2023山東高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué) 本試卷分第一卷和第二卷兩局部，共4頁．總分值150分．考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將將本試卷和答題卡一并交回．考前須知： 1.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上． 2.第一卷每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案卸載試卷上無效． 3.第二卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效． 4.填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第一卷〔共50分〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合要求的〔1〕假設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)為單位，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】設(shè)，那么，所以，應(yīng)選〔B〕〔2〕集合，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由題意，所以，應(yīng)選〔C〕〔3〕某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間〔單位：小時(shí)〕，制成了如下圖的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是〔A〕56 〔B〕60 〔C〕120 〔D〕140自習(xí)時(shí)間/小時(shí)自習(xí)時(shí)間/小時(shí)頻率/組距0.020.040.080.100.16o17.522.5202527.530【解析】由圖可知組距為2.5，每周的自習(xí)時(shí)間少于22.5小時(shí)的頻率為所以，每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是人，應(yīng)選D．〔4〕假設(shè)變量滿足，那么的最大值是〔A〕4 〔B〕9 〔C〕10 〔D〕12111【解析】由是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，111故只需求出三直線的交點(diǎn)，所以是最優(yōu)解，的最大值是10，應(yīng)選C〔5〕有一個(gè)半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如右圖所示，那么該幾何體的體積為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由三視圖可知,半球的體積為,四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為，應(yīng)選C．〔6〕直線分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，那么“直線和直線相交〞是“平面和平面相交〞的〔A〕充分不必要條件 〔B〕必要不充分條件 〔C〕充要條件 〔D〕既不充分也不必要條件【解析】由直線和直線相交，可知平面有公共點(diǎn)，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直線和直線不一定相交．應(yīng)選A．〔7〕函數(shù)的最小正周期是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由所以，最小正周期是，應(yīng)選B〔8〕非零向量滿足，假設(shè)那么實(shí)數(shù)的值為〔A〕4 〔B〕—4 〔C〕 〔D〕—【解析】因?yàn)椋?，有，即，所以?，應(yīng)選B〔9〕函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么〔A〕—2 〔B〕—1 〔C〕0 〔D〕2【解析】由，知當(dāng)時(shí)，的周期為1，所以．又當(dāng)時(shí)，，所以．于是．應(yīng)選D．〔10〕假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,那么稱具有性質(zhì)．以下函數(shù)具有性質(zhì)的是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)的圖象上任何一點(diǎn)的切線的斜率都是非負(fù)數(shù)．都不可能在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,即不具有性質(zhì)．應(yīng)選A．第二卷〔共100分〕開始結(jié)束開始結(jié)束輸入a，b輸出ii=1i=i+1a=a+i,b=b-ia>b是否〔11〕執(zhí)行右邊的程序框圖，假設(shè)輸入的的值分別為0和9，那么輸出的值為【解析】時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，不成立；時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體后，成立；所以，故填3.〔12〕假設(shè)的展開式中的系數(shù)是，那么實(shí)數(shù)【解析】由，得，所以應(yīng)填．〔13〕雙曲線，假設(shè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，那么的離心率為【解析】由題意，所以，于是點(diǎn)在雙曲線上，代入方程，得，在由得的離心率為，應(yīng)填2.〔14〕在上隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，那么事件“直線與圓相交〞發(fā)生的概率為【解析】首先的取值空間的長度為2，由直線與圓相交，得事件發(fā)生時(shí)的取值空間為，其長度為，所以所求概率為，應(yīng)填．〔15〕在函數(shù)，其中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，那么的取值范圍是【解析】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以時(shí)單調(diào)遞增，只要大于的最小值時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有一根；又在，時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使方程在時(shí)有兩個(gè)根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．三、解答題：本答題共6小題，共75分．〔16〕〔本小題總分值12分〕在中，角的對(duì)邊分別為，(Ⅰ)證明：；〔Ⅱ〕求的最小值．【解析】(Ⅰ)由得，所以，由正弦定理，得．〔Ⅱ〕由．所以的最小值為．〔17〕〔本小題總分值12分〕在如下圖的圓臺(tái)中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺(tái)的一條母線．(Ⅰ)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；(Ⅱ)，求二面角的余弦值．【解析】(Ⅰ)連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)椋谏系酌鎯?nèi)，不在上底面內(nèi)，EFBACGH所以上底面，所以EFBACGH又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面；所以平面平面，EFBACO，OxyEFBACO，Oxyz(Ⅱ)連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．，，于是有，，，，可得平面中的向量，,于是得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，那么．二面角的余弦值為．〔18〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列的前項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令．求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，，又對(duì)也成立，所以．又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，那么．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)由，于是，兩邊同乘以２，得，兩式相減，得．〔19〕〔本小題總分值12分〕甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得3分；如果只有一人猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得0分．甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．假設(shè)“星隊(duì)〞參加兩輪活動(dòng)，求：(Ⅰ)“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；(Ⅱ)“星隊(duì)〞兩輪得分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】(Ⅰ)“至少猜對(duì)3個(gè)成語〞包括“恰好猜對(duì)3個(gè)成語〞和“猜對(duì)4個(gè)成語〞．設(shè)“至少猜對(duì)3個(gè)成語〞為事件；“恰好猜對(duì)3個(gè)成語〞和“猜對(duì)4個(gè)成語〞分別為事件，那么；．所以．(Ⅱ)“星隊(duì)〞兩輪得分之和的所有可能取值為0,1,2,3,4,6于是；；；；；；的分布列為：012346的數(shù)學(xué)期望．〔20〕〔本小題總分值13分〕(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立．【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，(3)當(dāng)時(shí)，，或，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，于是，，令，，，于是，，的最小值為；又設(shè)，，因?yàn)?，，所以必有，使得，且時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；又，，所以的最小值為．所以．即對(duì)于任意的成立．〔21〕〔本小題總分值14分〕平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn)．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)．〔i〕求證：點(diǎn)在定直線上；〔ii〕直線與軸交于點(diǎn),記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】(Ⅰ)由離心率是，有，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，于