層次分析法數(shù)學(xué)模型

層次分析模型背景日常工作、生活中的決策問(wèn)題涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化Saaty于1970年代提出層次分析法

AHP

(Analytic

Hierarchy

Process)AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過(guò)程的歸納將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問(wèn)題的定量結(jié)果。1

1

1

/

35

3

1 1

/

2

4

32

1

7

5

A

=

1

/

4 1

/

7

1 1

/

2 1

/

3

1

/

5

2

1

1

/

3 1

/

5

3

1ijjiA

=

(aij

)n·n

,

aij

>

0,

aa=

1層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性C

:C

ai

j

ijA~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地A

=n

n

w

nnww

w

w

wwwwwww

w

w

12

n

n

w

1

w22212

w

1

w

1211

1/

2

4

A

=

2

1

7成對(duì)比較的不一致情況a12

=1/

2

(C1

:C2

)a13

=4

(C1

:C3

)a23

=8(C2

:C3

)一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況W

(=1)

w1,

w2

,wnj令aij

=

wi

/

w~

權(quán)向量Tw

=

(w1

,

w2

,wn

)成對(duì)比較陣和權(quán)向量Aw

=

lw

n

A

=nnnwwww

w

w

w

w

wwwwwww

1w

12

n

n

w

122212

w

121成對(duì)比較完全一致的情況aij

ajk

=aik

,

i,

j,k

=1,2,,n滿(mǎn)足的正互反陣A稱(chēng)一致陣，如A的秩為1，A的唯一非零特征根為nA的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n

的特征向量A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A，建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根l的特征向量作為權(quán)向量w

，即一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量尺度a

ij1234567

89Ci

:Cj的重要性相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)比較尺度aijSijaaty等人提出1~9尺度——a

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9~

Ci

:

Cjaij

=1,1/2,

,…1/9

的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),

d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n

階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根l?n,且l

=n時(shí)為一致陣n

-

1CI

=

l

-

n定義一致性指標(biāo):CI

越大，不一致越嚴(yán)重n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)

RI——隨機(jī)模擬得到aij

,

形成A，計(jì)算CI

即得RI。Saaty的結(jié)果如下定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)1

1

1

/

35

3

1

1

/

2

4

32

1

7

5

A

=

1

/

4

1

/

7

1

1

/

2

1

/

31

/

5

2

11

/

3

1

/

5

3

1準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根l=5.073權(quán)向量(特征向量)w

=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T歸一化的一致性指標(biāo)

CI

=

5.073

-

5

=

0.0185

-1隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）(

2

)

T(

2

)1

n的權(quán)向量為w

(

2

)

=

(w

,,

w

)同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量2

112

5B

=

1

/

2

1

1

/

5 1

/

2 1

方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣

1 1

/

3 1

/

8

1 1

/

3

8

3

1

2B

=

3方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根

l1

l2

…

ln權(quán)向量w1(3)

w2(3)

…

wn(3)第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k123450.5950.0820.4290.6330.166w(

3)k0.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668lk3.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.0050組合權(quán)向量w(2)0.2630.4750.0550.0900.110RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595·0.263+

…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,

0.246,

0.456)T(

2) (

2)

T1

n=(w

,,

w

)w(

2)w(

3)

=

W

(

3)

w(

2

)組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pmkm(

3

)

T,,

w

) ,

k

=

1,2,

,

n(

3

)k

1=

(wkw

(

3

)第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量(

3

)

(

3

)1W

(

3

)n=

[w

,,

w

]構(gòu)造矩陣則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量w(s)

=W(s)W(s-1)

W(3)

w(2)第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問(wèn)題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。2）構(gòu)造成對(duì)比較陣用成對(duì)比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。(p

)(p-1)1(p

)(p

)CI

=

CI,,

CInw(p

)(p-1)1(p

)(p

)RI

=

RI,,

RInw(p

)(p

)

<

0.1CR

=RICI

(p

)第p層通過(guò)一致性檢驗(yàn)CR(p

)sCR*

=

p=2整個(gè)層次通過(guò)一致性檢驗(yàn)二.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問(wèn)題類(lèi)型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專(zhuān)家給出。國(guó)家綜合實(shí)力國(guó)民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國(guó)工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國(guó)家實(shí)力分析例2

