2023年高考第一模擬試題：數(shù)學（北京B卷）（全解全析）

2023年高考數(shù)學第一次模擬考試卷

高三數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求

的一項。

1.已知集合力=[,2-4%-540},8=卜卜，=77^?},則/口8=()

A.{x[l<x<5}B.{x|x>-l}C.{x|l<x<5}D.

【答案】C

【分析】解不等式求出43,再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】x2-4x-540,解得-14x45,

x-120,解得X21,

A={x|-l4x45},8={目x21}、

.,./c8={x|lW5}.

故選:C.

2.已知復(fù)數(shù)z=(-l+3i)-i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)點的坐標為()

A.(1,-3)B.(1,3)C.(―3,—1)D.(T-3)

【答案】C

【分析】求出復(fù)數(shù)z,即可判斷.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=(-l+3i〉i=-3-i,

所以在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)點的坐標為.

故選：C

3.設(shè)a=ln2,=c=3L則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【分析】通過0<ln2<l,所以判斷出0<。<1；又對6=21c=3;進行化簡，得到6=2；=.，

C=3：=9"從而判斷出mb,C的大小關(guān)系.

【詳解】a=ln2,而0<ln2<l,所以0<。<1；

11

又???/）=2^=8%，c=3§=9%

，令f（x）=/，

而函數(shù)“X）在（O,+X）上遞增

/.\<b<c

a<h<c

故選：D

22

4.已知雙曲線方=1（“>0,6>0）的離心率6=指，則其漸近線的方程為（）

萬I

A.y=i2xB.y=±C.y=±—xD.y=±-x

32

【答案】A

【分析】利用雙曲線的離心率和性質(zhì)求解即可.

22

【詳解】因為雙曲線*■一5=1（。>0,6>0）的離心率6=石,

所以由￡=6得5/=/+/,

c2=a2+b2

所以±=2,即漸近線方程為^=±2卬

a

故選：A

5.二項式（爪-金〕的展開式中常數(shù)項為（）

A.40B.-40C.80D.-80

【答案】D

【分析】求出展開式的通項，再令x的指數(shù)等于0,即可得出答案.

【詳解】解：二項式（正-點）的展開式的通項為加

=c(4廣(燈=(-2)*d

令2^=0,則左=3,

6

所以常數(shù)項為（-2）3C；=-80.

故選：D.

6.已知向量a=（1,2）,：=（叫2_切）,若a_L^，貝U|1|=（）

A.y/3B.2^5C.2工D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示得，〃=4,再求向量的模；

【詳解】解：由Z_L5，得”7+4-2機=0,則m=4,即加=（4,-2）

所以|司=142+（-2）2=25

故選：B

7.在平面直角坐標系中，48是直線x+y=〃7上的兩點，且根卻=10.若對于任意點

尸（cose,sin0）（040<2兀），存在4,8使乙“8=90°成立，則"?的最大值為（）

A.3亞B.472C.5&D.6拒

【答案】B

【分析】可得P是圓/+/=1上任意一點，且需存在A,8,使點尸又在以為直徑的圓匕故

只需滿足圓/+/=1匕點到直線x+V=m的最遠距離小于等于5即可求出.

【詳解】設(shè)。（XJ），則X=cos。,"sin。，滿足/+/=1,

則點尸在圓一+/=1上，

乂存在A,B使a4P8=90°成立，則點尸乂在以|/卻為直徑的圓上,

???P是圓產(chǎn)+丁=1上任意一點，A,8是直線x+y=s上的兩點，

則應(yīng)滿足圓/+/=1上點到直線的最遠距離小于等于5,

\m\

原點到直線的距離為7F

考\m\+金，

則只需滿足解得"??[-4近,4碼.

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+g),若/(x+m)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，〃x+”)的圖像關(guān)于y軸對

稱，則|加|+同的最小值為()

717T-3

A.-B.一C.一九D.九

424

【答案】A

【分析】根據(jù)條件列關(guān)系式求〃?，〃，結(jié)合絕對值三角不等式求帆|+時的最小值，可得結(jié)論.

