2022年四川高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

2022年四川高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|0WxV^},貝ijAAB=（）

2

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社

區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.（5分）若z=l+i,則應(yīng)+3考=（）

A.4遙B.4&C.2匹D.272

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該

多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.（5分）將函數(shù)/（x）=sin（wx+2L）（3>0）的圖像向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲

32

線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則3的最小值是（）

A.1B.1C.1D.1

6432

6.（5分）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

7.(5分)函數(shù)fG)=(3*-3F)cosx在區(qū)間［-△,，上］的圖像大致為（）

二。2

-f\^|7工

22

B_匹o?Ax

8.（5分）當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)f（x）=Hn%+也?取得最大值-2,則/（2）—（）

x

A.-1B.-Ac.AD.1

22

9.（5分）在長(zhǎng)方體ABC。-AIBICIDI中，已知BiD與平面ABC。和平面A4BB所成的角

均為30°,則（）

A.AB=2AD

B.AB與平面A5iCi￡）所成的角為30°

C.AC=CB\

D.8。與平面BBiCC所成的角為45°

10.（5分）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為

甲甲

S甲和S乙，體積分別為丫甲和V乙.若」S=2,則V一巴=（）

S乙V乙

A.V5B.2近C.V10D.

4

11.（5分）已知橢圓C："=]（4>8>0）的離心率為工，Ai,42分別為C的左、

2,2Q

ab0

右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若布?布=-1,則C的方程為（）

2222

A.Z_+y_=lB.+2—=1

181698

D.JL_+y2=l

2

12.（5分）已知9'”=10,a=10H,-11,6=8'"-9,貝U（）

A.a>O>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>O>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）己知向量2=（"?，3）,b—（1,，*+1）.若a，b，則，W=.

14.（5分）設(shè)點(diǎn)M在直線2r+y-1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在OM上，則OM的

方程為.

22

15.（5分）記雙曲線C：三（a>0,6>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線

2,2

ab

y=2x與。無公共點(diǎn)”的c的一個(gè)值.

16.（5分）已知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，N4OB=120°,A￡>=2,CD=2BD.當(dāng)/取

AB

得最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:

共60分。

17.（12分）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長(zhǎng)途

客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次

數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

附：心=_______n（ad-bc）_________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心人）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

2S

18.(12分)記S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.已知一2+〃=2即+1.

n

(1)證明：｛板｝是等差數(shù)列;

(2)若〃4,at,“9成等比數(shù)列，求為的最小值.

19.(12分)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底

面ABCO是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，△E4B,△FBC,AGCO,均為正

三角形，且它們所在的平面都與平面ABC。垂直.

(1)證明：EF〃平面A2C￡＞；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=『-x,g(x)=，+“，曲線y=/(x)在點(diǎn)(xi,f(xi))處

的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若xi=-1,求a；

(2)求a的取值范圍.

21.(12分)設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。(p,0),過尸的直線交C于

M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MO垂直于x軸時(shí)，|MQ=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,N￡＞與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MMA8的傾斜角分別

為a,p.當(dāng)a-0取得最大值時(shí)，求直線4B的方程.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

=2+t

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為《，飛一'(/為參數(shù))，曲線

y=Vt

，=_2+s

C2的參數(shù)方程為「—一丁'(s為參數(shù)).

y=Ws

(1)寫出。的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cos。

-sin0=O,求C3與。交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C3與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知a,b,c均為正數(shù)，且42+32+402=3,證明：

(1)a+b+2cW3；

(2)若b=2c,則工+2_23.

ac

2022年四川高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={-2,-1,0,1,2},B=*|0Wx<”},則AC1B=（）

2

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：集合A={-2,-1,0,1,2},8={x|0?$},

2

則AnB={0,1,2）.

故選：A.

2.（5分）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽

取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【分析】對(duì)于A,求出講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于B,求出講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對(duì)

分散，講座后問卷答題的正確率相對(duì)集中，進(jìn)行判斷；對(duì)于D,求出講座后問卷答題的

正確率的極差和講座前正確率的極差，由此判斷D

【解答】解：對(duì)于A,講座前問卷答題的正確率從小到大為：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：（70%+75%）/2=72.5%,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：

-L（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）=89.5%>85%,故B正

10

確；

對(duì)于C,由圖形知講座前問卷答題的正確率相對(duì)分散，講座后問卷答題的正確率相對(duì)集

中，

.?.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，講座后問卷答題的正確率的極差為：100%-80%=20%,

講座前正確率的極差為：95%-60%=35%,

.?.講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（5分）若z=l+i,則|反+3引=（）

A.45/5B.4&C.2遙D.272

【分析】先求出技+3^=注尸+3（1-z）=2-2i,由此能求出|iz+3W|.

