安徽省定遠縣四中2024年數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

安徽省定遠縣四中2024年數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結論正確的是（）①曲線關于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④2．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前3項和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1893．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.4．如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點，則點到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.5．與向量平行，且經(jīng)過點的直線方程為（）A. B.C. D.6．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.8．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．在平面上有一系列點，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，以點為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.11．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.12．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列的前n項和滿足：，則________14．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.15．如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.16．命題“任意，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點到頂點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點的直線交拋物線于不同的兩點，，為坐標原點，設直線，的斜率分別為，，求的值.18．（12分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項和，已知：.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的值.19．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點在線段上.（1）求證：；（2）若點在上，滿足，點滿足，求實數(shù)使得二面角的余弦值為.20．（12分）已知p：關于x的方程至多有一個實數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的左、右兩個焦點，，離心率，短軸長為21求橢圓的方程；2如圖，點A為橢圓上一動點非長軸端點，的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【題目詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結論正確的是：①②.故選：A2、A【解題分析】分析：設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項的和為列方程，結合等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設等比數(shù)列的公比為，首項為3，前三項的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點睛：本題考查以一個特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和等知識點，屬于簡單題.3、C【解題分析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義結合垂直關系計算作答.【題目詳解】函數(shù)定義域為，求導得，于是得函數(shù)的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C4、A【解題分析】等體積法求解點到平面的距離.【題目詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點E，連接ME，由三線合一得：ME⊥BD，則，故，設到平面MBD的距離是，則，解得：，故點到平面MBD的距離是.故選：A5、A【解題分析】利用點斜式求得直線方程.【題目詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A6、D【解題分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應用等面積法求到直線的距離.【題目詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.7、C【解題分析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C8、B【解題分析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).9、B【解題分析】運用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B10、C【解題分析】根據(jù)兩圓的幾何關系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關系式，通過構造等差數(shù)列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數(shù)列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.11、B【解題分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【題目詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B12、C【解題分析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【題目詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用“當時，；當時，"即可得出.【題目詳解】當時，當時，，不適合上式，數(shù)列的通項公式.故答案為：.14、【解題分析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運用余弦定理可得答案.【題目詳解】解：設BD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O，所以，則∠EOF（或其補角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因為EO=AD=1，F(xiàn)O=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.15、2【解題分析】根據(jù)體積公式直接計算即可.【題目詳解】設正方體邊長為，則，解得.故答案為：16、【解題分析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【題目詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點到頂點的距離為，從而即可求解；（2）當直線的斜率不存在時，不符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達定理及兩點間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線與拋物線僅有一個交點，不符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點，∴，由韋達定理得，∴.18、（1）；（2）或.【解題分析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差及首項即可計算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，因，則，解得，于是得，所以數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結論成立；（2）設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可得出關于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設，由（1）可知且，，因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當點為線段的中點時，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.20、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關于x的方程至多有一個實數(shù)解，∴，解得，∴實數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號不能同時取得，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.21、（1）橢圓的標準方程為（2）面積的最大值為【解題分析】（1）由題意得，再由，標準方程為；（2）①當?shù)男甭什淮嬖跁r，不妨??；②當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，不妨取，故；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，設點到直線的距離因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標準方程為；（2）利用分類與整合思想分當?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時，由舍而不求法求得，再求得點到直線的距離為面積的最大值為.22、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底