2022-2023學(xué)年山東省棗莊市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年山東省棗莊市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知點(diǎn)?是點(diǎn)“（2,9,6）在坐標(biāo)平面O切內(nèi)的射影，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（）

A.（2,0,0）B.（096）c.（2，°，6）D.（2,9,0）

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)?是點(diǎn)“（2,9,6）在坐標(biāo)平面。中內(nèi)的射影，所以H的豎坐標(biāo)為o,

橫、縱坐標(biāo)與Z點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)?的坐標(biāo)為（2,9,0）,

故選：D

2,已知陽=（'，—2,5）,〃=（1,4,一10）,且加

,則x的值是（）

A.2B.-2C.2D.2

【答案】A

【分析】由前〃7直接列方程求解即可.

［詳解］因?yàn)橛?（占一2,5）,〃=（1,4,一10）且機(jī)〃”，

-x=—-2=5x=—1

所以14-10,解得2,

故選：A

3.如圖，空間四邊形W8C中，OA=aOB=h,OC=c點(diǎn)〃在OA上，且OM=2MAfN為

8c的中點(diǎn)，則（）

_2-11一

4+—78+―C

B.322

1-lr2-1-271-

—Cld—u—c—ci-\—b—c

C.223D.232

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.

MN=ON-OM^-（0B+0CY-0A^--a+-b+-c

【詳解】2、廠3322.

故選：B.

4.已知直線4：6X-J'T=°,若直線4與4垂直，則12的傾斜角為（）

A.30°B.60。C.120°D,'50°

【答案】D

【分析】由直線12與4垂直得到4的斜率再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.

__k__且

【詳解】因?yàn)橹本€12與4垂直，且乙二13,所以4X網(wǎng)=T,解得"3,

設(shè)人的傾斜角為a,3,所以a=150".

故選：D

5.在棱長均為1的平行六面體中，乙&1￡>=/詡4=/"14=60。，則

A.叢B.3C.網(wǎng)D.6

【答案】C

【分析】設(shè)施“，AD=b,AAy=c,利用I"，卜+結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.

［詳解］設(shè)方=￡,AD=b,/4=c,由已知，得<”］>=60。，<a,c>=60\<c,h>=6O\

IaH各1=1。卜1,所以a$=a,c=2,

—>2—+2—?—?—?—?—?—?r—

+b+c+2。?6+2。?c+2b?c=J6

mhA1西卜17^^F二百

故選：C

a\會(huì)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

6,已知數(shù)列也｝滿足q=2,t+1,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則％=（）

1

A.64B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推式以及《=2迭代即可

a

z.__1_3_9/.__4_1

【詳解】由q=2,得「2,%=3a2+1=4,"-2,，一2,

%=3%+1=4,%普=2,%吟=1

故選：B

7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦

點(diǎn).已知拋物線*二句，的焦點(diǎn)為尸，一條平行于v軸的光線從點(diǎn)”(1,2)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)

N反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則經(jīng)點(diǎn)8反射后的反射光線必過點(diǎn)()

A.(T2)B.(一2,4)C.(T6)D.(-4,8)

【答案】D

【分析】求出A、尸坐標(biāo)可得直線/F的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出8,根據(jù)選項(xiàng)可得答案，

【詳解】把》=1代入V=4y得'=所以"(0』)

143

y-1=——Xy=——x+i

所以直線力尸的方程為0T即4,

3,

y=——x+1(-

<4=A4

與拋物線方程聯(lián)立卜=外解得1x=-4,所以8(-4,4),

因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確，

故選:D.

土-二=1

8.已如雙曲線/b2(?>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,乙，過心的直線交雙曲線的右

支于48兩點(diǎn),若"J",且4回=3網(wǎng),則該雙曲線的離心率為()

回正

A.2B.C.2D.J5

【答案】A

【分析】先作輔助線，設(shè)出邊長，結(jié)合題干條件得到?用=3。，以鳥|=。，利用勾股定理得到關(guān)于

凡。的等量關(guān)系，求出離心率.

