線性代數(shù)第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換演示文稿

線性代數(shù)第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換演示文稿當前第1頁\共有27頁\編于星期二\12點（優(yōu)選）線性代數(shù)第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換當前第2頁\共有27頁\編于星期二\12點一、引例矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算,它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中都可起重要的作用.為引進矩陣的初等變換,先來分析用消元法解線性方程組的例子.當前第3頁\共有27頁\編于星期二\12點

引例求解線性方程組①②③④(1)解①②③2(1)①②③④(B1)當前第4頁\共有27頁\編于星期二\12點②-③③-2①④-3①②③+5②④-3②①②③④(B2)①②③④(B3)當前第5頁\共有27頁\編于星期二\12點①②③④(B4)③④④-2③①-②-③②-③①②③④(B5)當前第6頁\共有27頁\編于星期二\12點量,剩下的x3選為自由未知量,于是解得至此消元結束,且得到(1)的同解方程組(B5),(B5)是方程組(1)的所有同解方程組中最簡單的一個,其中有4個未知量3個有效方程,應有一個自由未知量,由于方程組(B5)呈階梯形,可把每個臺階的第一個未知量(x1，x2，x4)選為非自由未知當前第7頁\共有27頁\編于星期二\12點令x3=k(k為任意實數(shù)),則方程組的解可記作即換:在上述消元過程中,始終把方程組看做一個整體即不是著眼于某一個方程的變形,而是著眼于整個方程組變成另一個方程組.其中用到以下三種變當前第8頁\共有27頁\編于星期二\12點

1)交換方程的次序;2)某一個方程乘以不等于零的常數(shù);3)一個方程加上另一個方程的k

倍.由于這三種變換都是可逆的,因此變換前的方和常數(shù)項進行運算,未知量并未參與運算.因此,若在上述變換過程中,實際上只對方程組的系數(shù)方程組的同解變換.程組與變換后的方程組是同解的,這三種變換都是記當前第9頁\共有27頁\編于星期二\12點那么上述對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣初等變換.述三種同解變換移植到矩陣上,就得到矩陣的三種B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.把方程組的上當前第10頁\共有27頁\編于星期二\12點(第j

行的k倍加到第

i行上,記作ri+krj).

二、初等變換的定義定義1

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(i)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行,記作ri

rj

);(ii)以數(shù)

k

0乘以某一行中的所有元素(第

i行乘以

k,記作

rik);(iii)

把某一行所有元素的

k倍加到另一行對應的元素上去當前第11頁\共有27頁\編于星期二\12點把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱初等變換.當前第12頁\共有27頁\編于星期二\12點三、兩個矩陣的等價關系

1.定義如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B行等價,記作

A~B;r如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B列等價,記作A~B;c如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作

A~B.當前第13頁\共有27頁\編于星期二\12點2.等價關系的性質

(i)反身性

A~A;(ii)對稱性

若A~B,則B~A;

(iii)傳遞性若A~B,B~C,則A~C.數(shù)學中把具有上述三條性質的關系稱為等方程組等價.價,例如兩個線性方程組同解,就稱這兩個線性當前第14頁\共有27頁\編于星期二\12點

四、行階梯形矩陣

t1<t2<···<tr.一個非零元素所在的列號為ti

(i=1,2,···,r),則

(2)

設矩陣有r個非零行,第i

個非零行的第零行(元素全為零的行)的標號;

(1)

非零行(元素不全為零的行)的標號小于行階梯形矩陣:

1.定義

滿足下面兩個條件的矩陣稱為當前第15頁\共有27頁\編于星期二\12點例如

行階梯形矩陣的特點:階梯線下方的元素全為零;每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元.當前第16頁\共有27頁\編于星期二\12點

2.重要結論

定理

每一個矩陣都可以經(jīng)過單純的初等行單擊這里開始陣.例子說明如何用初等行變換化矩陣為行階梯形矩這個定理我們不作證明,下面通過幾個具體的變換化為行階梯形矩陣.當前第17頁\共有27頁\編于星期二\12點

五、行最簡形矩陣和標準形矩陣

定義

一個行階梯形矩陣若滿足

(1)

每個非零行的第一個非零元素為1;

(2)每個非零行的第一個非零元素所在列矩陣.其他位置的元素都為零,則稱這個矩陣為標準形

定義

如果一個矩陣的左上角為單位矩陣,的其他元素全為零,則稱之為行最簡形矩陣.當前第18頁\共有27頁\編于星期二\12點

定理

任何矩陣都可經(jīng)過單純的初等行變單擊這里開始下面我們還是通過例子來說明該定理.換化為標準形矩陣.換化為行最簡形矩陣.任何矩陣都可經(jīng)過初等變當前第19頁\共有27頁\編于星期二\12點從上面的例子可見,任何矩陣經(jīng)單純的初等行一個屬性,即矩陣的秩的概念.一個矩陣的標準形是唯一的,這反映了矩陣的另形矩陣的方法不是唯一的,所得結果也不唯一.但換,則一定能化成標準形矩陣.將矩陣化為行階梯不一定能化成標準形矩陣,如果再使用初等列變變換必能化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣,但當前第20頁\共有27頁\編于星期二\12點利用初等變換,把一個矩陣化為行階梯形矩最簡形矩陣.例可知,要解線性方程組只需把增廣矩陣化為行陣和行最簡形矩陣,是一種很重要的運算.由引當前第21頁\共有27頁\編于星期二\12點六、初等變換的性質矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運算，為探討它的應用，需要研究它的性質，下面介紹它的一個最基本的性質.當前第22頁\共有27頁\編于星期二\12點定理1設A與B為m

n矩陣，那么（i）A~Br的充要條件是存在m

階可逆矩陣P，使PA=B；（ii）A~Bc的充要條件是存在n

階可逆矩陣

Q，使AQ=B；（iii）A~B的充要條件是存在m

階可逆矩陣

P，及n

階可逆矩陣Q，使PAQ=B.為了證明定理1，需引進初等矩陣的知識.當前第23頁\共有27頁\編于星期二\12點定理1把矩陣的初等變換與矩陣的乘法運算聯(lián)系了起來，從而可以依據(jù)矩陣乘法的運算規(guī)律得到初等變換的運算規(guī)律，也可以利用矩陣的初等變換去研究矩陣的乘法.由定理1可得如下推論.推論

方陣A可逆的充要條件是A~E.r當前第24頁\共有27頁\編于星期二\12點七、求逆矩陣的初等變換法表明，如果A~B，r即A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P，使PA=B.那么，如何去求出這個可逆矩陣P呢?由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)~(B,P)，r因此，如果對矩陣(A,E)作初等行變換，那么，當把A變?yōu)锽時，E就變?yōu)镻.當前第25頁\共有27頁\編于星期二\12點特別地，如果B=E，則P=A-1，即(A,E)~(E,A-1)r我們可以采用下列形式求A-1：并排放在一起，組成一個n

2n矩陣(A,E).對矩陣(A,E)作一系列的行初等變換，將其左半部分化為單位矩陣E