工作選擇過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3C1節(jié)

收

岸省

入

間時(shí)

C2

商間

業(yè)C3當(dāng)建安交地筑全往商就可溝業(yè)業(yè)靠通

C4

C5

C6

C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過(guò)河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投

操

沖

沖入

作

擊

擊資

維

渡

生金

護(hù)

船

活C1

C2

業(yè)

方C3

式C4交

居

汽通

民

車(chē)擁

搬

排擠

遷

放C5

C6

物C7對(duì)

對(duì)水

生的

態(tài)污

的染

破C8

壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評(píng)價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益C11間接經(jīng)濟(jì)效益C12社會(huì)效益C13學(xué)識(shí)水平C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)例4

科技成果的綜合評(píng)價(jià)三.

層次分析法的若干問(wèn)題正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1

正矩陣A的最大特征根l是正單根，對(duì)應(yīng)TT

kAk

e正特征向量w，且

lim

=

w,

e

=

(1,1,,1)k

fi

￥

e

A

e定理2

n階正互反陣A的最大特征根l

n

,l=n是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。定義合理n

-

1一致性指標(biāo)

CI

=

l

-

n2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術(shù)平均4例A

=1/2

0.1

0.077 0.091

0.3

0.308 0.364

1

2

6

0.6

0.615 0.545

1

1/

6

1/

4 1

0.0890.324

=w0.5870.286

精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,l=3.010

Aw

=

0.9741.769l

=

1

(1.769

+

0.974+

0.268)

=

3.0093

0.587

0.324

0.089列向量歸一化算術(shù)平均Aw

=

lw根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度e2)

計(jì)算

w~

(

k

+1)

=

Aw

(

k

)w~

(

k

+1

)i=

w~

(

k

+1

)3）歸一化

w

(

k

+1

)ni

=1/(

k

+

1

)l

=ni

=

1

i

w(

k

)iw~1

n5)計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算4）若<e，停止；否則，k:=k+1,

轉(zhuǎn)2(

k

+1)(

k

)i

iimax

w

-

w3.

特征向量作為權(quán)向量——成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)問(wèn)題一致陣A,權(quán)向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,

應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與aij相差盡量?。▽?duì)所有i,j)。2minwi

(

i

=1

,

,

n

)-nni

=1

j

=1

iijw

j

w

a用擬合方法確定w非線性最小二乘-

lnn

ni

=1

j

=1jiij

ln

aminwi

(

i

=1,,

n

)w2w

線性化——對(duì)數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對(duì)比較Ci:Cj

(直接比較）naij

~

1步強(qiáng)度(

2

)A2ij=

(a

)ij

is

sja

=

a

as

=1(

2

)aisasj~

Ci通過(guò)Cs

與Cj的比較aij(2)~

2步強(qiáng)度更能反映Ci對(duì)Cj

的強(qiáng)度Ak

(

k

)

a(

k

)ij

ij=(a

), ~

k步強(qiáng)度多步累積效應(yīng)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)(

k

)js(

k

)is(

k

)js(

k

)is?

a"

i,

j,

$k0

,

k

>

k0

,

a￡

a

（

s

=

1,

n)或a定理1=

weT

Ak

eAk

ek

fi

￥lim特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)當(dāng)k足夠大,

Ak第i行元素反映Ci的權(quán)重 求Ak的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對(duì)第2層權(quán)向量(3),w

(3),0)Tw1(3)=(w11(3),w12

13w2(3)=(0,0,w23

24(3),w

(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3))計(jì)算第3層對(duì)第1層權(quán)向量w(3）的方法貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4例:評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等2

2(2)

(2)(2)1

1

2

2

1

1~(2)(2)

T)

/(n

w

+n

w

)w

=(n

w

,n

w不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響仍用

w(

3

)

=

W

(

3

)

w(

2

)計(jì)算支配元素越多權(quán)重越大用支配元素?cái)?shù)目n1,n2對(duì)w(2)加權(quán)修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用

w(

3)

=W

(

3)

w~(

2

)

計(jì)算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)Tn1

=3,

n2

=2,w~(2)

=(3/5,2/5)T支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由