【詳解】連接片嘰設(shè)明=3x,則根據(jù)4M=3|明可知，|明=4”,因?yàn)?1叫由勾股定

理得：四|=5》，由雙曲線定義可知：所曰得=2"，|所H優(yōu)|=巴解得：

用=3x-2“，周=5x-2a,從而3x-2a+5x-2a=4x,解得：x-af所以I"用=%,

二、多選題

9.圓，+丁=4與圓f+/-4x-2叩+/=°的位置關(guān)系可能是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

【答案】ABC

【分析】由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】/+/-4》-2畋+〃/=（）整理為：6-2）-+&-機(jī)）-=4,從而圓心為Q，機(jī)），半徑為2,

而/+/=4的圓心為（0,0）,半徑為2,從而兩圓的圓心距為14+加2,

當(dāng)"+蘇>2+2,即機(jī)>2方或機(jī)<-26時(shí)，此時(shí)兩圓外離；

當(dāng)"+=2+2,止匕時(shí)機(jī)=±2百，此時(shí)兩圓外切；

由于J4+癡±2恒成立,故當(dāng)24"+〃/<2+2,即-26<“<26時(shí)，兩圓相交；

且“+/22,故兩圓不會(huì)內(nèi)含或內(nèi)切，綜上：兩圓得位置關(guān)系可能是外離，外切或相交.

故選：ABC

10.已知色為等差數(shù)列"J的前〃項(xiàng)和，且%=-7,$3=-15,則下列結(jié)論正確的是（）

A.4=2〃-9B.㈤｝為遞減數(shù)列

C.”是包和晶的等比中項(xiàng)D.邑的最小值為76

【答案】AD

【分析】先由題干中條件得到公差d=2,從而求出通項(xiàng)公式，判斷出AB選項(xiàng)；計(jì)算出包，

%發(fā)現(xiàn)如二%。，故判斷C選項(xiàng)的正誤；D選項(xiàng)"J為遞增數(shù)列，且%=T<0,%=1>0,從

而得到$4最小，計(jì)算出結(jié)果即可判斷.

【詳解】由題意得：$3=3%+33=75,因?yàn)椋?—7,所以"=2,所以也，｝通項(xiàng)公式為：

"”=-7+2（〃-1）=2〃-9,A選項(xiàng)正確；由于d=2>0,所以卜"｝為遞增數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；通過

計(jì)算可得：%=-1,6=3,%=9,其中《'a/%,所以名不是4和%的等比中項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)

誤；因?yàn)椋?｝為遞增數(shù)列，且％=T<°,4=1>°,故與在〃=4時(shí)取得最小值，

S4=4%+6d=-28+12=76,D選項(xiàng)正確

故選：AD

11.已知直線+=其中aeR,下列說法正確的是（）

A.若直線/與直線x->二°平行，則"=0

B.當(dāng)。=1時(shí)，直線/與直線》+了=°垂直

C.直線/過定點(diǎn)9°）

D.當(dāng)。=°時(shí)，直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

【答案】BC

【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

0

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線/與直線方-夕=°平行，則°="或1,故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)。=1時(shí)，直線/為x-y-l=°,斜率為1,而直線x+y=°斜率為-1,...兩條直線垂

直，故B正確;

對(duì)于C項(xiàng)，x-（/-a+l）V-l=°恒成立時(shí)，令y=0,得x=l,即直線過定點(diǎn)（1,0）,故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)。=0時(shí)，直線/為x-yT=°,令x=0ny=-l,令y=°nx=l,所以橫截距和縱

截距互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.如圖，在邊長為2的正方體"8C。-44cq中，P在線段8"上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)

正確的有（）

AAP1B.C

B.PDLBC

7t

c.直線與平面48cA所成角的最小值是7

D.尸。+尸。的最小值為2班

【答案】ACD

【分析】證明8c,平面得到A正確；取特殊點(diǎn)排除B；根據(jù)距離的最值得到C正確；確定

PC+PD=PC+PAl24c得至D正確，得到答案.

