陜西省西安市西北國(guó)棉四廠子弟中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

陜西省西安市西北國(guó)棉四廠子弟中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線﹣=1的漸近線與圓（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，則r=（）A． B．2 C．3 D．6參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】求出漸近線方程，再求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)此距離和圓的半徑相等，求出r．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±x，即x±y=0，圓心（3，0）到直線的距離d==，∴r=．故選A．2.函數(shù)y=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是A．x=

B．x= C．x=π D．x=參考答案：Cy=sin(2x+)?cos(x﹣)+cos(2x+)?sin(﹣x)=sin(2x+)?cos(﹣x)+cos(2x+)?sin(﹣x)，所以x=π是其一條對(duì)稱軸方程，選C.

3.榫卯是我國(guó)古代工匠極為精巧的發(fā)明，它是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式。榫卯結(jié)構(gòu)中凸出部分叫榫（或叫榫頭），已知某“榫頭”的三視圖如圖所示，則該“榫頭”的體積是()A.36B.45C.54D.63參考答案：C【分析】根據(jù)三視圖還原該幾何體，得到該幾何體為兩個(gè)相同的四棱柱拼接而成，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖還原該幾何體如下:可得，該幾何體可看作兩個(gè)相同的四棱柱拼接而成，且四棱柱底面為直角梯形，由題中數(shù)據(jù)可得，底面的上底為3，下底為6，高為3，四棱柱的高為3.因此，該幾何體的體積為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積問題，熟記棱柱的體積公式即可，屬于?？碱}型.4.若圓的半徑為3，單位向量所在的直線與圓相切于定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為

.參考答案：略5.《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作，書中系統(tǒng)的介紹了等差數(shù)列，同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)。書中有這樣一個(gè)問題，大意為：某女子善于織布，后一天比前一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布尺，一個(gè)月（按30天計(jì)算）總共織布尺，問每天增加的數(shù)量為多少尺？該問題的答案為（

）

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺參考答案：試題分析：此題等價(jià)于在等差數(shù)列中，，，求由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得解得故答案選考點(diǎn)：等差數(shù)列.6.不等式組的解集記為D，有下列四個(gè)命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2

p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3

p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命題是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；二元一次不等式的幾何意義．【專題】不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】作出不等式組的表示的區(qū)域D，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：作出圖形如下：由圖知，區(qū)域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域，p1：區(qū)域D在x+2y≥﹣2區(qū)域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直線x+2y=2的右上方和區(qū)域D重疊的區(qū)域內(nèi)，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正確；p3：由圖知，區(qū)域D有部分在直線x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯(cuò)誤；

p4：x+2y≤﹣1的區(qū)域（左下方的虛線區(qū)域）恒在區(qū)域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯(cuò)誤；綜上所述，p1、p2正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于難題．7.在這三個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）

A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：B8.如右圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時(shí)間變化的可能圖象是

（

）參考答案：B略9.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的是，則①應(yīng)為 A．n≤5

B．n≤6

C．n≤7 D．n≤8參考答案：C略10.函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則有且，解得，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量滿足約束條件，則的最大值是

．參考答案：12.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)F關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為

．參考答案：+=1【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，設(shè)點(diǎn)F（1，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，即a2﹣b2=1，設(shè)點(diǎn)F（1，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即對(duì)稱點(diǎn)為（，）．代入橢圓方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得橢圓的方程為+=1．故答案為：+=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)，以及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z=x+y的最小值為．參考答案：﹣13【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=y=1時(shí)，z=2x+y取得最小值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域：得到如圖的陰影部分，由解得B（﹣11，﹣2）設(shè)z=F（x，y）=x+y，將直線l：z=x+y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值，∴z最小值=F（﹣11，﹣2）=﹣13．故答案為：﹣13【點(diǎn)評(píng)】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，CC1，CD的中點(diǎn)，平面α過點(diǎn)B1且與平面EFG平行，則平面α被該正方體外接球所截得的截面圓的面積為為．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，外接球的半徑為，球心到截面的距離﹣=，可得截面圓的半徑，即可得出結(jié)論．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，外接球的半徑為，球心到截面的距離﹣=，∴截面圓的半徑為=，∴平面α被該正方體外接球所截得的截面圓的面積為．故答案為．15.三名學(xué)生兩位老師站成一排，則老師站在一起的概率為