【解答】解：z=l+i,

二蘢+3^=計(jì)尸+3（1-z）=i-1+3-3z=2-2i,

則|iz+3zl={2。（-2）

故選：D.

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該

多面體的體積為（)

【分析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD-A\B\C\D\,四棱柱的底面

是直角梯形ABC。，AB=4,AD=2,AA\=2,4U_L平面ABC。，由此能求出該多面體

的體積.

【解答】解：由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABC。-All。。，

四棱柱的底面是直角梯形A8C。，如圖，

AB=4,AD=2,AAi—2,AA1_L平面ABCD,

該多面體的體積為:

丫=/（4+2）X2X2=12.

故選:B.

5.（5分）將函數(shù)/'（X）=sin（3X+2L）（3>0）的圖像向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲

32

線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則3的最小值是（）

【分析】由題意，利用函數(shù)、=加而（3x+（p）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),

求得3的最小值.

【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（3X+2L）（3>o）的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得

32

到曲線C,

則C對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin(3X+@2L+2L),

23

YC的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，.?.-3n.+2L=E+2L,kez,

■232

即3=2A+Lkez,

3

則令人=0,可得3的最小值是工，

3

故選：C.

6.(5分)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2

張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

A.AB.Ac.2D.2

5353

【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張”和“抽到的2

張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，有(1,2),(1,3),(1,

4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種取法,

其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,

5),(4,6),共6種情況，

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率P=-L=2；

155

故選：C.

7.(5分)函數(shù)f(x)=(3，-3))co*在區(qū)間［-三，工］的圖像大致為()

22

yf

ik/^\

A.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項(xiàng)即可.

【解答】解：/(x)=(3X-3-X)co",

可知/(-x)=(3-3r)cos(-x)=-(3X-3x)cosx--f(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除8。；

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=(3-31)cosl>0,排除C.

故選：A.

8.(5分)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)f(x)=〃及x+已取得最大值-2,則/(2)=()

X

A.-1B.-AC.AD.1

22

【分析】由己知求得兒再由題意可得/'(1)=0求得”，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函

數(shù)，即可求得/(2).

【解答】解：由題意/(1)—b--2,則f(x)—alnx--,

x

則r(X)=包」_52,

X.2.2

?.?當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得最值，可得x=l也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),

：.f（1）=a+2=0,即a=-2.

?./（x）=「2/2,

2

x

易得函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，

故x=l處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

則/（2）=二2-2+2.=」.

222

故選：B.

9.（5分）在長(zhǎng)方體ABC。-A1B1CQ中，已知81。與平面A8CD和平面44出8所成的角

均為30°,則（）

A.AB=2AD

B.AB與平面A81C1。所成的角為30°

C.AC=CBi

D.8田與平面B81C1C所成的角為45°

【分析】不妨令44=1,可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)，即可

求解.

【解答】解：如圖所示，連接ABi,BD,不妨令A(yù)4i=l,

在長(zhǎng)方體ABC。-AiBiCiDi中，A￡)_L面A4B1B,BBi_L面ABC。，

所以NB1DB和NQB1A分別為B\D與平面ABCD和平面AA\B\B所成的角,

即NBiO8=ND8iA=30°,

所以在RtZ\BD8i中，BB\=AA\=\,BD=V^,B]D=2，

在RtAAOBi中,DBi=2,AD=1,AB[=V^，

所以AB=M，CBI=&，AC=V3，

故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤,

由圖易知,AB在平面ABiCiO上的射影在ABi上,

所以NB1A8為A8與平面所成的角，

BB?Iyfo

在RtAABBi中,sinNB<^>=~TR~=~7^~=~Q~，

1ABjV33

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

則BiD在平面BBiCiC上的射影為B\C,

所以/OBiC為小。與平面B81GC所成的角，

在中，=DC,所以

RtzMJBiCB1C=V2NOBIC=45°,

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

10.（5分）甲、乙兩個(gè)圓鏈的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為

S甲V甲

S甲和S乙，體積分別為V甲和丫乙.若」=2,則」=（）

S乙V乙

A.疾B.2&C.\/7oD.顯弘

4

【分析】設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為ri,n,高

分別為/n,hi,則可求得八=2,n=\,h[=JE,h2=242'進(jìn)而求得體積之比.