【詳解】如圖所示：連接DB,BC

451平面BCC/i,qCu平面3CGg,故

B￡上BQ,BC"AD、,故qC，力。，

又因?yàn)?80"A=",故4CJ?平面力町,

又因?yàn)閆Pu平面"8",故"尸_L8。，人正確；

當(dāng)尸與B重合時(shí)，PB^BD,由于。8,8c不垂直，故B錯(cuò)誤;

G到平面48cA的距離為5,°-°,

當(dāng)PC'最大時(shí)，直線PC'與平面A'BCD\所成角度最小，

PG的最大值為8c=2血，

sin0=-j==—0,—O—-

故此處線面所成角的最小值。的正弦值為2J22,L2」，故6,c正確;

PC+PDPC+PA,>AtC=2^當(dāng)4RC三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.若1=（1，°，一1）,不=（°，2，1）,。=（2,肛-1）為共面向量，則機(jī)的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可求解.

【詳解】若"反）為共面向量，

則存在一組唯一的實(shí)數(shù)，使得工=筋+而,

即（2,加,-1）=和,0,-1）+〃（0,2,1）,

A=2A=2

<2從=mIm=2

即=解得l〃=i,

故答案為：2

14.已知數(shù)列"J中，。3=2,%=1,且數(shù)列為+1'為等差數(shù)列，貝lj%=.

7

【答案】與

1_____

J%+1%+1111/u257

d=--------——=—,----=-----+（5—3）4=—=%=一?

【詳解】試題分析：由題意得：7-324牝+1%+1125

【解析】等差數(shù)列通項(xiàng)

15.在棱長為1的正方體'8co-48CA中，。為平面4力34的中心，E為8C的中點(diǎn)，則點(diǎn)

0到直線A'E的距離為.

旦二母

【答案】6##6

【分析】建立空間坐標(biāo)系，求解直線"￡的單位方向向量〉，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(1,0,1),f4,1,0),0(1,

則222,

AE122、—11

乖=（-U，T）"=麗=（一茨,），。4=（0，-及）,

因?yàn)?

-----2

OA.?〃=——

所以3

_西奇率=也

所以點(diǎn)°到直線4"的距離為丫296

故答案為：6.

16.已知點(diǎn)“（2」）,80,4）,C（0,2）,直線/。=后。-1）,若直線/與線段ZB有公共點(diǎn),則■的

最大值為;若直線/與線段8C有公共點(diǎn)，則％的取值范圍是.

［答案］2（-8,-2卜［2,+8）

【分析】直線/表示過點(diǎn)0'°）的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段當(dāng)直線/過點(diǎn)8時(shí)，直

線/與線段相交且斜率最大，求出斜率；作出線段8C,直線/分別過點(diǎn)8和點(diǎn)C時(shí)，為斜率的

臨界值，得到斜率的取值范圍.

【詳解】直線/表示過點(diǎn)°'°)的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段48如圖,

,4左-—0_____

當(dāng)直線/過點(diǎn)8時(shí)，直線/與線段Z5相交且斜率最大，此時(shí)斜率'-3-1

在平面直角坐標(biāo)系中作出線段8c如圖，

k,2-02

直線/過點(diǎn)8時(shí)，斜率占=2,直線/過點(diǎn)c時(shí)，斜率2~0^",所以人的取值范圍為

(-00,-2]U[2,+8)

故答案為：2；(7°L2]U[2,+OO)

四、解答題

17.（1）在等差數(shù)列“J中，邑為其前”項(xiàng)的和，若反=6,$8=20,求兒

（2）在等比數(shù)歹ij中｛4｝，&+a=60,=36,求4和公比q

【答案】（1）72；⑵4=2,4=3或4=-2應(yīng)=-3

【分析】（1）利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算首項(xiàng)和公差，再代入計(jì)算E6：（2）利用等比中項(xiàng)的

性質(zhì)求％,并結(jié)合4+4=60確定"的具體值，再代入等式計(jì)算可求出4,q.

