線性代數(shù)第四講特征值和特征商量演示文稿

線性代數(shù)第四講特征值和特征商量演示文稿當(dāng)前第1頁\共有51頁\編于星期二\13點（優(yōu)選）線性代數(shù)第四講特征值和特征商量當(dāng)前第2頁\共有51頁\編于星期二\13點4.1方陣的特征值和特征向量當(dāng)前第3頁\共有51頁\編于星期二\13點

引言：用矩陣來分析經(jīng)濟現(xiàn)象和計算經(jīng)濟問題時，經(jīng)常需要討論矩陣的特征值、特征向量。因此，本章將進一步討論方陣的內(nèi)在性質(zhì)，介紹矩陣特征值的有關(guān)理論，討論矩陣在相似意義下化為對角矩陣的問題。加深對矩陣的認識和理解，以便更好地使用矩陣解決線性代數(shù)中的問題。當(dāng)前第4頁\共有51頁\編于星期二\13點非零向量稱為A的對應(yīng)于特征值的特一.矩陣的特征值和特征向量

定義1

設(shè)A是n階矩陣，如果有數(shù)和n成立，則稱數(shù)為矩陣A的特征值(eigenvalue)維非零列向量，使關(guān)系式（1）征向量(eigenvector)。當(dāng)前第5頁\共有51頁\編于星期二\13點注意：3.零矩陣的特征值只能是數(shù)0當(dāng)前第6頁\共有51頁\編于星期二\13點也是A的對應(yīng)于特征值的矩陣A的特征向量的基本性質(zhì)是矩陣A的屬于特征值若向量的特征向量，則性質(zhì)1是非零向量，并且特征向量。當(dāng)前第7頁\共有51頁\編于星期二\13點說明當(dāng)前第8頁\共有51頁\編于星期二\13點也是A的對應(yīng)于特征值的都是矩陣A的屬于若向量特征值的特征向量，且性質(zhì)2則特征向量。當(dāng)前第9頁\共有51頁\編于星期二\13點也是A的對應(yīng)于特征值的特征向量。都是矩陣A是一組數(shù)，且若向量的屬于特征值的特征向量，性質(zhì)3則當(dāng)前第10頁\共有51頁\編于星期二\13點系數(shù)行列式如何求出矩陣A的特征值和特征向量？由表明是n元齊次線性方程組，改寫為的非零解n元齊次線性方程組有非零解當(dāng)前第11頁\共有51頁\編于星期二\13點而是關(guān)于的n次多項式。一定有n個根。（k重根算作k個根），所以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)它當(dāng)前第12頁\共有51頁\編于星期二\13點從一元n次方程n元齊次線性方程組的非零解，就是A的關(guān)于

的特征向量中解出的，便是A的特征值，相應(yīng)的給出如下定義：當(dāng)前第13頁\共有51頁\編于星期二\13點（4）特征方程（5）方程組稱為A的關(guān)于的特征向量（1）稱為A的特征多項式（2）（3）稱為A的特征方程稱為A的特征矩陣的解.稱為A的特征值（特征根）的非零解向量當(dāng)前第14頁\共有51頁\編于星期二\13點求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟（1）求特征方程的全部根，它們就是A的所有特征值。當(dāng)前第15頁\共有51頁\編于星期二\13點（2）對于A的每一個特征值，求解齊次線性方程組設(shè)它的一個基礎(chǔ)解系為則A的關(guān)于的全部特征向量為其中是不全為零的任意數(shù)當(dāng)前第16頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)前第17頁\共有51頁\編于星期二\13點得同解方程組為當(dāng)前第18頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)前第19頁\共有51頁\編于星期二\13點得同解方程組為當(dāng)前第20頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)前第21頁\共有51頁\編于星期二\13點的特征值和特征向量練習(xí)1

求矩陣解當(dāng)前第22頁\共有51頁\編于星期二\13點所以A的特征值為當(dāng)前第23頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)時，解方程組得同解方程組為當(dāng)前第24頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)前第25頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)時，解方程得基礎(chǔ)解系當(dāng)前第26頁\共有51頁\編于星期二\13點當(dāng)前第27頁\共有51頁\編于星期二\13點二.有關(guān)特征值與特征向量幾個重要結(jié)論定理1

方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項式，從而有相同的特征值注意：雖然A與AT有相同的特征值，但特征向量卻不一定相同當(dāng)前第28頁\共有51頁\編于星期二\13點的n個特征值是n階方陣定理2

設(shè)（1）（2）推論n階方陣A可逆A的n個特征值都不為零。當(dāng)前第29頁\共有51頁\編于星期二\13點的特征值，且設(shè)是矩陣A的特征值，仍為則是A的屬于的特征向量.定理3的特征向量.是方陣的屬于當(dāng)前第30頁\共有51頁\編于星期二\13點仍為A*的屬于若方陣A可逆，且的特征向量。則結(jié)論是A-1的特征值，且仍為A-1的屬于是A*的特征值，且的特征向量當(dāng)前第31頁\共有51頁\編于星期二\13點兩個特征值為設(shè)3階方陣例2且，已知A的，求A+I

的行列式。解設(shè)A的第三個特征值為則由定理3知當(dāng)前第32頁\共有51頁\編于星期二\13點即矩陣A+I的特征值為（+1）即分別為當(dāng)前第33頁\共有51頁\編于星期二\13點設(shè)A為3階方陣且已知

練習(xí)2則當(dāng)前第34頁\共有51頁\編于星期二\13點已知解故即，A可逆。的特征值為當(dāng)前第35頁\共有51頁\編于星期二\13點的特征值為即，當(dāng)前第36頁\共有51頁\編于星期二\13點的s個不同的特征值.是n階方陣定理6

設(shè)是A的分別屬于則線性無關(guān)的特征向量，當(dāng)前第37頁\共有51頁\編于星期二\13點的m個互不相同的特征值.是n階方陣定理7

設(shè)是矩陣A的屬于特征值則向量組線性無關(guān)的線性無關(guān)的特征向量，當(dāng)前第38頁\共有51頁\編于星期二\13點定理8設(shè)是矩陣A的k重特征值，則A的屬于的線性無關(guān)的特征向量至多有k個。結(jié)論：（2）一個n階方陣最多有n個線性（1）如果n階矩陣A有n個不同的特征值，則A有n個線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量當(dāng)前第39頁\共有51頁\編于星期二\13點k及特征向量所對應(yīng)的特征值例3設(shè)向量是矩陣的逆矩陣的一個特征向量，試確定常數(shù)當(dāng)前第40頁\共有51頁\編于星期二\13點即

用A左乘上式兩邊，有解設(shè)即得當(dāng)前第41頁\共有51頁\編于星期二\13點得即故當(dāng)前第42頁\共有51頁\編于星期二\13點例4

設(shè)矩陣其行列式|A|=-1，又A的伴隨矩陣有一個特征值，屬于一個特征向量為試確定a,b,c和的值當(dāng)前第43頁\共有51頁\編于星期二\13點解由于屬于特征值的一個特征向量，則用A左乘上式兩邊，有為當(dāng)前第44頁\共有51頁\編于星期二\13點得或解得當(dāng)前第45頁\共有51頁\編于星期二\13點由|A|=-1，并將b=-3,a=c代入|A|中，得求出=1由當(dāng)前第46頁\共有51頁\編于星期二\13點練習(xí)３

設(shè)矩陣已知A有特征值求x的值和Ａ的另一個特征值當(dāng)前第47頁\共有51頁\編于星期二