【解答】解：如圖,

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑(即圓錐母線)為3,甲、乙

兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為八，n,高分別為出，

則2irri=47T,2m=2TT,解得ri=2,n=\,

由勾股定理可得h[=JE,h2=2V2,

11r2,

V甲

=V10.

1IT2U*

可?！?h2

故選：c.

11.(5分)已知橢圓C：44->—)的離心率qAi,4分別為C的左、

ab6*9

右頂點(diǎn)，8為。的上頂點(diǎn),若西?為=7,則C的方程為()

2222

A.JL_+_X_=1B.A_+2_=l

181698

2

c=iD.A-+)2=l

-442

【分析】首先設(shè)出橢圓方程，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則可得橢圓方程.

22

【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為f?UL方=i(m〉O)，

9m28m2

則A](-3m,0),A2(3m,0),B(0,2&m>

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：

=-22Wl2=1

BAj*BA2(3m,-2V2m)?(3m,-2^2m)=-9m+8m=-r-'?>

22

則橢圓方程為—國1-

98

故選：B.

12.(5分)已知9"'=10,4=10'"-11,6=8'"-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【分析】首先由尹=10得到，”=k)g910,可大致計(jì)算機(jī)的范圍，觀察a,6的形式從而

構(gòu)造函數(shù)/(x)-1(x>l),利用/(x)的單調(diào)性比較/(10)與/(8)大小關(guān)

系即可.

【解答】解：.?.〃z=log910,

,l=logg9<logglO<loggV729=y

,,

構(gòu)造函數(shù)f(x)=/n-X-\(x>1),

f(x)=mx!n1-1,

1

=

令/(x)>0,解得：X>IJ^

1

由上述有可得0<產(chǎn)<1，

故y(x)在(i,+8)單調(diào)遞增，

故/(10)>/(8),又因?yàn)閒(9)=J°g91°_9_i=o，

故a>0>b,

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知向量@=(加，3),b=(1，m+1).若a~Lb，則m=二旦_.

4

【分析】由題意，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形

式的運(yùn)算法則，計(jì)算求得團(tuán)的值.

【解答】解：?.?向量a=(加'3),b=(1，/w+1).a~Lb，

—?—?

a?b=/w+3(m+1)=0,

則m=--,

4

故答案為：——.

4

14.(5分)設(shè)點(diǎn)M在直線2r+y-1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，則OM的

方程為(X-1)2+(y+1)2=5.

【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)"，1-24),根據(jù)半徑相等，求得。的值，可得圓心和半徑，從

而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】解：由點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，可設(shè)M(a,1-2”)，

由于點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，圓的半徑為，(a-3)2+(i-2a-0)2=

V(a-0)+(l_2a-l)

求得。=1,可得半徑為JE，圓心M(1,-1),

故。M的方程為(x-1)*2+(y+1)2=5,

故答案為：(x-1)2+(y+1)2=5.

22

15.(5分)記雙曲線C：三一-2一=1(a>0,人>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線

2,2

ab

y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值2(e￡(1,內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

【分析】求出雙曲線漸近線方程，利用直線y=2x與C無公共點(diǎn)，推出a,6的不等式，

即可得到離心率的范圍.

22

【解答】解：雙曲線C：2_-匚=1(a>0,6>0)的離心率為e,

2,2

ab

雙曲線的漸近線方程為y=土旦c,

a

,222

直線y=2x與C無公共點(diǎn)，可得上W2,即與《4,即

aaa

口]■得1<

滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值可以為：2.

故答案為：2(e€(1,A/幣內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意).

16.(5分)已知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，N4OB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)空■取

AB

得最小值時(shí)，8。=_百

【分析】首先設(shè)出BD,CD,在兩個(gè)三角形中分別表示AC,BC,繼而2￡=

AB

b24x2-4x+412

j2=4——烏丁，從而利用均值不等式取等號(hào)的條件即可.