【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列S"｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

4〃[+6d=6,

8q+28d=20

由題意，得

所以56=164+120d=72

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，曬=b；=36.

又與+仇=&a+g2)=60

所以1+/=10,

解得4=±3.

b=殳=2

當(dāng)4=3時(shí)，'q.

4=%=-2

當(dāng)夕=-3時(shí)，q

18.給出下列條件：①焦點(diǎn)在x軸上；②焦點(diǎn)在夕軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)A到其焦點(diǎn)

尸的距離等于2；④拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-2.

（1）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)。的拋物線C：從以上四個(gè)條件中選出兩個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線C的方

程是V=4x,并說明理由；

（2）過點(diǎn)（4°）的任意一條直線/與C：V=4x交于A,8不同兩點(diǎn)，試探究是否總有麗，麗？請(qǐng)

說明理由.

【答案】（I）選擇條件①③;詳見解析（2）總有場(chǎng),赤，證明見解析

【解析】（1）通過焦點(diǎn)位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不

適合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合;

jy2=4x

（2）假設(shè)總有方,麗，設(shè)直線/的方程為x=W+4,聯(lián)立[x=W+4,利用韋達(dá)定理計(jì)算

方?礪可得結(jié)果.

【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€C：V=4x的焦點(diǎn),（1,0）在*軸上，所以條件①適合，條件②不適

合.

又因?yàn)閽佄锞€C：y2=4x的準(zhǔn)線方程為：X=-1,

所以條件④不適合題意，

當(dāng)選擇條件③時(shí)，M=M+1=1+1=2,

此時(shí)適合題意，

故選擇條件①③時(shí)，可得拋物線C的方程是好=4x；

（2）假設(shè)總有方,歷，

由題意得直線/的斜率不為0,

設(shè)直線’的方程為》="+4,

y2=4x

<

由|x=q+4得y2_4伊_]6=0

設(shè)/（七,乂），8包,外）

所以4>0恒成立，乂+為=〃，M%=76,

則為七=（步+4）（叱+4）=/乂%+4/（必+%）+16=_16產(chǎn)+16『+16=16,

所以04-08=再》2+必力=16-16=0,

所以方_L礪，

綜上所述，無論/如何變化，總有方工礪.

【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.如圖，在四棱錐尸-158中，底面/8CZ）為正方形，AB=2,AP=3f直線尸4垂直于平面

ABCD'旦F分別為尸"，的中點(diǎn)，直線/C與3/相交于。點(diǎn).

pt

⑴證明：與CO不垂直；

（2）求二面角B-PC-D^余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

4

⑵13.

【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B、AD、"尸所在直線分別為x、夕、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，計(jì)算得出瓦,而力0,即可證得結(jié)論成立；或利用反證法；

（2）利用空間向量法即求.

【詳解】（1）方法一：如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、4D、4P所在直線分別為x、卜、z軸建立

如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（2,2,0）、￡＞（0,2,0）尸（0,0,3）、4°，°，｛|、F（1,0,0）

設(shè)0（50）,因?yàn)殚e=（14,0）,麗=（-1,2,0）,

因?yàn)镕OHFD,所以一12,得3,即點(diǎn)（33人

2_23A

OE=

3，--3,2jc5=(-2,0,0)

因?yàn)?/p>

_______4

OECD=-^0

所以3

故°￡與。不垂直.

方法二：假設(shè)與CD垂直，又直線4_L平面平面“8CO,

所以而R4與OE相交，

所以CO1平面P/C

又C/u平面PZC,

從而CD上C4

又已知/8C。是正方形，

所以。與C4不垂直，這產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，

即OE與。不垂直得證.

