2022-2023學(xué)年天津市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年天津市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知直線＜v=x-2,￡丫=質(zhì),若〃〃2,則實(shí)數(shù)火=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】?jī)芍本€平行，則斜率相等求解.

【詳解】已知直線＜丫=丫-2,工丫=履，

因?yàn)椤啊?,

所以*=1

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.若圓x2+/_2x+4y+m=0截直線x+y—3=0所得弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)，”的值為（）

A.-1B.-2C.-4D.-31

【答案】C

［分析】先將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，可得圓心為°'一2）,半徑為r='而3＜5）,再求出圓

心到直線距離，根據(jù)弦長(zhǎng)為2萬"=2，即可求得m.

【詳解】由題，由圓的一般方程x2+/-2x+4y+優(yōu)=0可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-l）-+（y+2）-=5-m,

則圓心為（.2）,半徑為"環(huán)（'"5）,

所以圓心到直線距離為

則弦長(zhǎng)為2-彳=2,即5-機(jī)-8=1,所以機(jī)=-4,

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查利用弦長(zhǎng)求參數(shù)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的

轉(zhuǎn)化.

3.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的

太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程.己知大衍數(shù)列｛qJ滿足《=°,

_+"+為奇數(shù)

a"''+為偶數(shù),則4+%=（）

A.12B.20C.28D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得々，的，。4M5,進(jìn)而可得答案.

【詳解】由已知得

〃2=。1+1+1=2

〃3=〃2+2=4

〃4=。3+3+1=8

〃5=。4+4=12

+G=8+12=20

故選：B.

4.與橢圓9/+4V=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2

B.”句x~21IT

。7一+y=1

A.43C.6-D.85

【答案】B

【分析】求出所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出。的值，由已知條件可得出人的值，由此可得出。的值,

進(jìn)而可得出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

二+仁-1

［詳解】橢圓9-+4產(chǎn)=36可化為標(biāo)準(zhǔn)方程Z+0-

」的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為士”）

可知橢圓49

2工2

故可設(shè)所求橢圓方程為7+記一乂則。=石

+x2=1

又2b=2,即6=1,所以/=/>2+°2=6,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為6

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，要注意分析楠圓焦點(diǎn)的位置，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

rxy

5.已知耳、B分別為雙曲線b2-的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，

陽(yáng)用:EM：陽(yáng)M=2:3:4,則雙曲線E的漸近線方程為（）

_，1_.V3

A.y=±2xB.'-"2AC.y=±6xD.1-亍

【答案】C

【解析】由陽(yáng)引：l尸2即：陽(yáng)M=2：3:4,可得忻q=2C,|瑪〃|=3C,國(guó)M=4C,根據(jù)雙曲線的

定義求得c=2。，進(jìn)而得到6=技，即可求得雙曲線的漸近線方程.

￡.工-仁=]

【詳解】由題意，片、鳥分別為雙曲線后一的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)”在E上，

且滿足怩閭:由⑷:陽(yáng)M=2：3：4,可得|伍|=&,內(nèi)叫=3%陽(yáng)M=4C,

由雙曲線的定義可知2"向"H用圖=4C-3C=C,即c=2a,

又由6="2-‘=6”,所以雙曲線的漸近線方程為y=±6\

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率（或范圍），常見

_c

有兩種方法：①求出”，c,代入公式，一）；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于凡“。的齊次式，轉(zhuǎn)

化為“，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得e的值（范圍）.

6.已知等差數(shù)列｛"J,S,是其前〃項(xiàng)和，若兒=%=10,則（）

A.%=2B.%=-2c.$5=18口.$5=一20

【答案】D

【分析】設(shè)數(shù)列｛“"｝的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式列關(guān)于％和"的方程，解

方程求出%和d,再計(jì)算的和Ss即可得正確選項(xiàng).

【詳解】設(shè)數(shù)列何｝的公差為",

10q+^^d=10

a]=-8

由題意可得卜+9"=1°

d=2

，解得

所以“5=4+4d=-8+4x2=°

5x4

S5=5a1+^-J=5x(-8)+I0x2=-20

故選項(xiàng)D正確,

故選：D.