【詳解】因為/(x)=sin(2x+^),所以/(工+加)=$詒(2%+2加+夕)，/(%+?)=sin(2x+2?+^),

因為/(x+m)的圖像關(guān)于坐標原點對稱，〃'+〃)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以26+限勺乃，

2〃+(/)-左2兀+]，Z,左2eZ,

所以“用2,〃=竺之丫，所以網(wǎng)+同2m-〃卜依孚三一?，k、eZ,k2eZ,當且僅當

2“224

加，〃異號或機〃=0時等號成立，所以同+同2?,當且僅當占=也，且掰，〃異號或m〃=0時等

號成立，所以同+|"|的最小值為:，

故選：A.

9.在無窮正項等差數(shù)列｛4｝中，公差為d,則“｛瘋｝是等差數(shù)歹11”是“存在AeN"使得的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】可設(shè)瘋=x〃+y(x,yeR),利用%、，可求得數(shù)列｛%,｝的通項公式，結(jié)合數(shù)

列｛%｝為等差數(shù)列可求得y=0,求出d關(guān)于丹的關(guān)系式，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可

得出合適的選項.

【詳解】若｛四｝是等差數(shù)列，設(shè)瘋=x〃+y(x,yeR),則=彳2/+2呼〃+/,

當〃=1時，a,=x24-2xy+y2,

當"22時，q,=S“一S.i=卜2力2+2號〃+_/)_卜2(加-1)2+29+

=2x2n+2xy-x2,

因為數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，則a,=x2+2xy+/滿足a“=2x2n+2xy-x2,

即+29+/=2x°+2xy-Y,可得y=0,故?！?2工、--,

且"=4,+1-4,=2x?=2%(〃eN*),

所以,“d=2《"n"存在AeN*,使得"=m"，

但“d=2%”樂“存在％wN*,使得d=血”,

因此，“｛瘋｝是等差數(shù)列”是“存在左eN*,使得"=他”的充分而不必要條件.

故選：A.

10.如圖，曲線C為函數(shù)y=sinx(04x4學)的圖象，甲粒子沿曲線C從A點向目的地5點運動，

乙粒子沿曲線C從8點向目的地A點運動.兩個粒子同時出發(fā)，且乙的水平速率為甲的2倍，當其中

一個粒子先到達目的地時，另一個粒子隨之停止運動.在運動過程中，設(shè)甲粒子的坐標為。4”),乙

粒子的坐標為("》),若記=則下列說法中正確的是()

TT

A./("?)在區(qū)間(5,乃)上是增函數(shù)

B./(m)恰有2個零點

C./(“)的最小值為-2

D.八也）的圖象關(guān)于點（二,0）中心對稱

6

【答案】B

［分析］由題意得到/（加）=2sin2m+sinm-\逐項判斷.

【詳解】解：由題意得：?=sinw,v=sin1/=sin-2m=cos2m,

所以/'（加）=〃-v=sinm-cos2m=2sin2in+sinm-1,

0<m<—

2

由，得04旌乎,

04包-2人包4

22

令，=§皿加，則y=2產(chǎn)+f-l,因為，=sin,"在《，萬）上遞減，y=2『+，-1在（0,1）上遞增,

所以/（"?）在區(qū)間（1,左）上是減函數(shù)，故A錯誤:

]7VSTT

令/(w)=2sin2m+sinzw-1=0,sinm=-^sin/?=-1,解得〃?=—或〃2=——,故B正確;

266

與/當］,所以“用）的最小值為T，故C錯誤;

因為y=2*+f-l=2

828

因為y=2產(chǎn)+I=2（f+；Jqje［-￥j,關(guān)于f=-；對稱，是軸對稱圖形,

所以/（"?）不可能關(guān)于點（457r,0）中心對稱，故D錯誤；

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知點尸（，*〃）為拋物線C:/=以上的點，且點尸到拋物線C的焦點F的距離為3,則

【答案】2

【分析】由拋物線的方程求出拋物線的焦點和準線，然后利用拋物線的定義結(jié)合已知條件列方程求

解即可.

