常州市重點(diǎn)中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

常州市重點(diǎn)中學(xué)2024年高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.62．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．在中，B=60°，，，則AC邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.285．設(shè)函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.76．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.7．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級(jí)的一位數(shù)學(xué)老師制作了一個(gè)如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，且，則（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，那么（）A. B.C. D.10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.11．若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢圓稱(chēng)為“對(duì)偶橢圓”，下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓”的是（）A. B.C. D.12．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中A點(diǎn)，將，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則四面體的外接球表面積為_(kāi)___________.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)為，線段交拋物線于點(diǎn)，則___________.16．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿(mǎn)足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點(diǎn)（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)E，F(xiàn)為與x軸的兩交點(diǎn)，Q是直線上動(dòng)點(diǎn)，直線QE，QF分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)22．（10分）在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【題目詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B2、B【解題分析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【題目詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B3、B【解題分析】根據(jù)正弦定理直接計(jì)算可得答案.【題目詳解】由正弦定理，,得,故選：B.4、C【解題分析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C5、D【解題分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【題目詳解】,故，故選：D.6、D【解題分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【題目詳解】的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D7、C【解題分析】由雙曲線的定義得出中各線段長(zhǎng)（用表示），然后通過(guò)余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【題目詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C8、D【解題分析】依題意以雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點(diǎn)縱坐標(biāo)代入計(jì)算即可求得橫坐標(biāo)得出結(jié)果.【題目詳解】以雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因?yàn)?，所以的縱坐標(biāo)為18.由，得，故.故選：D.9、D【解題分析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【題目詳解】解：由，得，，又，那么故選：D10、D【解題分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】易知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)，，可得，所以，，解得，即點(diǎn)，所以.故選：D.11、A【解題分析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進(jìn)而判斷所給命題的真假【題目詳解】解：因?yàn)闄E圓短的軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：12、C【解題分析】求出圓心坐標(biāo)和直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿(mǎn)足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【題目詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線斜率，寫(xiě)出切線方程，然后可求三角形的面積.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解題分析】由題意在四面體中兩兩垂直，將該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體,則長(zhǎng)方體與四面體的外接球相同，從而可求解.【題目詳解】將直角，，，分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，所以在四面體中兩兩垂直，將該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體,如圖.則長(zhǎng)方體與四面體的外接球相同.長(zhǎng)方體的外接球在其對(duì)角線的中點(diǎn)處.由題意可得，則長(zhǎng)方體的外接球的半徑為所以四面體的外接球表面積為故答案為：15、【解題分析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.【題目詳解】由拋物線的定義結(jié)合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點(diǎn)為，故，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點(diǎn)、，因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相切于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.16、a＞b【解題分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【題目詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問(wèn)1詳解】，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問(wèn)2詳解】，，，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.18、（1），.（2）.【解題分析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問(wèn)2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，則，可得，則，設(shè)與平面所成的角為，又，，所以.20、（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解題分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調(diào)性；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，結(jié)合，得到，進(jìn)而證得.【題目詳解】（1）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.(2)證明：令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，可得，即【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設(shè)，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程求解；（解法2）上同解法1，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線，然后由求解；（解法3）設(shè)，由，，設(shè)：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，得到：求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以軌跡的方程為【小問(wèn)2詳解】（解法1）易知E，F(xiàn)為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，于是：，：，聯(lián)立得，解得或，易得，同理當(dāng)，即時(shí)，：；當(dāng)時(shí)，有，于是：，即綜上直線MN過(guò)定點(diǎn)（解法2）上同解法1，得，，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線，得，即，于是，整理