-x&2x+4x+]+—3—

x+1

【解答】解：設(shè)B￡>=x,CD=2x,

在三角形4CD中，廬=4/+4-2?2x?2?cos60°,可得：廬=4/-4x+4,

在三角形A8Q中，C2=J?+4-2*xe2*cosl20°,可得：c2=x2+2x+4,

2

要使得挺最小，即2一最小，

ABc2

22

b4x，4x+44(X+2X+4)-12X-12x+1

-2=-2------=--------9------------4-12-

cx"+2x+4x"+2x+4X2+2X+4

x+1,12

4-12-

(X+1)2+3=4-

x+F

其中止匕時(shí)%>4-2次，

x+11

當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）2=3時(shí)，即xS-l或*=-質(zhì)-1（舍去），即x=J§-l時(shí)取等號(hào)，

故答案為：Vs-i-

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:

共60分。

17.（12分）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由4和8兩家公司運(yùn)營.為了解這兩家公司長(zhǎng)途

客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次

數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

附：壯=_______n（ad-bc）_________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心女）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)直接計(jì)算即可；

（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)代入公式直接計(jì)算即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）A公司一共調(diào)查了26（）輛車，其中有24（）輛準(zhǔn)點(diǎn)，故A公司準(zhǔn)點(diǎn)的概

率為24。=12；

26013

8公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準(zhǔn)點(diǎn)，故B公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為2犯上；

2408

(2)由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共450輛，未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共50輛，A公司共260輛,

B公司共240輛，

2

.2=500X(240X30-210X20)〉

260X240X450X50

???有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

2S

18.(12分)記品為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.已知一^+〃=2即+1.

n

(1)證明：｛板｝是等差數(shù)列；

(2)若以，ai,09成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【分析】(1)由已知把〃換為〃+1作差可得遞推關(guān)系從而證明，

(2)由。4,a7,a9成等比數(shù)列，求出首項(xiàng)，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式找出如正負(fù)分界點(diǎn)

計(jì)算即可.

【解答】解：⑴證明：由已知有：2s+n2=2na+ri"①，

把〃換成n+b2sttM+(n+1)2=2(n+1)a.+n+l…②，

②-①可得：2〃〃+1=2(〃+1)?！?1-2nan-2/1,

整理得:〃“+1=1,

由等差數(shù)列定義有｛而｝為等差數(shù)列；

(2)由己知有a/=a,?ac，設(shè)等差數(shù)列坳的首項(xiàng)為為由(1)有其公差為1，

749

故(x+6)2=(x+3)(x+8),解得x=-12,故〃i=-12,

所以期=-12+5-1)Xl=n-13,

故可得：V。2V03V…Vm2V0,413=0,6fi4>0,

故S”在〃=12或者〃=13時(shí)取最小值，s,c=s,c=(-12+0)x13二

°12°132Q

故S”的最小值為-78.

19.(12分)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底

面ABC。是邊長(zhǎng)為8(單位：<:機(jī))的正方形，AEAB,△尸BC,AGCD,△4D4均為正

三角形，且它們所在的平面都與平面ABC。垂直.

(1)證明：EF〃平面ABC。；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

【分析】（1）將幾何體補(bǔ)形之后結(jié)合線面平行的判斷定理即可證得題中的結(jié)論;

（2）首先確定幾何體的空間特征，然后結(jié)合相關(guān)的棱長(zhǎng)計(jì)算其體積即可.

【解答】（1）證明：如圖所示，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，

做EEVAB于點(diǎn)E,做FFYBC于點(diǎn)F,

由于底面為正方形，△ABE,aBCF均為等邊三角形，

故等邊三角形的高相等，即

由面面垂直的性質(zhì)可知EE,FF均與底面垂直，

則EE〃F尸，四邊形EE尸尸為平行四邊形，則

由于EF不在平面A8CQ內(nèi)，E/在平面ABCQ內(nèi)，

由線面平行的判斷定理可得EF〃平面ABCD.

(2)解：易知包裝盒的容積為長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積,

其中長(zhǎng)方體的高AA廣EE'=4百，

長(zhǎng)方體的體積％=8X8X4百=256逐cm?，

一個(gè)三棱錐的體積丫？1*(yX4X4)X4^=32產(chǎn)cn?,

則包裝盒的容積為V=Z_44=256正-4X駕乙等依cm3-

20.(12分)已知函數(shù)/(x)-x,g(x)—xi+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(xi,/(xi))處

的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若無1=-1,求

(2)求a的取值范圍.