【詳解】拋物線C：/=4x的焦點為（1,0）,準線為x=-l,

因為點名〃?,〃）為拋物線C:/=4x上的點，且點P到拋物線C的焦點廠的距離為3,

所以〃7+1=3,得〃7=2,

故答案為：2

12.已知數(shù)列｛““｝是首項為3,公比為4的等比數(shù)列，S“是其前〃項的和，若%&+%=0,則

S3=■

71

【答案】-##2-

33

【分析】根據(jù)題意求出公比利用等比數(shù)列前〃項和公式即可求解.

【詳解】因為數(shù)列｛%｝是首項為3,公比為4的等比數(shù)列，且44+。5=0，

所以a闖Lqa'+qqJO,因為q*O,所以％+1=0,貝=

由等比數(shù)列的前〃項和公式可得：底=」尸'=一產(chǎn)-=：,

i—q13

3

7

故答案為：—.

13.某公園劃船收費標準如下:

船型兩人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小時）90100130

某班16名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，每只租船必須坐滿，租船最低總

費用為元，租船的總費用共有種可能.

【答案】36010

【解析】由題意直接列舉出所有可能即可得解.

【詳解】由題意，當租兩人船時，租金為二x90=720元,

2

當租四人船時’租金為%?！?4。。元,

當租一條兩人船、兩條四人船、一條六人船時，租金為90+100x2+130=420元,

當租兩條兩人船、三條四人船時，租金為90x2+100x3=480元,

當租兩條兩人船、兩條六人船時，租金為90x2+130x2=440元，

當租三條兩人船、一條四人船、一條六人船時，租金為90x3+100+130=500元,

當租四條兩人船、兩條四人船時,租金為90x4+100x2=560元,

當租五條兩人船、?條六人船時，租金為90x5+130=580元,

當租六條兩人船、一條四人船時，租金為90x6+100=640元，

當租一條四人船、兩條六人船時，租金為100+130x2=360元.

所以租船最低總費用為360元，租船的總費用共有10種可能.

故答案為：360；10.

14.如圖，在正方體力BCD—44G2中，E為棱8c的中點.動點尸沿著棱。C從點。向點C移動,

對于下列四個結(jié)論：

①存在點尸，使得P4=PE；

②存在點P,使得平面PA.E1平面BDD百；

③△取田的面積越來越??；

④四面體4尸3也的體積不變.

所有正確的結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【分析】設(shè)正方體棱長為1,DP=x,求出P/：,由尸干=尸尸解得X（04x41）,確定①正

確，由正方體性得出4c■1■平面BBQQ,從而由4G與平面A.PE的位置關(guān)系判斷②，考慮到P到平

面48f的距高為變，從而易判斷④，以。為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱

長為2,設(shè)尸（0,肛0）,（04加42）,由空間向量法求得尸到&E的距離，由距離的變化規(guī)律判斷③.

