高中數(shù)學(xué)-簡單的三角恒等變換教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

3.2簡單的三角恒等變換一、【教學(xué)目標(biāo)】重點:引導(dǎo)學(xué)生以三角函數(shù)的和（差）公式與倍角公式為依據(jù)，推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式難點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．知識點：半角的正弦、余弦、正切公式．能力點：能運用二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，能利用公式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．體會換元、化歸、方程等思想，提高學(xué)生的觀察能力、推理能力和運算能力．教育點：讓學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，了解半角公式與倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點；在探究和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、勇于探索、互相合作的精神．自主探究點：通過二倍角公式的變形，探究半角的正弦、余弦、正切公式．易錯易混點：三角函數(shù)值符號的判斷和三角變換的靈活應(yīng)用．拓展點：通過三角變換改變函數(shù)式結(jié)構(gòu)求函數(shù)最值問題．二、【引入新課】前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式，請同學(xué)們回顧一下這些公式.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一，學(xué)習(xí)了和（差）角公式、倍角公式我們就有了進行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為提高我們的推理、運算能力提供了新的平臺.本節(jié)課我們將綜合運用和（差）角公式、倍角公式進行更加豐富的三角恒等變換.【師生活動】教師提出問題，學(xué)生思考默寫公式、并請學(xué)生板演公式，教師巡視學(xué)生的默寫情況并對寫的不好的同學(xué)做個別指導(dǎo),最后教師提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.【設(shè)計意圖】首先使學(xué)生對本節(jié)課所必備的基礎(chǔ)知識準(zhǔn)確掌握，再次讓學(xué)生明確本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，引發(fā)學(xué)生探究新知識的欲望，并使得教學(xué)過程自然流暢.問題1：與有什么樣的關(guān)系？由此可以聯(lián)想到我們學(xué)習(xí)過的哪個公式？問題2：從之間的關(guān)系出發(fā)思考有怎樣的關(guān)系呢？如何建立這兩個三角式之間的關(guān)系？對于這兩個問題學(xué)生經(jīng)過思考討論不難得出是的二倍，由此可聯(lián)想到二倍角的余弦公式（，）作為聯(lián)系的紐帶.解：是的二倍角．在倍角公式中，以，，即得所以；在倍角公式中，以，，即得，所以．所以．問題3：已知，如何求由例1學(xué)生不難得出結(jié)果：；；師生共同進行總結(jié)，公式中的“”號由所在象限決定．【師生活動】教師提出問題；學(xué)生思考、小組探究，然后展示討論結(jié)果；教師重在引導(dǎo)學(xué)生分析角的倍、半間的關(guān)系；由學(xué)生將解題過程半數(shù)在黑板上.【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解角的倍、半的相對關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生仔細體會對“所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類的差異”對三角變換的影響進行認識，從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點．并為解決本節(jié)課的重難點問題作鋪墊，便于知識水到渠成的向前發(fā)展．三、【運用新知】例1試以表示．問題1：與有什么樣的關(guān)系？由此可以聯(lián)想到我們學(xué)習(xí)過的哪個公式？問題2：從之間的關(guān)系出發(fā)思考有怎樣的關(guān)系呢？如何建立這兩個三角式之間的關(guān)系？對于這兩個問題學(xué)生經(jīng)過思考討論不難得出是的二倍，由此可聯(lián)想到二倍角的余弦公式（，）作為聯(lián)系的紐帶.解：是的二倍角．在倍角公式中，以，，即得所以；在倍角公式中，以，，即得，所以．所以．問題3：已知，如何求由例1學(xué)生不難得出結(jié)果：；；師生共同進行總結(jié)，公式中的“”號由所在象限決定．【師生活動】教師提出問題；學(xué)生思考、小組探究，然后展示討論結(jié)果；教師重在引導(dǎo)學(xué)生分析角的倍、半間的關(guān)系；由學(xué)生將解題過程半數(shù)在黑板上.【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生理解角的倍、半的相對關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生仔細體會對“所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類的差異”對三角變換的影響進行認識，從而使學(xué)生更好地把握三角恒等變換的特點．并為解決本節(jié)課的重難點問題作鋪墊，便于知識水到渠成的向前發(fā)展．例2求函數(shù)的周期、最大值和最小值分析：不是正弦函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，那么第一步我們應(yīng)先把其化為標(biāo)準(zhǔn)式,才能利用正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)去求解.如何進行恒等變形這是關(guān)鍵.通過配湊系數(shù)我們可以利用兩角和與差的正余弦公式去化簡.即:或所以,所求函數(shù)的周期是,最大值是,最小值是.【設(shè)計意圖】本題是三角變換的重要問題，先對三角函數(shù)式進行三角恒等變換，化簡成的形式.主要培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式，熟練進行三角恒等變換的能力.師生共同探究對于怎么進行三角恒等變換呢，是否有一般性的方法呢?分析:結(jié)合所學(xué)我們要想解決好此類問題,關(guān)鍵要充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行解決,這里要引入一個輔助角,這個輔助角在內(nèi)是唯一確定的,必須寫出輔助角的正弦值和余弦值.