平面幾何的復(fù)數(shù)證法8

平面幾何的復(fù)數(shù)證法8重慶一中高重慶一中高2011級(jí)奧賽平幾講義 第七講 平幾的復(fù)數(shù)證法2C1B2C1B1#,則OB=(ai-c^Xi+c,OB=(ai-c)QQ+c。令BC交y軸于M，且i i iOM=yi(yeR),OM=-yi，貝U—[c1 =r-:——\y.c\ ，解得1 (ai—c)Xi+c—c(—ai—c)(—人i)+c—c——> > i iy=cci\。同理可得BC與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y= 弋\，從而得證。>c—c—Xa *i c—c—Xaii例8.已知單位圓上點(diǎn)P及內(nèi)接正n邊形AA A，⑴求證：Z|PA|2為定i2n ii=i值；⑵求Z|PA|的最小值和最大值；⑶當(dāng)P為任意點(diǎn)時(shí)，求Z|PA曲最小值。ii=i解：⑴設(shè)正n邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別獨(dú)o,ii=i解：⑴設(shè)正n邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別獨(dú)o,ei,￡2,ii=ir,En-1E=卜,2^enJ,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z，且|Z|=i ，則2 2產(chǎn) 22cos—————e^|=|z+1| 2，故當(dāng)點(diǎn)P為AA的中點(diǎn)時(shí)，Z|PA|.工 2 .工 .兀 1n k1—e-in1—dn |1—ein|sin k=12nr ir i-2kZ?en\)-11=n，J取得最大值2csc三。當(dāng)點(diǎn)P與A或A重合時(shí)，Z|PA|取得最小值2cot巴；2n 1n k 2nk=i⑶P不限制在圓上時(shí)，Z|PA|=Z|z-ei予|?|ei心冗|>|Zkk=i k=i k=i當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在圓心處時(shí)取等號(hào)。因此所求最小值為n。

例9?設(shè)A,B,C是AABC的內(nèi)切圓在BC,CA,AB上的切點(diǎn)，求證:111⑴AA,BB,CC共點(diǎn)；⑵求AABC與AABC的面積之比。111111解：⑴以內(nèi)切圓圓心O為原點(diǎn)建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A,B,C,A,B,C所111對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為a,b,c,a,b,例9?設(shè)A,B,C是AABC的內(nèi)切圓在BC,CA,AB上的切點(diǎn)，求證:111⑴AA,BB,CC共點(diǎn)；⑵求AABC與AABC的面積之比。111111解：⑴以內(nèi)切圓圓心O為原點(diǎn)建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A,B,C,A,B,C所111對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為a,b,c,a,b,c，連接OA,OC，則b一11111c=Xci,b-a=一九ai，故11 1 1c?b一r2=九r2i,a-b一r2=一九r2i，相加得6+c)b=2r2，故b=2。同理可c+a112bc 2aba一bb一c得：a=——1-1-,c=—1-1-。因此—1 ?1 b+ca+ba-cb一a11 11 1 1—=一1，從而三線共點(diǎn)；c-b1⑵用面積公式SAABC可得'ABC

SAA1B1C1跡。三．練習(xí)題.求證：在四邊形ABCD中，AB?CD+AD?BC>BD?AC(Ptolemy定理)，.設(shè)ACPH,AMBE,AHBT,BKXM,CKXP都是平行四邊形，求證：ABTE也是平行四邊形。3．凸四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線叫凸四邊形的中

