運(yùn)用分類討論思想解決排列組合問題

4444運(yùn)用分類討論思想，解決排列組合問題■河南省新鄉(xiāng)市第一中學(xué)453100吳磊排列組合問題是歷年高考的必考點(diǎn)，求解這類問題往往有多個(gè)不同的思路，若選擇方法得當(dāng)，求解過程簡單，容易讓人接受；否則復(fù)雜難解且易犯“重復(fù)”或“遺漏”等錯(cuò)誤．因此，排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。本文試圖從分類討論思想方法出發(fā)，給出解決這些問題的一個(gè)有效方法，有效避免出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”等錯(cuò)解．一、解決站位問題1、有5名男生，4名女生排成一排，要求甲男生不站在排頭，乙女生不站有排尾，則不同的排法有多少種？解析：將排法分成兩類：一類是甲站在排尾，其余的可全排，有A8種排法；另一類是甲既不排尾又不站在排頭有4種站法，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的7TOC\o"1-5"\h\z可全排，有4?4?A7種排法，故不同的排法共有A8+4.4.A7= 種777 8 7772、（08年遼寧卷）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（） 4巾 ^ 6巾 ^ 8巾 ^ 2巾解析：按題目要求分成兩類解決，①第一道工序安排甲，第四道工序安排丙，安排方案有A2=12；②第一道工序安排乙第四道工序安排甲或丙安排方案有2A2=2444種方案，共計(jì) 種不同的安排方案.故應(yīng)選擇選項(xiàng).二、解決染色問題3．（200年3全國高考題）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？解析：依題意至少要用3種顏色,①當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域與必須同色，區(qū)域必須同色，故有Aj種；②當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域與同色，則區(qū)域與不同色，有A4種；若區(qū)域與同色，則區(qū)域與不同色，有A4種，故用四種顏色時(shí)共有A4種.由加法

原理可知滿足題意的著色方法共有A324 4 =44.如圖，個(gè)扇形區(qū)域、、、、、，現(xiàn)給這個(gè)區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？解析：(1)當(dāng)相間區(qū)域、、、、、著同一種顏色時(shí)，有種著色方法，此時(shí)，、、各有種著色方法，此時(shí)，、、各有種著色方法故有4434343=108種方法．()當(dāng)相間區(qū)域、、著色兩不同的顏色時(shí)，有C2A;種著色方法，此時(shí)、、有34242種著色方法，故共有C2A2434242=432種著色方法34()當(dāng)相間區(qū)域、、著三種不同的顏色時(shí)有A3種著色方法，此時(shí)、、各有種著色方法。此時(shí)共有A3424242=192種方法4故總計(jì)有108+432+1種9方2法=.7325將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解析：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色.若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S再從余下的四種顏色中任選兩種涂、、、四點(diǎn)，此時(shí)只能與、與分別同色，故有C;A：=60種方法；若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn) ，再從余下的四種顏色中任選兩種染與，由于、顏色可以交換，故有A2種染法；再從余4下的兩種顏色中任選一種染、或、，而、與、，而、與、中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有CiA2CiC1=240種方法；5422若恰用五種顏色染色，有A：=120種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+1種2.0=420三、解決“多面手”問題6．現(xiàn)有翻譯8人，其中3人只會(huì)英語，2人只會(huì)日語，還有3人英語、日語都會(huì)，現(xiàn)從這8人中選取3名英語、2名日語翻譯，有多少種不同的選法？解析：按選擇只會(huì)日語的翻譯人數(shù)進(jìn)行分類，若從人中選名日語翻譯，有C2-C3種選法；26若從人中選名日語翻譯，有。?。?。3種選法；235若從人中不選日語翻譯，有C2-C3種選法；34故共有C2-C3C1-C1-C3C2.C3 種不同的方法26235 34四、解決數(shù)字問題7用.，01，2，3，4這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？解析：構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個(gè)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，將0，1，2，3，4按除以3的余數(shù)分成3類，按照取0和不取0分類：取0，從1和4中取一個(gè)數(shù)再取進(jìn)行排列，先填百位4，其余任意排A2，故有2A1A2種；不取，則只能取3從2 2 22和中再任取一類，再取2然后進(jìn)行全排列為2A3，所以共有2AiA22A33 22 3個(gè)三位數(shù).五、解決幾何計(jì)數(shù)問題8．四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）種 ^種 ^種 ^種解析：從個(gè)點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn)有C4種取法，其中點(diǎn)共面的情況有三類。第一10類，取出的個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有4c4種；第二類，取任一條棱上的6個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)