即:其中.注：上述變形方法是解決合角問題的一般性方法.這里輔助角的引入既是重點又是難點,教師在具體的教學(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的情況進行引入、解釋.【設(shè)計意圖】總結(jié)解決合角問題的一般性方法,便于學(xué)生更好的解決問題.例3.如圖3.2-1,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形弧上的動點,是扇形的內(nèi)接矩形.記,求角取何值時,矩形的面積最大?并求這個最大面積.分析：要求當(dāng)角取何值時，矩形的面積最大，可以這樣去解決：第一:首先根據(jù)已知條件找出與的函數(shù)關(guān)系;第二:有函數(shù)關(guān)系及角取值范圍,求的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.設(shè)矩形的面積為,則.由,得.所以當(dāng),即時,因此,當(dāng)時,矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后要回歸到實際問題.四、【課堂小結(jié)】教師提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？留給你印象最深的是什么？（引導(dǎo)學(xué)生從知識點、思想方法兩方面進行總結(jié)）學(xué)生總結(jié)：1．知識點：半角公式、三角恒等變換，由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式2．思想：轉(zhuǎn)化、換元、函數(shù)與方程等思想方法．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生通過小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過程，提升對所學(xué)知識及數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用意識；提高學(xué)生的概括、歸納能力.同時學(xué)生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將知識條理化、系統(tǒng)化，使認知結(jié)構(gòu)更趨合理．五、【布置作業(yè)】必做題：課本143頁習(xí)題3.2六、【教后反思】1.本節(jié)課的亮點是在本節(jié)課的教學(xué)中以問題串的形式將本節(jié)課的內(nèi)容貫穿起來，力求使學(xué)生通過自主探究，獨立思考，推導(dǎo)公式，總結(jié)規(guī)律，探究三角變換的常用方法，重點突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等．通過引導(dǎo)學(xué)生比較所證明的公式，找出異同點，加深記憶，通過總結(jié)證明公式的過程，不斷提高學(xué)生利用三角變換進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明的能力．2.本節(jié)課的不足之處是由于本節(jié)課的內(nèi)容較多，留給學(xué)生獨立思考的時間不是很充分，所以學(xué)生的一些思想方法沒有重分得以展示.；并發(fā)現(xiàn)學(xué)生在拆、合角方面學(xué)生還是很困難,這充分體現(xiàn)學(xué)生對相關(guān)三角公式不熟練,在下節(jié)課這方面應(yīng)多加強訓(xùn)練一下七、【板書設(shè)計】3.2簡單的三角變換復(fù)習(xí)回顧例一半角公式例二 例三變式訓(xùn)練學(xué)情分析：這節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切的公式基礎(chǔ)之上，進行三角恒等變換的練習(xí)。學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了兩角和差公式及二倍角公式以及逆向使用公式的數(shù)學(xué)方法，但如何根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元等數(shù)學(xué)思想方法的認識還不足。因此本節(jié)課通過例題來展示，通過立體的解答，使學(xué)生加深變換思想，提高學(xué)生的推理能力。本節(jié)課的教學(xué)中以問題串的形式將本節(jié)課的內(nèi)容貫穿起來，力求使學(xué)生通過自主探究，獨立思考，推導(dǎo)公式，總結(jié)規(guī)律，探究三角變換的常用方法，重點突出換元的思想、化歸的思想、方程的思想等．通過引導(dǎo)學(xué)生比較所證明的公式，找出異同點，加深記憶，通過總結(jié)證明公式的過程，不斷提高學(xué)生利用三角變換進行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明的能力．本節(jié)課的內(nèi)容是高中人教A版必修四《三章三角恒等變換》的第二節(jié)《簡單的三角恒等變換》，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切的公式基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生以這十一個公式為依據(jù)，以推導(dǎo)半角公式、作為訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力。求證：解：，．2、，求函數(shù)的最大值和最小值？由,得.又由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得:,所以,,,最大值為,最小值為3、求函數(shù)的周期、最大值和最小值.解:由題意可得所以,所求函數(shù)的周期為,最大值為，最小值為.4、已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時,求的最小值以及取得最小值時的取值集合.(1)所以的最小正周期為；(2)由得,所以當(dāng)時,即,的最小值為-1,取最小值時的取值集合為.通過這節(jié)課，我發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的內(nèi)容較多，留給學(xué)生獨立思考的時間不是很充分，所以學(xué)生的一些思想方法沒有充分得以展示.；并發(fā)現(xiàn)學(xué)生在拆、合角方面學(xué)生還不是很好,這充分體現(xiàn)學(xué)生對相關(guān)三角公式不熟練,下節(jié)課這方面應(yīng)多加強訓(xùn)練一下根據(jù)學(xué)生教材內(nèi)容和學(xué)生實際確定下列教學(xué)目標(biāo)：能運用二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)半角公式，能利用公式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明．體會換元、化歸、方程等