。

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式三名學(xué)生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起，共有種方法，∴老師站在一起的概率為．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】求出三名學(xué)生兩位老師站成一排，有種方法，老師站在一起的方法，即可求出概率．

16.設(shè)向量、滿足：||=1，||=2，?（）=0，則與的夾角是

．參考答案：60°【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出cosθ的值，即可求出夾角θ的大小．【解答】解：由||=1，||=2，?（）=0，∴﹣?=0，即12﹣1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈，∴與的夾角θ是60°．故答案為：60°．17.已知一個(gè)關(guān)于的二元線性方程組的增廣矩陣是，則=__________.參考答案：6略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的參數(shù)方程：（α為參數(shù)），曲線C上的點(diǎn)M（1，）對(duì)應(yīng)的參數(shù)α=，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)是（，），直線l過點(diǎn)P，且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B．（1）求曲線C的普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）由橢圓參數(shù)方程可得，解得a，b．可得曲線C的參數(shù)方程，化為直角坐標(biāo)方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化為極坐標(biāo)方程．（II）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|?|PB|=﹣t1t2，進(jìn)而得出．【解答】解：（I）由橢圓參數(shù)方程可得，解得a=，b=1．∴曲線C的參數(shù)方程為，其直角坐標(biāo)方程為：，可得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2．（II）點(diǎn)P的極坐標(biāo)是（，）化為直角坐標(biāo)為（0，），直線l的參數(shù)方程為，代入曲線C的方程可得：（1+sin2θ）t2+4sinθt+2=0，∴|PA|?|PB|=﹣t1t2=∈[1，2]19.某市為了宣傳環(huán)保知識(shí)，舉辦了一次“環(huán)保知識(shí)知多少”的問卷調(diào)查活動(dòng)（一人答一份）．現(xiàn)從回收的年齡在20～60歲的問卷中隨機(jī)抽取了n份，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示．組號(hào)年齡分組答對(duì)全卷的人數(shù)答對(duì)全卷的人數(shù)占本組的概率1[20，30）28b2[30，40）270.93[40，50）50.54[50，60]a0.4（1）分別求出a，b，c，n的值；（2）從第3，4組答對(duì)全卷的人中用分層抽樣的方法抽取6人，在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”，記X為第3組被授予“環(huán)保之星”的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)頻率直方分布圖，通過概率的和為1，求出c，求出第3組人數(shù)，然后求解b，a．（2）求出X的取值為0，1，2，以及相應(yīng)的概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）根據(jù)頻率直方分布圖，得（0.010+0.025+c+0.035）×10=1，解得c=0.03．…第3組人數(shù)為5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100．…第1組人數(shù)為100×0.35=35，所以b=28÷35=0.8．…第4組人數(shù)為100×0.35=25，所以a=25×0.4=10．…（2）因?yàn)榈?，4組答對(duì)全卷的人的比為5：10=1：2，所以第3，4組應(yīng)依次抽取2人，4人．…依題意X的取值為0，1，2．…P（X=0）=，…P（X=1）=…P（X=2）=，…所以X的分布列為：X012P所以EX=0×=．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，離散型分布列以及期望，考查計(jì)算能力．20.（本小題滿分13分）從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同。（1）若抽取后又放回，抽3次，①分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；②求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。（2）若抽取后不放回，抽完紅球所需次數(shù)為的分布列及期望。

參考答案：（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為 …………2分

抽全三種顏色的概率

…………4分②～B(3,),

…………6分

（2）的可能取值為2，3，4，5

,,…………8分

，

……