邑二

7.設(shè)S，，是等比數(shù)列."｝的前〃項(xiàng)和，若$3=4,%+牝+4=6,則"（）

319519

A.2B.10C.3D.6

【答案】B

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛“"｝的公比為力求得/的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛"/的公比為"，若q=1,則見+%+6=3%=$3,矛盾.

%(lp)a,q(1-<7)3

%+%+&=—1-------=■―.-------'qS3q=~

所以，力1故"qi-q，則2,

所以，"q2

\-q'/\-q4,

員二些219

因此，$645s310

故選：B.

8.已知等差數(shù)列｛""｝的前〃項(xiàng)和為S",幾＜0,兒＞0,則當(dāng)S取得最小值時(shí)，〃的值為（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可知%即從而可確定當(dāng)S取最小

值時(shí)n的值.

13x2￡

13（a,+a,3）=L=10

【詳解】因?yàn)?2,故％＜0.

_14）+〃）_143+/）Q＞0

同理與一2-2-7（…）＞。，故…

所以例＞0,%＜0,即當(dāng)”=7時(shí)，S"取得最小值.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知拋物線C：/=8）的焦點(diǎn)為尸，°為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物

線C上，且1小=4,則上川+12。1的最小值為（）

A.40B.2萬C.3713D.4m

【答案】B

【分析】求出A點(diǎn)坐標(biāo)，作。關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)必，利用連點(diǎn)之間相對(duì)最短得出為

|P*+|PO|的最小值.

【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為卜=一2,

?/"尸=4,；.A到準(zhǔn)線的距離為4,故A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

把>=2代入拋物線方程可得x=±4.

不妨設(shè)A在第一象限，則"（4,2）,

點(diǎn)。關(guān)于準(zhǔn)線卜=-2的對(duì)稱點(diǎn)為加（°，Y）,連接,

則|POHPM\t于是|+|PO|=|PA\+\PM\>\AM|

故|尸川+1PO|的最小值為1=+6°=2A/13.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

?=1（4>0/>0）

10.已知F是雙曲線C：a-6的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線/與雙曲線。的一條漸近

線垂直，垂足為4且直線/與雙曲線C的左支交于點(diǎn)8,若3尸4=|/明，則雙曲線。的離心率為

（）

554

A.2B.3C.4D.3

【答案】B

【分析】設(shè)C的左焦點(diǎn)為6,連接過片作片。,用于。，根據(jù)已知及雙曲線性質(zhì)有耳。為線

段房的中垂線，結(jié)合雙曲線定義及a/，。關(guān)系得到“，c關(guān)系，即可得離心率.

設(shè)C的左焦點(diǎn)為耳，連接耳8,過耳作與于。,

易知RDHOA,所以。/為△。/尸的中位線，

又圖中雙曲線的漸近線方程為云一q=°

則E=b,??-M=3M=36,阿卜2b,

則。為線段FB的中點(diǎn),所以△明尸為等腰三角形,即闕|=|甲1=2c

又|尸8|=46,|耳8|=46-2a=2c

即c+〃=2b,

:.c+a=2\Jc2-a2,

c_5

得。3.

故選：B.

二、填空題

II.圓C的圓心為⑵T）,且圓C與直線3x-4y-5=°相切，則圓C的方程為.

【答案】（x-2）2+3+1）2=]

【分析】先求圓心到直線/：3x-4y-5=°的距離，再求出半徑，即可由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓的方

程.

【詳解】圓°的圓心為（2,7）,與直線/：3x-4y-5=0相切，

|3x2-4x(-l)-5|

r=d==1

業(yè)+（不

圓心到直線的距離等于半徑，即

二圓C的方程為（X-2）2+3+1）2=1.

故答案為:（*-2）2+3+1）2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

12.若拋物線）；='內(nèi)的準(zhǔn)線與直線x=l間的距離為3,則拋物線的方程為.

【答案］/=-16x或/=8x

【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，再根據(jù)距離列方程求解即可.

m

2X----

【詳解】拋物線y=機(jī)、的準(zhǔn)線為4,

_3-1=3

則4,解得"?=T6或m=8,

故拋物線的方程為V=76x或/=8x

故答案為：/=-16x或/=8x

a7a19

13.等比數(shù)列"J中，處,如是方程/+15+5=0的兩根，貝ij%的值為.

