非線性方程組的解法

第四章非線性方程組的解法4?1非線性方程組的一般形式從上面兩章中，我們研究了離散化結(jié)構(gòu)中任一單元在t-1+At的時(shí)間增量步內(nèi)，由材料非線性引起的單元切線剛度陣是線性的，(如第三章得出的增量平衡方程kAq=Ap⑺1(假定t時(shí)刻的狀態(tài)已知))，由此集合而成結(jié)構(gòu)的增量平衡方程也是線性的K村=Ap，這就為求解整個(gè)的非線性過程準(zhǔn)備了條件。即只要確定每一步的切線剛度，通過求解一系列的線性方程組，累加起來就得到了解的全過程。結(jié)構(gòu)總的平衡方程是非線性的：K(q)q=P (1)i.eq=K-1P。令R=K(q)q(1)—F=P-R(q)=0 (1)’分段線性化是求解非線性問題中一個(gè)普遍有效的技術(shù)，但作為具體的解法還有許多種，主要的有：1、 增量法一純?cè)隽糠?、 迭代法一直接迭代法(剛線剛度法)、Newton-Raphson迭代法(切線剛度法)3、 .混合法一增量/迭代型方法4?2載荷增量法(純?cè)隽糠?1、基本思想方法：若將外載荷分成N個(gè)增量步，A為載荷系數(shù)i方法：若將外載荷分成N個(gè)增量步，A為載荷系數(shù)i而每個(gè)增量載荷為Ap=A\%，q1 q2 q3(或稱載荷因子)，則總載荷p=xP；0其中：M=U牌p為基準(zhǔn)載荷.i=1上面的結(jié)構(gòu)平衡方程為F(q)=P-R(q)=0 (1)'i.e F(q)=XP-R(q)=0 (2)

上式兩邊對(duì)人微分得i.e上式兩邊對(duì)人微分得i.edF(4)dq=K-1(q以。P-K)qdPdq=K-1(q以。P-K)qdP..Ae將(5)式寫成增量形式便有以下求解格式Aq=[q(q.1)]-iAP

q=q+AqAP=AXP(5)(6)2、求解步驟將載荷分成若十個(gè)增量步P=歹備匚，準(zhǔn)備位移量累加器［Q］并置零.i=1施加第1個(gè)載荷增量AP=AP，計(jì)算k(q)=竺線性1 10 t0 6q求解Aq1=［q(q0)］-1氣q1=Aq1 并送入位移量累加器［Q］施加第2個(gè)增量步AP=AX2P0用q，求K(q)即在q處的切線剛度矩陣1 T1 1求解Aq2=［q(q1)］-1AP2q2=q1+Aq2 在位移量累加器［Q］中完成累加.4)重復(fù)3)直至(N)個(gè)載荷施加完畢，在位移量累加器［Q］中得到總位移q=寸Aqi=1入OP0P3P△2入OP0P3P△2入2P1△入1q1 q2q3優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：了解加載過程，當(dāng)APT足夠小，總能收斂到真實(shí)解缺點(diǎn)：實(shí)際不可能無限小，因此累積誤差，且無法估計(jì)，造成極大偏離而失真4?3迭代法1直接迭代法1）基本思想：將載荷一次加上，并假設(shè)一個(gè)初始解代入方程組求出第一次近似解；將其再代入方程組求解，得出第二次近似解，反復(fù)迭代逐次修正解，直至滿足方程組（類似于對(duì)過渡單元加權(quán)平均。任中m的迭代）。2） 步驟①假設(shè)近似解q0；代入方程（1）得q⑴二]K。（0），P；依次類推得q（k）=[K（q（T，TP （7）3）幾何意義（一維問題） 迭代過程是調(diào)整其平行割線剛度的過程。4） 優(yōu)缺點(diǎn)求解方法簡(jiǎn)單，對(duì)原有彈性分析程序稍加修改即可，適用于非線性彈性。但迭代效率低，對(duì)一些問題不收斂。舉例