【分析】(1)先由/(X)上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求

出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)值求出a即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由/(X)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切

線重合表示出m構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得a的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/<x)=3x2-1,/(-1)

=3-1=2,則y=/(x)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2(x+1),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(處g(X2)),g'(x)=2x,貝Ig,(X2)=2x2=2,

解得X2=l,則g(1)=l+a=2+2,解得〃=3；

(2)/(x)=3/-1,則y=/(x)在點(diǎn)(xi,/(xi))處的切線方程為

y-(x；-X])=(3xj-l)(x-X]),整理得y=(3x；-l)x-2x1

設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(x2,g(x2)),g'(x)—2x,則g'(%2)=2x2,則切線方程為

y-(xj+a)=2x2(x-x?A整理得y=2x2X-xg+a，

9

3xf-l=2Xn

3X11^23^_4?332,1,

則\c,整理得a=x；-2x?=(?-5)-20xi"7xi_2xr7xi+i

3_2,a，乙勺、

-2x?=-x2+a2

令h(x)號(hào)X4-2X3-1"X2+，則(x)=9『-6，-3x=3x(3x+l)(X-1),令〃

(x)>0,解得」<x<0或QL

3

令〃(x)<0,解得欠<,或0<x<l,則x變化時(shí)，〃(x),h(x)的變化情況如下表:

x3

X(-8,-當(dāng)1(一，0)0(0,1)1(1,+°°)

0

h'(x)-0+0-0+

h(x)單調(diào)遞減5單調(diào)遞增_1單調(diào)遞減-1單調(diào)遞增

277

則/?(x)的值域?yàn)椋?1,+8),故。的取值范圍為［-1,+8).

21.(12分)設(shè)拋物線C：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)O(p,0),過尸的直線交C于

M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MO垂直于無軸時(shí)，|何用=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MMA2的傾斜角分別

為a,p.當(dāng)a-0取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【分析】(1)由己知求得|M"=J5p,|FD|=-L,則在RtZXMFD中，利用勾股定理得p

2

=2,則C的方程可求；

88

(2)設(shè)M,N,A,B的坐標(biāo)，寫出tana與tanp,再由三點(diǎn)共線可得=

y3=—yl，y4—y之:

由題意可知，直線MN的斜率不為0,設(shè)IMN：x=my+\,聯(lián)立直線方程與拋物線方程，

化為關(guān)于)，的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得戶+*=4〃3yi”=-4,求得tan0

與tana,再由兩角差的正切及基本不等式判斷，從而求得A8的方程.

【解答】解：(1)由題意可知，當(dāng)*=2時(shí)，/=2p2,得可知|MD|=&p,

\FD\=^-.

2

則在Rt△"尸〃中，|FD|2+|DM|2=|FM|2,得號(hào)V+(后p產(chǎn)9,解得p=2.

則C的方程為y2=4x；

(2)設(shè)A/(xi,yi),N(%2,>'2),A(x3,y3),B(x4,y4),

當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，由對(duì)稱性可知，也與x軸垂直,

此時(shí)a=B=~^~f則。"0=6

丫「丫2丫1~24

由(1)可知F(1,0),D(2,0),則tana=k“N=2

xl-x2y2V1+V2

又N、D、8三點(diǎn)共線，則kND=kBD,即二yo——-0=—y.-——O

乂2-2x4-2

y2-0y4-0

22

yy

—2^—-2—45―-2

44

得y2y4=-8,即y4=--

丫2

同理由例、D、A三點(diǎn)共線，得"=-且

丫1

了1丫2

則tan0二丫3~44

x3-x4V3+y4-2卬1+丫2)

由題意可知，直線MN的斜率不為0,設(shè)/“N：x=m)?1,

2一

由.了—4x,得y2_4〃?y_4=0,

x=my+l

y\+y2=4m,y\y2=-4,則tana=f-=A,tanp=-41

4mm-2X4m2m

11

m2m__1

則tan(a-P)tan。-tanB

1+tanCLtanB工能

mm

1o1

?tanCL=—?tanp二k'

m2m

tana與tanp正負(fù)相同,

?兀，c，兀

22

...當(dāng)a-0取得最大值時(shí)，tan（a-0）取得最大值，

當(dāng)m>0