位線。若凸四邊形的兩條中位線的和等于周長(zhǎng)之半，求證：此四邊形是平行四邊形。.自正五邊形AAAAA的中心0作邊心距OB(i=1,2,3,4,5),求證：12345 iS=20B=0。ii=1.邊長(zhǎng)為1000的正方形ABCD所在平面另有一點(diǎn)尸，且PD=10。將P繞A順時(shí)針轉(zhuǎn)900,得到點(diǎn)尸,，稱為P對(duì)A向左轉(zhuǎn)。點(diǎn)P依次對(duì)A,B,C,D,A,B,C,D,向左轉(zhuǎn)，共轉(zhuǎn)11111次到達(dá)。點(diǎn)，求QD的長(zhǎng)。.在四邊形ABCD中，由各邊中點(diǎn)向外作垂線段，其長(zhǎng)為該邊的一半，得到四點(diǎn)P,Q,R,S，求證：PR1QS且PR=QS。.求單位圓內(nèi)接凸〃邊形所有邊及所有對(duì)角線的平方和的最大值，此時(shí)凸〃邊形有什么特點(diǎn)？.已知單位圓上一點(diǎn)P及內(nèi)接正〃邊形；⑶求證：AAA,⑴求證：21PA|4=6n；⑵求證：Ini|AA|=n；⑶求證：12n i 1ii=1 i=22IAA|2=2n2；⑷求11PA|的最大值。iiii=1i,j=1附：習(xí)題解答.如圖，以A為原點(diǎn)，設(shè)B,C,D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為b,c,d。因?yàn)閎(c-d)+d(b—c)=c(b-d),所以Ic(b-d)I<Ib(c-d)I+1d(b-c)I,從而得證。.設(shè)A,B,C,E,H,M,P,T,X,K對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為

a,b,c,e,h,m,p,t,x,k，由ACPH可得a一c=h一p即a+p=c+h。同^可得a+b=m+e,h+1=a+b,k+m=b+x,c+x=k+p，故a+1=b+e即b一a=t一e?？?設(shè)凸四邊形ABCD各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為a,b,c,d，則由題可知I(c+d)-(a+b)l+1(b+c)一(a+d)l=lb一aI+1c—bI+1d一cI+1a一dI,又因I(c+d)—(a+b)I<Ic-bI+1d一aI,I(b+c)—(a+d)I<Ib-aI+1c一dI,所以BC//AD,AB//DC，從而ABCD是平行四邊形。.將各邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)今后S不變，故S?e，?=S，從而S=0。 > .如圖建系，設(shè)A,B,C,D對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)a,b,c,d,則a=500、；2,b=500j2i,c=-500廣,4=-500、⑵點(diǎn)P對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為工，則Iz—dI=10，按題意旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,z,。則z二-，(z-a)+a，TOC\o"1-5"\h\z1 2 1z=-i(z-b)+b,z=-i(z-c)+c,z=-i(z-d)+2 1 3 2 4 3d=z，故z-z，從而QD=Iz-dI=Iz-dI=10。11111 3 3.設(shè)A,B,C,D對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)a,b,c,d，則z-字+=i,z-二d+二i，p2 2R2 2故pR故pR=—+-i。同理可得QS故iQS-PR。得證。.取圓心為原點(diǎn)建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)單位圓內(nèi)接孔邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a,a,,a，則所求和為S--ZIa—aI2--Z(a—a)(a—a)12n 2ij2 ijij1<i,j<n 1<i,j<n1Z(2-a.a-a.a)-n2-IZaI2。當(dāng)且僅當(dāng)Za-0時(shí)，S取得最大值n2，2 ijij i i1<i,j<n i=1 i-1此時(shí)凸n邊形的重心（對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)g-1Za）在圓心處。nii-1.—_ (，點(diǎn)P對(duì)8.設(shè)正n邊形各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為￡0,￡1,￡2,,￡n一1￡，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，且Iz1=1,則⑴Z|PA|4=區(qū)z—￡i|4=ZIz2—2z￡i+￡2i|2=ii=1 i=0 i=0ZQ2一2z￡i+￡2i)(2一2z￡-i+￡-2i>1^(一4z￡-i-4z￡i+z2￡-2i+z2￡2i-^=6ni=0ii=0⑵因?yàn)閆zi=H(z-￡),所以n|AA|二I一I|(1-￡)|=Z1i=