2牛頓一萊夫森迭代法（Newton—Raphson）1）基本思想對(duì)非線性方程（1）函數(shù)F（q）在某一近似解處qG）作一階臺(tái)勞展開四G=四G=四偵))4電］(q-q"—'-qG))+O偵)=0(8)為當(dāng)前迭代解與準(zhǔn)確解之間的差值。由（8）得Aq為當(dāng)前迭代解與準(zhǔn)確解之間的差值。由（8）得Aq(j)=-(10)代入（1）兩邊求導(dǎo)得(dF(q))I6q設(shè)外力（大小、方向）與位移無關(guān)(dF(q))I6q設(shè)外力（大小、方向）與位移無關(guān)Jq=q(/)由(6)得K(q(j))=-TW()q=q(j)(11)（12）式代回（10）、（11）得Aq(j)3?jjq=q(j)(12)=(k(q)A(OT(13)于是得到迭代公式于是得到迭代公式(14)(14)2）N2）N-R法迭代步驟①取初始狀態(tài)｛q。｝=0故R{q0}=0計(jì)算Klq0計(jì)算Klq0求解方程（8）代入（9）{q0}=K0即線彈性剛度矩陣(與當(dāng)前位移無關(guān))TAqJ=K0(q0)-1(p}-R0(q0位K0曷T Tq1技0挫q1}={Aq1},.,線性解由{q1}計(jì)算K111）和&2K「'1Md從而得到q2}=K「&1）11板以1（q1）》和￡2技1M2}從而得到③重復(fù)2③重復(fù)2的做法^,}=K。一11《}-&一1）》=K。一11z。一1）T T"頃1》XU0}+EL}j3）幾何意義（以一維問題為例）按基本公式（12），（13），（14）兇』為p-q曲線上，在￡j》對(duì)應(yīng)點(diǎn)的斜率，也就是切線剛度；{p}為當(dāng)前狀態(tài)下的外載向量；b、{。）》=虹［j】［j}=fBTDBdv{qj}{r}稱為當(dāng)前抗力，{p}-{r}={z}稱為當(dāng)前的不平衡￡}力；所以，每一次迭代都是在上一次迭代終（當(dāng)前）的變形，應(yīng)力狀態(tài)下，形成新的切線剛度矩陣作為求下一次迭代解的切線剛度，用當(dāng)前的不平衡力求解。作為對(duì)上一次解的修正，不斷修正，使不平衡力越來越小，最后達(dá)到平衡。4）優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍從上面迭代原理可知：該方法使變剛度法，計(jì)算工作量較大，但是收斂速度比較快，而且收斂性比較好，但是有時(shí)特例也不一定能保證收斂。為了改進(jìn)N-R方法，克服計(jì)算量大的缺點(diǎn)，產(chǎn)生了等剛度法3修正的N-R迭代法（等剛度法）顧名思義，等剛度就是在迭代過程中取一個(gè)（相等得）切線剛度矩陣，如果取初始的K0T或某一個(gè)值，取KkTi.e.取KjTKjTKo=K(q)T（j=1，2，。。。）hqj+1}=「Ko（q）］-1（{p}-{R（qj）》）1 T作了這一改進(jìn)之后，只需在開始第一步迭代時(shí)第k步計(jì)算各單元的單剛，組裝一次總剛后，作為以后每一次迭代的總剛而無需每次重新計(jì)算重新組裝，只需計(jì)算由當(dāng)前位移

R(qj)引起的結(jié)構(gòu)反力，然后回代求解相應(yīng)的位移增量。分段等剛度迭代這一改進(jìn)明顯減少了計(jì)算工作量，但收斂速度必然會(huì)放慢，總的效果有時(shí)是好的。以后又有人作了進(jìn)一步的改進(jìn)，在等剛度迭代幾次以后，改用一次變剛度，形成新的剛度陣再作等剛度迭代。分段等剛度迭代等剛度迭代總結(jié)N-R迭代法&。)｝七偵分婦小S)｝LT」(10)(6)(15)qg上q(j頊挫qg(10)(6)(15)純?cè)隽糠?\q｝=K(q)L曷｝i Ti-1 i上｝=妃｝+明｝將純?cè)隽糠ê蚇-R迭代法結(jié)合起來：[LLK。-』1UR。-1)》ji 3｝+￡Mi〔 i i-1，'4.4混合法1基本思想結(jié)合增量法保證收斂的優(yōu)點(diǎn)和N-R迭代法不斷校正解的優(yōu)點(diǎn)，可取得好的效果。即首先將總載荷分成若十個(gè)增量步，在每個(gè)增量步內(nèi)采用N-R迭代。在一個(gè)增量步內(nèi)達(dá)到平衡之后，再進(jìn)入下一個(gè)增量步迭代。下面以第i個(gè)增量步內(nèi)的迭代為例說明混合法的全過程。