【詳解】設(shè)正方體棱長為1,DP=x,

由A4_L平面49CQ,ZPu平面45c。得，/尸，同理PC_LEC,、

222222

所以尸42=/42+4。2+。尸2=2+丫2,PE=PC+CCI+C1￡=l+（l-x）+|=^+（l-x）,

由2+，1+(j)2得Xj存在P使得尸4=PE,①正確,

正方體中，由8片，平面48c2，4Gu平面48￡2，則881_L4G，4CJBR,

BB[CB[D、=B],BB[,B\D\u平面BB、DQ,所以4clJL平面BBRD,

若平面PA.E1平面BDDS:則4Gu平面P&E或4G〃平面PA,E,

但當P在C。上移動時，4G與平面尸4E總是相交，②錯；

正方體中，C。//平面4與G2，PeCD,所以「到平面4MC2的距離不變，即P到平面/?E的

距離不變，而△48E面積不變，因此三棱錐尸即四面體4PA￡的體積不變，④正確；

以DA,DC,為X，y,Z軸建立空間直角坐標系，如下圖，

設(shè)正方體棱長為2,則4(2,0,2),￡(1,2,2),設(shè)正0,%,0),(0<m<2),

PE-Jl+(zn-2)2+4=-4m+9，

而=(1,2-機,2),乖=(-1,2,0),麗=氐

c°s<而不>JL*?(T2,0)=產(chǎn),

2

A/5?-4〃？+9y/5-yjm-4陽+9

設(shè)P到直線4E的距離為d,則

d=IPFlsin<PEjfi>=^2-49.J-(「1享產(chǎn)=如褒2Q,

11W+5*

V6JW2-4W+9V5y/5

由二次函數(shù)性質(zhì)知04機42時，、=(加-4『+20遞減，所以d遞減，又4E=并不變，

所以！4尸E的面積為;|4目“遞減，③正確，

故答案為：①③④.

【點睛】方法點睛：建立空間直角坐標系，用空間向量法確定空間的距離和角，用空間向量法研究

空間圖形的位置關(guān)系.

15.已知函數(shù)〃x)=｛普;其中〃后-1.若存在實數(shù)從使得關(guān)于x的方程/(x)=6有

兩個不同的實數(shù)根，則用的取值范圍是.

【答案】［7,2)

【分析】通過分析分段函數(shù)的單調(diào)性可得到1。&(加+2)-2皿+3>0,故令

x

g(x)=log4(x+2)-2+3,x>-l,通過導數(shù)的知識分析g(x)的單調(diào)性即可得到答案

【詳解】當時，/(x)=log4(x+2),是增函數(shù)；

當x>“時，/(切=2*-3,也是增函數(shù)，

所以當點(見1陶(〃，+2))在點("2"-3)上方時，存在實數(shù)6,使直線y=6與曲線y=/(x)有兩個

交點，

即存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的方程/(x)=6有兩個不同的實數(shù)根，

所以bg4(m+2)>2"'-3［I］】log4(，〃+2)-2"'+3>0,

令g(x)=log4(x+2)-2*+3,xN-l,

所以,()舟湎**

因為當xN-1,函數(shù)P=(x+2)ln4單調(diào)遞減'函數(shù)卜=2、單調(diào)遞增,

所以當xN-1時，g'(x)=(x+；)ln4-21n2單調(diào)遞減,

又g'（7）=去一**2^）^-4.n2<0.

所以存在不?-1,2),使得g'(x0)=O,

所以當x?T,x()),g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當xe(xo，??),g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

因為g(-])=bg4l-g+3>0,g(2)=log44-4+3=0,

所以當xw[-l,2)時,g(x)>0,

故機的取值范圍是11,2),

故答案為：[-1,2)

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題13分)

2兀

已知在“8。中，b3=a2b+be2—ac2,C=—.

(1)求4的大?。?/p>

(2)在下列四個條件中選擇一個作為已知，使“IBC存在且唯一確定，并求出8C邊上的中線的長度.

①”呂。周長為2+0；②。=1；③”8C面積為主叵；@c=>/2a

4

【答案】(1)4=5

6

(2)答案見解析

【分析】⑴原式可化為他2+ab)(b_a)=c2(b-。，可得b=a或加+而j2,通過分析即可解得

4兀

(2)由(1)知，4=8=5，C==.根據(jù)正弦定理，可推得〃:6:c=l:l:石.

63

若選①周長為2+行，則。=b=l,c=6然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長;

若選②。=1,可推得b=l,c=A然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長;

若選③ABC面積為地，根據(jù)面積公式可推得°=6=百，c=3,然后根據(jù)余弦定理即可求得中

4

線的長；

若選④c="z，由（1）可推得。=儡，與條件c="z矛盾，即不存在這樣的三角形.