（2）設(shè)平面P8C的法向量為"1=（%，必，4）,又。（0,2,0）,尸（0,0,3）,8（2,0,。），C（2,2,0）

因?yàn)辂?（-2,0,3）,就=（0,2,0）,

BP-m=-2xt+3Z]=0

所以[直同=2%=0,令％=3,得由=（3,0,2）

設(shè)平面PC。的法向量為江=（孫力，Z?）,

\CDn=-2X2=0

因?yàn)辂?（-2,0,0）,歷=（0,2,-3）,所以j蘇?歷=2%-3%=0,

令8=3,得萬=（°，3,2）

因?yàn)樾、椴沸坝?/p>

顯然二面角8-PC-O為鈍二面角，

_4_

所以二面角8-PC-。的余弦值是一百.

20.已知數(shù)列m｝的前n項(xiàng)和S"=2勺-2.

（1）證明｛""｝是等比數(shù)列，并求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

U'.

（2）在%和“向之間插入"個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為“，，的等差數(shù)列，求數(shù)列的前”

項(xiàng)和4.

【答案】（1）證明見解析，%=2”

〃+3

3-----

⑵2"

【分析】（1）利用""=5"一5，1（"*2）及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式;

1

—n=+--\-

（2）先求出通項(xiàng)4，2”,再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】（1）因?yàn)镾"=2a“-2,

當(dāng)〃22時(shí)，=2at]_｝-2,

所以,當(dāng)〃22時(shí),。“=2加，又％=2%-2,解得4=2,

所以｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故%=2”

-2"1〃+1

da=""+1a=乙—=---

(2)因?yàn)?=2",所以?+1-〃+1,4t2“

.111r-1/I、1

T=——+—+…+—=2x—+3x—1+???+(?+l)x—

4%d?22'2"f

510T=2'r齊1+3'r尹1+...+(/〃+i1、)、尹1

—1TT=l]+i—+—1+--+-1--(〃/+lI)、x——1-

所以2”22232"2M+I

_3〃+3

~2~2M+1,

北=3_上也

所以2"

21.某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一

條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離

10米.在建筑物底面中心。的東北方向2。五米的點(diǎn)/處，有一360。全景攝像頭，其安裝高度低

于建筑物的高度.

?A

攝像頭

西輔道東輔道

景熊物光景直道東

西M

（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？

（2）求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.

【答案】（1）不在

（2）17.5米

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出直線方程,

判斷直線48與圓。的位置關(guān)系即可；

（2）攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋，只需求出過點(diǎn)A的直線/與圓O相切時(shí)的直線方程即可.

【詳解】（1）以。為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

則°（0,0）,420,20）,觀景直道所在直線的方程為y=-i°

依題意得：游客所在點(diǎn)為8（-5,0）

y_x+5

則直線AB的方程為20一2075,化簡得4x-5y+20=0,

,|20|204

d=-I----=='=,I—?<4

所以圓心。到直線N8的距離,4?+5?V41,

故直線Z8與圓O相交，

所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).

（2）由圖易知：過點(diǎn)/的直線/與圓。相切或相離時(shí)，攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋,

所以設(shè)直線I過A且恰與圓O相切，

①若直線/垂直于x軸，則/不可能與圓O相切；

②若直線/不垂直于x軸，設(shè)/：'-20=4-20),整理得h_y_20/+20=0

小-204+20|”卜二k-i

所以圓心。到直線/的距離為爐力,解得一1或一§,

34

v-20=-(x-20)y-20=-(x-20)

所以直線/的方程為4或3,

即3x-4y+20=0或4%-3y-20=0,

設(shè)這兩條直線與y=-i°交于。，E

[y=-10Jj=-10

由13x-4y+20=0,解得》=一20,由〔4x-3y-20=0,解得》=一2.5,

所以阿