2求解步驟1)開始，施加第一個(gè)增量載荷，按N-R迭代法求解。設(shè)10}=0，求K(/0『，求解方程{\q，}=K(/0HG-R(0?，{q"=(^q"，線性解。以(q"計(jì)算K(q，)] 假如迭代了k次收斂，則(q}i={q}0+2L}j=12)在第i個(gè)增量步內(nèi)的迭代(i>2),各個(gè)增量步內(nèi)的迭代過程相同，已知第G-1)步終達(dá)到平衡狀態(tài)(q，1}{.Jb.Ji-1求%I?)R(q?)i-1求得(qQ)}和(qQ)L(q}+(qQ)}TOC\o"1-5"\h\zi i i1 i(1)以(q}為i迭代步的初位移-(qdi(2)解方程dQ)}=K(/0MG-r(/0》i Ti(1)以(q}為i迭代步的初位移-(qdi(2)解方程dQ)}=K(/0MG-r(/0》i Ti-1i i-1(3)以此類推，求出(q(3)}，((q(4)}，……即(q(3)}，(q(4)}，……迭代到k次收斂i i i i最終達(dá)到平衡時(shí)(q^k)}=qL?}+2kqk}j=1ii4)直至全部載荷施加完畢。3幾何意義3)以第i步終達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的(q}{}和(7}作為初始狀態(tài)，進(jìn)入第(+1)步的迭代。ii4)直至全部載荷施加完畢。3幾何意義4優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：通常能保證收斂，且收斂速度快。目前應(yīng)用最廣泛。缺點(diǎn)：對(duì)一些特殊問題失效，主要是有極值點(diǎn)的問題。4.5迭代收斂準(zhǔn)則和增量步的選取1收斂準(zhǔn)則(ConvergentCriterion)用迭代法求解非線性方程時(shí)，給出一個(gè)收斂判據(jù)（準(zhǔn)則）是非常必要的，否則迭代將無法終止，實(shí)踐證明，收斂準(zhǔn)則將直接影響求解精度和速度，如果準(zhǔn)則選的不合適將導(dǎo)致計(jì)算失效，目前常用的有下面三種判據(jù)：（1）位移準(zhǔn)則（見AIAA；10（8）.1982）（a）1節(jié) Aq=——乙 k￡(b)i（a）1節(jié) Aq=——乙 k￡(b)iNk=14.ref￡2冬'k.ref(41)(42)(c)￡=max(43)最常用的是位移收斂準(zhǔn)則，￡取10-2?10-5,只有當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重硬化時(shí)，位移增量的微小變化會(huì)引起不平衡力的很大變化，這一準(zhǔn)則不予收斂。（2）不平衡力準(zhǔn)則zj={p}―"偵-1）j<￡{p}| （44）當(dāng)物體嚴(yán)重軟化時(shí)或材料接近于理想塑性時(shí)，平衡力的微小變化又將引起位移增量的很大偏差，這時(shí)又不宜用不平衡力準(zhǔn)則。（3）能量準(zhǔn)則能量已同時(shí)考慮了位移和不平衡力，能量準(zhǔn)則是比較好的判據(jù)，它是把每次迭代后的內(nèi)能增量（不平衡力在位移增量上做功）與初始能量增量做比較。i.e.(45)(46)膈}S-"偵位&1*Gp}4偵）}）i.e.(45)(46)TOC\o"1-5"\h\z，^-j^ ，^r^i ii i采用弧長法時(shí)可寫作：Dlj{p}^Dqj}1{p》{q}'■'i i-10ai

2增量步長的選擇求解非線性方程組時(shí)要合理選擇增量步長，步長過大使計(jì)算結(jié)果不會(huì)收斂或不可靠，步長過小使計(jì)算時(shí)間太長，因此要根據(jù)具體問題的非線性程度來選擇步長，不同結(jié)構(gòu)形式的非線性形態(tài)不同，同一物體不同的加載方式、載荷大小不同，非線性程度也不一樣。P.G.Bergan等提出的方法設(shè)第/步剛度度量S*二"V} (i=1,2,...) (47)^ {賢尸{△〃,}則初始剛度S*={Api}"V} (48)o {△”{△〃]}Ap=p kq=q(49)于是，第i增量步的剛度參數(shù)用下面無量綱參數(shù)定義(49)S=S*/S*由于{由于{p}=人{(lán)p}，0叫=&{p0}c{Ap}T{Ap}{Aq}T{Ap}S= i i 1 1—i{Aq}t{Ap}{Ap}t{Ap}ii11(50)加{p}『{p}{q}m{應(yīng)［{Mh={Aqk