【答案】一石

【分析】由韋達(dá)定理可得為%=5,%+%=-"，易知牝，&i<°,再由等比數(shù)列的性質(zhì)有

%%9=嫉=。5殉，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式判斷%的符號(hào)，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題設(shè)知：牝%=5嗎+%=-11,又包｝為等比數(shù)列，

<0,且。7a"=5,而％3=%夕*<0,

：.《3=一亞，故q-x/5

故答案為：.亞

226

C:j+%=l（a>b>0）—

14.已知橢圓a〃的離心率為2,直線/與橢圓C交于4,B兩點(diǎn),且線段

力8的中點(diǎn)為“（-2,1）,則直線/的斜率為；

【答案】5

【分析】由橢圓離心率和出瓦C關(guān)系可得"力關(guān)系，再由點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)的斜率公式可

得所求值.

e，=口=@

【詳解】由題意可得。N/2,整理可得"=2b,

設(shè)4（玉,凹）,8&,為），

匕2￡=1迂+迂=1

2

則/b下b2,

（?-%）（為+xJ?（X-乂）（乂+%）.0

兩式相減可得/b2

?.?AB的中點(diǎn)為M（-2J）,:-x\+Z=~4,必+%=2,

k=2^=_￡.A1^」X(_2)」

則直線斜率不一/a'“+%42

故答案為：2.

15.已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛"”｝的前"項(xiàng)和為S”，且4=1,S,=S^+(〃N2,weN),則

數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式為.

【答案】。,=2〃-1

【分析】先由題干求出眄｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，并且求得S“=〃2,進(jìn)而寫出數(shù)列

."｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】解：

當(dāng)"22時(shí)，由S'=QS"-i+M),可得7^7=JS”T+M,

即叵一=1

???梃｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.

,y[S^=1+(〃-1)x1=〃

S”=

.?.當(dāng)〃22時(shí)，a-,=/i2-(M-l)2=2n-l

當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立.

故數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式為為=2〃-1.

故答案為：4=2〃-1

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題能力,

屬于中檔題.

S-5-S<一

16.已知等差數(shù)列中，%=9,%=17,記數(shù)列的前"項(xiàng)和為S”,若2向”-10對(duì)任

意的“eN?都成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

'28)

——,+。

【答案】L9)

【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式，令b.=SS”,通過計(jì)算

晨的正負(fù)確定也｝的單調(diào)性，進(jìn)而求出｛4｝的最大項(xiàng)，則可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為4,

fa3=?1+2J=9=1

則1%=%+4d=17,解得,/=4,

則等差數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為=4”3,

M1=1

則數(shù)列1a">的通項(xiàng)公式為&4"-3,

令"=$2"+|-5,,

2+1-2=($2”+3-S,,+|)一($2“+]-S")=+—------

則a2n+3a2n+2"〃+1

111-40/7-31八

=------1------------=-；-----r-7----------r<0

8〃+98〃+54/7+1(8〃+9)(8〃+5)(4〃+1)

即％<4,即也｝為遞減數(shù)列，

=身14

包｝的最大項(xiàng)為145

m1428

—>—m>9一

1045,

-

28

9一

故答案為:一

三、解答題

17.若數(shù)列｛"J的前〃項(xiàng)和為色，且2S“=3a"々GeN),等差數(shù)列｛4｝滿足4=3%,a=%+4

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式：

c=h_

⑵設(shè)“3。，，求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和T”

【答案】(1尸"=3"，4=2〃+1

7；=2--

⑵3”

【分析】（1）利用""=S"-S"T得到數(shù)列｛例｝是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列｛%｝,

再代入數(shù)列也｝滿足的等式可得也｝的通項(xiàng)公式；

（2）利用錯(cuò)位相減法可求和.

