2021年湖南省邵陽(yáng)市洲下橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021年湖南省邵陽(yáng)市洲下橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，，則f(x)的值域是()A．[－，0]∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．[－，＋∞)

D．[－，0]∪(2，＋∞)參考答案：D2.設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（

）

A．

B．

C

D．參考答案：D3.設(shè)a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，則a=（）A．0 B．1 C．11 D．12參考答案：D【考點(diǎn)】整除的基本性質(zhì)．【分析】把532016=（52+1）2016按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再根據(jù)

（52+1）2016+a能被13整除，求得a的值．【解答】解：∵a∈Z，且0＜a＜13，∵532016+a=（52+1）2016+a=?522016+?522015+…+?52+1+a能被13整除，∴最后2項(xiàng)的和能被13整除，即1+a能被13整除，故a=12，故選：D．4.設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.在正方體ABCD—AlB1C1D1中，P是正方體的底面AlB1C1D1(包括邊界)內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不與A1重合)，Q是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，線段A1C與線段PQ相交且互相平分，則使得四邊形A1QCP面積最大的點(diǎn)P有

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．無(wú)數(shù)個(gè)參考答案：C略6.已知，則f'（2）=（）A． B． C．2 D．﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】把給出的函數(shù)求導(dǎo)，在其導(dǎo)函數(shù)中取x=2，則f′（2）可求．【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），∴f′（2）=﹣+3f′（2），解得：f′（2）=，故選：A．7.已知雙曲線（）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的離心率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.點(diǎn)P（4，﹣2）與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是(

)A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1參考答案：A【考點(diǎn)】軌跡方程．【專(zhuān)題】直線與圓．【分析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為（x1，y1），中點(diǎn)為（x，y），則，由此能夠軌跡方程．【解答】解：設(shè)圓上任意一點(diǎn)為（x1，y1），中點(diǎn)為（x，y），則代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化簡(jiǎn)得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡方程，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．9.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的實(shí)部是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算把給出的復(fù)數(shù)化為a+bi（a，b∈R）的形式，則復(fù)數(shù)的實(shí)部可求．【解答】解：=．所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．10.設(shè)m、n是兩條不同的直線α、β是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①如果α∥β，m?α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n其中正確的命題是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)空間直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系及幾何特征，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．【解答】解：①如果α∥β，m?α，那么m∥β，故正確；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m?β，故錯(cuò)誤；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β關(guān)系不能確定，故錯(cuò)誤；④如果m∥β，m?α，α∩β=n，那么m∥n，故正確故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部為

.參考答案：略12.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．參考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13.已知200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，利用組中值計(jì)算200輛汽車(chē)的平均時(shí)速為▲km/h．

參考答案：67略14.三棱錐S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：①異面直線SB與AC所成的角為90°；②直線SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④點(diǎn)C到平面SAB的距離是a.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．參考答案：①②③④由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE，可證得CE⊥平面SAB，故CE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面SAB的距離a，④正確．15.已知命題：“若數(shù)列為等差數(shù)列，且(),則”，現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且若類(lèi)比上述結(jié)論，則可得到=

.參考答案：16.已知是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是 參考答案：解：由已知是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，

可得

，求得≤a＜，

故答案為：．17.已知直線的極坐標(biāo)方程，則極點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)____．參考答案：【分析】先將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由得，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，又極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，所以極點(diǎn)到直線的距離為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l：y=kx+a（a＞0）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）設(shè)拋物線C在A和B點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，且與圓x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y軸同側(cè)），求證：|AD|?|BE|是定值．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的最值問(wèn)題；直線與拋物線的位置關(guān)系；圓錐曲線的范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）求出拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)F（0，1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x2=4y與y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，則△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a，求出導(dǎo)函數(shù)利用切線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)求解即可．（Ⅱ）若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則a=1，則x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．求出圓x2+（y﹣1）2=1圓心為F（0，1），半徑為1，由拋物線的定義有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，吐槽|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，利用|AD|?|BE|=y1y2，轉(zhuǎn)化求解|AD|?|BE|為定值．【解答】解：拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)F（0，1），…設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x2=4y與y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，則△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a．…（Ⅰ）由x2=4y有，則，…則拋物線C在處的切線為，即…①…同理拋物線C在處的切線為…②…聯(lián)立①②解得，代入①式解得，即P（2k，﹣a）．…（Ⅱ）若直線l過(guò)焦點(diǎn)F，則a=1，則x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．由條件可知圓x2+（y﹣1）2=1圓心為F（0，1），半徑為1，…由拋物線的定義有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，…則|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，…10分，|AD|?|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=，（或）即|AD|?|BE|為定值，定值為1．…19.（本小題滿分13分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，且滿足。數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和。（I）求；d和；（II）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（I）在中，令得解得

（II）（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。

，等號(hào)在n=2時(shí)取得。

此時(shí)需滿足<25.

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立.是隨n的增大而增大，取得最小值－6.此時(shí)需滿足<－21.

綜合（1）（2）可得<－21的取值范圍是.20.已知數(shù)列中，前項(xiàng)和（1）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明該數(shù)列是等差數(shù)列；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，此時(shí)最小值是多少。參考答案：解：（1）

當(dāng)n≥2時(shí)，

當(dāng)n＝1時(shí)，適合上式

故………………4分

當(dāng)n≥2時(shí)，

故數(shù)列｛a-n｝是以a1=－18為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列……4分（2）

∴當(dāng)n＝9或10時(shí)有最小值－90………4分

21.已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段的中垂線與交于點(diǎn)．（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；（II）設(shè)軌跡與軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為，點(diǎn)是軌跡上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)延長(zhǎng)交過(guò)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．參考答案：解：（Ⅰ）由題意得，圓的半徑為，且從而所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸，焦距，則短半軸，

橢圓方程為：……………….4分（Ⅱ）設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的的圓上．即點(diǎn)在以為直徑的圓上．又，所以直線的方程為．令，得．又