【詳解】（1）由〃=/6+反2一"2可得，b3-a2b=be2-ac2,

即b僅2_/）=/（力—，所以僅2+〃6）（8_4）=c2^b-a）,

所以b-〃=0或〃+ab=（?.

27rjr

當b-a=O,即b=a時，又C=一，所以Z=8=一；

36

^]b2+ab=c2時，

2兀

又C=3~,則由余弦定理知,c2=a2+b2—2abcosC=a2+b2+ab>b2+al^

這與萬+ab=/矛盾,舍去.

所以，

6

由正弦定理可得a:h:c=sinA:sinB:sinC=\:\：y/3，

乂“J6C周長為2+行，所以。=6=1,。=百，則”8。存在且唯?確定.

設(shè)8c中點為。，則CO=!8C=],

22

在A/CD中，有。=生，/C=l,CD=-,

32

由余弦定理可得，AD2AC2+CD2-2AC-CDcosc=12+-2xlx|x^-1j=2,

所以，AD=立；.

2

若選②，即〃=1,由（1）知，4=8=2，C=7~.

則b=l,根據(jù)正弦定理三可得。=竺~=--=0,

sinAsinCsinA1

2

則”8C存在且唯一確定.

設(shè)5c中點為O,則CO=[BC=],

22

在△4CD中，有。=生，AC=1,CD=-t

32

由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=j2-2xlx|x|^-1j=^.

所以，AD=立；.

2

若選③，即“8C面積為邁.由(1)知，A=B=y,C=",則a=6.

463

2

SABC——absinC=—ax^-=,所以々2=3,則。=百，所以b=

"BC2224

根據(jù)正弦定理三nj^c=￡^l￡=--L-=3,

sinAsinCsin42

2

則存在且唯一確定.

設(shè)3c中點為。，則CQ=」6C=Y1,

22

在△ZCD中，有。=?,AC=^3?CD=^~，

32

由余弦定理可得，AD2=AC2+CZ)2-2ACCDcosC=(V3)2一2、百,

所以，AD=Y1L；.

2

若選④c=41a.

由(1)知，A=B=—,C=

63

旦

根據(jù)正弦定理三=，K，可得C=等。=[一=6小

sinAsinCsin%

2

與c=&a矛盾，所以，不存在這樣的“8C.

17.(本小題14分)

如圖，在多面體48COEE中，梯形NOEF與平行四邊形N8C。所在平面互相垂直,

AFHDE,DE1AD,AD1BE,4F=AD=、DE=1,

2

(1)求證：BF〃平面CDE；

(2)求二面角8-E尸-。的余弦值；

(3)判斷線段上是否存在點°,使得平面CD。，平面8￡尸？若存在，求出等的值，若不存在，

DC.

說明理由.

【答案】(1)詳見解析

⑵當

3

(3)存在點。；修=3

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；

(2)證得D4,DB,OE兩兩垂直，從而建立以。點為原點的空間直角坐標系，求得平面。E尸和

平面8所的一個法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；

⑶設(shè)質(zhì)量屁=(0,一九2#(北[0,1]),求得平面8。的法向量為心若平面平面2所，

則玩應(yīng)=0,從而解得；I的值，找到。點的位置.

【詳解】(I)取。E的中點連結(jié)MF,MC,

因為/尸=1￡)￡1,所以力尸=。也，且/尸=。加，

2

所以四邊形尸是平行四邊形，所以0V/N。，且"尸=4。、

又因為4D〃BD,且4D=BC,所以MF"BC、MF=BC,

所以四邊形8c”尸是平行四邊形，所以BF//CM、

因為BFZ平面COE,CMu平面CDE,

所以8尸〃平面C￡>E；

E

（2）因為平面平面NBC。，平面/DET7D平面488=/。，DE1AD,

所以QE工平面/BCD,DBu平面4BCD,則故D4,DB,DE■兩兩垂直，所以以￡M,

DB,OE所在的直線分別為x軸、歹軸和z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則。（0,0,0）,40,0,0）,5（0,1,0）,C（-l,l,0）,￡（0,0,2）,尸（1,0,1）,

所以礪=（0,-1,2）,萬=0,0,-1）,萬=（0,1,0）為平面DEF的一個法向量.