【詳解】⑴2s）

又2S?T=3a,i-l（〃22）,

兩式相減得羽=3%-3勺一，

a

，,,3

即4-，故數(shù)列｛""｝是以3為公比的等比數(shù)列，

又當(dāng)〃=1時(shí),2S]=2a]=3a]-1得I*

.,y=3"T

b[=3q=34=〃2+4=3+4=7

9J=2

,等差數(shù)列也｝的公差為3-1~2~,

bn=2/74-1

_2〃+1

(2)由⑴可得C"3",

.3572?-12"+1

?u=§+*+尹+…+亍二+丫，

1?3572"-12”+1

二/=三+?+下+-+丁+*pr

2T32222n+l1c2〃+142〃+4

—/=---1—+…+-------=-+2x

3n332333”3fl+,

上兩式相減得

〃+2

=2-

2丘）。且…,e（〃協(xié)）

18.已知數(shù)列也｝,滿足％=4=1

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

⑵記"心「廉一）（〃'刈求證：…

+1

【答案】（I）"2,b"=n'y，'

⑵證明見解析.

【分析】（1）分別利用累乘法和累加法求通項(xiàng)即可；

_2f11）1

（2）利用裂項(xiàng)相消得到,'+，2+6++,"3U3'i—J,即可證明J+J+G+…+C"<§

加=3卜+斗a攀=%丁

【詳解】（1）根據(jù)I〃）可得”〃，

b"—xZ>,

所以“如b"-2瓦

=n-3"-',

當(dāng)”=1時(shí)，4=1X3"=1,成立，所以“=〃.3",

。向-?！?3"’

所以%=(%-??-1)+(??-1-%-2)+…+(見-4)+4

=3"2+3"T+…+3°+1

-----+1

3-1

3n~'+l

2.

3°+1,3n-1+1

a.=----=1a=--------

當(dāng)”=1時(shí),2，成立，所以n2

（2）由（1）可得

2<11111

所以。+&+G+…77r二+二一二+…+目

=2?__B+!1_)

3{23-1J；

111211

因?yàn)?3〃”一12,所以?23〃323.

19.已知橢圓C：+b-的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)1,離心率為5,點(diǎn)/在橢圓。

上，|力用=2,/耳"鳥=60。，過鳥與坐標(biāo)軸不垂直的直線/與橢圓。交于尸，。兩點(diǎn)，N為線段

尸0的中點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程：

0,-|

⑵已知點(diǎn)18人且求直線/的方程.

【答案】（1）43

（2）3%—2y-3=0x——1=0

【分析】⑴根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)和條件列方程求出。，b,c；

（2）設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求出中點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用,求出

直線/的斜率.

【詳解】⑴］用+1/周=2°,.?.同|=2"2,忸g|=2c,在△4常中,

陽(yáng)用2=|四『+|第八2|尚卜|典|cosq盟,

_c_\

即4c2=22+（2a-2）2-2x2x（2a-2）cos60C=~a=~2

解得.a?-4Q+4=0,/.a=2c==V3

由題意設(shè)/的方程為：，=T）（"*°）,P（"），O（X2，%）,

'22

+=1

<JT（1k2）,2k2k2

聯(lián)立方程|…卜一），得I43J33,

2k2

—+一

43,

13k

+2

_8374Fr4k+24k+3

（4k2-3k

MN4k232k2

13+4〃，3+4公v------7

3+4公,

_14k2+24k+3_1

?■-MN1PQ,：小二,即工一="7，

化筒得「（”3）（21"?！附小饼R丹,

直線/的方程為標(biāo)_2夕-3=0或者x-2y-l=0.

x2V

--+..-1

綜上，橢圓C的方程為：43，直線/的方程為3x-2y-3=°或者x-2y-l=0.

20.已知數(shù)列｛%｝中，％=1,%=2,%+2-4=4（〃€><）,數(shù)列初,｝的前〃項(xiàng)和為，

（1）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

1

bn-

⑵若"52?+5〃，求數(shù)次j達(dá)，｝的前〃項(xiàng)和9；

c1女鼠<8一崇

（3）在（2）的條件下，設(shè)“‘她+2

求證:k=\乙

為奇數(shù)

2〃-2/為偶數(shù)

【答案】（1）

n

⑵4（〃+1）

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列"J的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，分奇偶求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公

式；

（2）先分組求和求得$2"，再利用裂項(xiàng)相消法求得1；