)學建模的插值法課件

1實驗目的實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學軟件包求解插值問題。1、了解插值的基本內(nèi)容。[1]一維插值[2]二維插值[3]實驗作業(yè)2拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一維插值一、插值的定義二、插值的方法三、用Matlab解插值問題返回3返回二維插值一、二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用Matlab解插值問題最鄰近插值分片線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值4一維插值的定義已知n+1個節(jié)點其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點處的插值節(jié)點可視為由產(chǎn)生表達式復雜,或無封閉形式,或未知.。5構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點,即再用計算插值，即返回6稱為拉格朗日插值基函數(shù)。

已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,…,xn處的函數(shù)值為y0,y1,…,yn。求一n次多項式函數(shù)Pn(x)，使其滿足：

Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x)為n次多項式：拉格朗日(Lagrange)插值7拉格朗日(Lagrange)插值特別地:兩點一次(線性)插值多項式:三點二次(拋物)插值多項式:8拉格朗日多項式插值的這種振蕩現(xiàn)象叫Runge現(xiàn)象采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結(jié)果圖形.例返回ToMatlablch(larg1)9分段線性插值計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.xjxj-1xj+1x0xnxoy10ToMATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回例用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在[-6,6]中平均選取5個點作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均選取41個點作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均選取11個點作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均選取21個點作插值(xch13)11比分段線性插值更光滑。xyxi-1xiab在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值12

三次樣條插值g(x)為被插值函數(shù)。13例用三次樣條插值選取11個基點計算插值(ych)返回ToMATLABych(larg1)14用MATLAB作插值計算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結(jié)果‘nearest’：最鄰近插值‘linear’：線性插值；‘spline’：三次樣條插值；‘cubic’：立方插值。缺省時：分段線性插值。注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。15例：在1-12的12小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作圖xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius')%攝氏度16二維插值的定義xyO第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：17

已知mn個節(jié)點其中互不相同，不妨設(shè)構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即18第二種（散亂節(jié)點）：yx019已知n個節(jié)點其中互不相同，構(gòu)造一個二元函數(shù)通過全部已知節(jié)點,即再用計算插值，即返回20注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。返回21將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：

分片線性插值xy(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f422插值函數(shù)為：第二片(上三角形區(qū)域)：(x,y)滿足插值函數(shù)為：注意：(x,y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達式如下：第一片(下三角形區(qū)域)：(x,y)滿足返回23雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O返回24

要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值缺省時,雙線性插值25例：測得平板表面3*5網(wǎng)格點處的溫度分別為：828180828479636165818484828586試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=[8281808284;7963616581;8484828586];mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2．以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.26再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖.27

插值函數(shù)griddata格式為:

cz

=griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）用MATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算

要求cx取行向量，cy取為列向量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值‘nearest’

最鄰近插值‘linear’

雙線性插值‘cubic’

雙三次插值'v4'-Matlab提供的插值方法缺省時,雙線性插值28例在某海域測得一些點(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免進入。29ToMATLABhd14.作出水深小于5的海域范圍,即z=5的等高線.3.作海底曲面圖30clearx=[129140103.588185.5195105.5157.5107.57781162162117.5];y=[7.5141.52314722.5137.585.5-6.5-81356.5-66.584-33.5];z=[-4-8-6-8-6-8-8-9-9-8-8-9-4-9];cx=75:0.5:200;cy=-50:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,[-5-5]);%等高線內(nèi)部的深度小于5米gridholdonplot(x,y,'+')xlabel('X'),ylabel('Y')31xy機翼下輪廓線1、已知飛