設(shè)平面BEF的一個法向量為m=（x/,z）,

-y+2z=0

由m-BE=0,in-EF=0>得

x-z=0

令z=l,得片=0,2,1).

—>—>

2V6

cos(m,n

所以Ifl=布=丁?

如圖可得二面角8-E尸-。為銳角,

所以二面角3-EE-O的余弦值為邁

3

（3）結(jié)論：線段8E上存在點。，使得平面平面8EF.

證明如下:

設(shè)團=2屁=(0,-42/1)(/1€[0,1]),

所以麗=麗+麗=(0,1-2,22).

設(shè)平面CO0的法向量為萬=(a,b,c),又因為成=(-1,1,0),

_._卜1-仍+2%=0

所以小。0=0,u-DC=O＞即〈入c，

[一〃+6=0

若平面CQ0~L平面8E尸，貝IJ而y=0,即〃+2b+c=0,

解得2=3e[°，1]?所以線段BE上存在點Q,使得平面CDQL平面BEF,

且此時仁=1

18.(本小題13分)

開展中小學生課后服務(wù)，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的重要舉措，是進一步

增強教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生課后服務(wù)工作

順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，現(xiàn)隨機抽取100個學生進

行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假設(shè)用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

(1)從樣本中抽1人，求已知抽到的學生支持方案二的條件下，該學生是女生的概率；

(2)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個數(shù)，求X

的分布列與數(shù)學期望；

(3)在(2)中，丫表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差。(X)與。(y)的大小.(直接寫結(jié)果)

【答案】(書

(2)分布列見解析，￡(-￥)=—

60

(3)D(y)=D(x)

【分析】(1)利用古典概型的概率公式計算即可求解;

(2)根據(jù)題意可得X的可能取值為0,1,2,求出所對應(yīng)的概率，即可列出分布列，利用隨機變量的

期望公式即可求解;

(3)根據(jù)己知條件得出y=2-x,再利用方差的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)依題意支持方案二的學生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率

..357

-25+35-12'

(2)記從方案?中抽取到女生為事件A,從方案二中抽取到女生為事件5,

則「(小就2「⑻二募7

512

則X的可能取值為0、1、2,

中=2)令:噌

所以X的分布列為:

X012

j_3114

P

46060

lix21-1459

所以E(X)=0x++2x—

4606060

(3)依題意可得y=2-X,所以。a)=。(2--)=(-1)2。國)=。&),

即。(y)=z)(x).

19.(本小題15分)

已知橢圓。中心在原點O,焦點在坐標軸上，其離心率為變，一個焦點為尸(0,1).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點F且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓相交于48兩點，直線。8分別與直線y=2相交于

M,N兩點，若NMCW為銳角，求直線/斜率A的取值范圍.

【答案】⑴金=1

2

(2)(-OO,-l)U(一乎，孝)U(l,+8)

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和焦點坐標可求出a,c的值，再利用a,b,c的關(guān)系即可求解出方程;

（2）設(shè)直線/的方程為V=b+1,/區(qū),必）,8（迎,力），根據(jù)題意求出點M,N的坐標，由NMCW為銳角,

可得麗?麗＞0且不平行，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達定理可得上的取值范圍.

【詳解】（1）由題意知：橢圓C的離心率0=￡=交，

a2

因為一個焦點為尸（0,1）,所以C=l,則0=及，

由［2=62+。2可得:b=l,

所以橢圓c的標準方程為/+zi=1.

2

(2)設(shè)直線/的方程為y=h+l,A(x,,yl),B(x2,y2),

y=kx+\

聯(lián)立方程組’2y2,整理可得：（2+/）/+2米-1=0,

%2+—=1

2

—2k—1

則n有占+々=?，研2=.’

由條件可知：直線。4所在直線方程為：N="x,

再

因為直線與直線V=2相交于歷

所以〃（生,2）,同理可得：N（2Z,2）,

必必

則兩二（生,2）,麗=聲,2）

,y2

若NMCW為銳角，則有兩?麗＞0，

所以O(shè)M＞ON=+4=-----——+4=--------------------+4

yty2（村+1）（5+1）kx［x2+k（x1+x2）+1

-1

4x

2+k1

+4

公x「+"?+]

2+/2+公

=上一，則竺一＞0,解得：公＜；或42＞1,

k2-\無2-12

所以-也＜k〈顯或左＞1或攵＜一1,

22

故直線/斜率上的取值范圍為（-OO,-1）U（-［，￥）U（1,+8）.

20.（本小題15分）

已知x=l是函數(shù)〃x)=^-lnx+ln("+2)的一個極值點.

⑴求。值；

(2)判斷，(x)的單調(diào)性;

(3)是否存在實數(shù)m,使得關(guān)于x的不等式f(x)>m的解集為(0,+8)？直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)4=2

(2)函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(3)存在,we(-oo,ln2]

【分析】(I)求導得到導函數(shù)，根據(jù)/'(1)=0計算得到答案.

(2)求導得到/'仁)=；詈，根據(jù)導數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間.

2

(3)先證明ln(l+x)<x,1：1(1+力<力萬工，計算得到/卜)>1112,fi/(x)<-^==+ln2,得到答

1??

,.Inr.、--F1—InX?

【詳解】(l)/(x)=F-hu+ln(or+2),則*川=^_________1?a

]+xV7(1+x)2xG+2

1+l-lnx

1a21

/'⑴=I+-------=——1°=0，解得。=2.

xax+24ci+2

-+l-lnx

12-Inx

+

'1(心)2x2x+2(1+x)2

當xe(O,l)時，/0(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當xe(l,+8)時，/(力<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

故x=l是函數(shù)的極大值點，滿足.

-Inx

(2)/'(x)=

(1+4,

當xe(O,l)時，/心)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當xe(l,+8)時，/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

(3)/(加普一hu+ln(x+l)+E2=皿(2；?+睚+)-,

當x￡(0,+oo),易知ln(x+l)-lnx>0,ln(x+l)>0,故/(x)〉ln2.

故加Kin2,滿足條件.

1y

當xe(O,+<?)時，設(shè)g(x)=ln(l+x)_x,故=_鼠1<0，

故g(x)<g(O)=O,Hpin(l+x)<x,

當xe(O,同時，設(shè)“(x)=ln(I+x)-Q，3)=右一刀￡=卷等,

當xe(O,3)時，/(x)=個導>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當xw(3,+8)時，/(x)=22函數(shù)單調(diào)遞減;

故/?(力工〃(3)=1114-2<0,故ln(l+x)<Jl+x.

(l+J)+ln(x+l)x-

xln—卜Jx+12

/(')=一~〃-------------+ln2<—-----------+In2<-j^=+ln2'

x+1x+1Jx+1

即/(x)可以無限接近ln2.

綜上所述：we(-co,In2].

【點睛】本題考查了根據(jù)極值點求參數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問題，意在考

查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中放縮的思想是解題的關(guān)鍵.

21.(本小題15分)

已知數(shù)列4：&&…q,(N>4)，其中勾，“2,…,"NwZ,S.a}<a2<-<aN.

若數(shù)列％編滿足4=可羔=。*'當i=2,3,…，N—1時'+1或4=的-1，則稱如

~~~為數(shù)列/的“緊數(shù)列

a

%,〃2,…