理論力學(xué)教學(xué)材料第十一章

理論力學(xué)教學(xué)材料第十一章第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

引言

引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn)動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)問題——達(dá)朗伯原理（動(dòng)靜法）。

達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方法。

達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束反力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動(dòng)應(yīng)力。第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一工程實(shí)際問題第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§11.1慣性力OrvmOmmgFTan是小球給繩子的反力，即是慣性力m力FT就是通常所說的向心力。小球?qū)⒔o繩子以反作用力,反作用力就是小球的慣性力，通常所說的離心力。質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)與其加速度的乘積，方向與加速度的方向相反，它不作用于質(zhì)點(diǎn)本身而作用于施力物體上。第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一sFgFNFmaxzyOmAFN

——約束力；F

——主動(dòng)力；§11.2達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)根據(jù)牛頓定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0Fg

＝－maF+FN

＋Fg

＝0Fg——質(zhì)點(diǎn)的慣性力。

非自由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理

作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力和約束力與假想施加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力，形式上組成平衡力系。一.質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一Fg

＝－maF+FN

＋

Fg＝0應(yīng)用達(dá)朗伯原理求解非自由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)約束力的方法達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)1、分析質(zhì)點(diǎn)所受的主動(dòng)力和約束力；2、分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，確定加速度；3、在質(zhì)點(diǎn)上施加與加速度方向相反的慣性力。非自由質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗貝爾原理的投影形式第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。試求調(diào)速器兩臂的張角α。設(shè)重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長(zhǎng)均為l，桿重可以忽略不計(jì)。例題1第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一方向如圖示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)達(dá)朗伯原理，列出兩投影方程：當(dāng)調(diào)速器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，慣性力（即離心力）F*垂直并通過主軸，其大小為解：如把重錘C簡(jiǎn)化為一質(zhì)點(diǎn)，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出以F1值代入前兩式，可解出由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角α與主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω有關(guān)。利用這個(gè)結(jié)果可以選擇m1

，m2

，l等參數(shù)，使在某一轉(zhuǎn)速ω下，角α為某一值，從而可以求得重錘C的相應(yīng)位置，帶動(dòng)調(diào)節(jié)裝置進(jìn)行調(diào)速。第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一Olθ如圖所示一圓錐擺。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長(zhǎng)l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點(diǎn)O，并與鉛直線成θ=60o角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度v與繩的張力F的大小。例題2第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一取上式在自然軸上的投影式，有：解：OlθntbmgFF*以小球?yàn)檠芯康馁|(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有法向加速度，在質(zhì)點(diǎn)上除作用有重力mg和繩拉力F外，再加上法向慣性力F*，如圖所示。根據(jù)達(dá)朗伯原理，這三力在形式上組成平衡力系，即解得：第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一二.質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFg1Fg2Fgim1mim2質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力系質(zhì)點(diǎn)系的約束力系質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用達(dá)朗伯原理，得到第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題3已知：AB桿的質(zhì)量為m

，長(zhǎng)為l，繞AC軸的角速度為。求：BC繩的張力及A處的約束反力。ACBABxFAxFTmg解：取AB桿為研究對(duì)象dFgFg分析AB桿的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算慣性力FAy第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一ACBABxFAxFTmgdFgFgFAy第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一OxyFgidFTFTOR例題4均質(zhì)薄圓環(huán)，圓心固定。已知：m

，R，。求：輪緣橫截面的張力。解：取上半部分輪緣為研究對(duì)象第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

剛體慣性力系特點(diǎn)

剛體慣性力的分布與剛體的質(zhì)量分布以及剛體上各點(diǎn)的絕對(duì)加速度有關(guān)。Fgi＝－miai

對(duì)于平面問題(或者可以簡(jiǎn)化為平面問題)，剛體的慣性力為面積力，組成平面力系。

對(duì)于一般問題，剛體的慣性力為體積力，組成空間任意力系?！?1.3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

慣性力系的主矢

慣性力系的主矢等于剛體的質(zhì)量與剛體質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。這一簡(jiǎn)化結(jié)果與運(yùn)動(dòng)形式無關(guān)。

慣性力系的主矩－慣性力系的主矩與剛體的運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。aCa1a2anmm2mnm1FgnFg1Fg2FgR1、剛體作平動(dòng)剛體平移時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為通過剛體質(zhì)心的合力。第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(具有質(zhì)量對(duì)稱面)向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化OC慣性力系主矢OCmiMgO慣性力系主矩OMgO第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于對(duì)稱平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。OCMgCOMgO向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化若將剛體慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，則可以將向轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)化的主矢向質(zhì)心平移，同時(shí)加上相應(yīng)的附加力偶。主矢的大小方向不變，作用在質(zhì)心，即主矩則為MgO與的代數(shù)和，即第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一3、剛體作平面運(yùn)動(dòng)(具有質(zhì)量對(duì)稱面)

具有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體作平面運(yùn)動(dòng)，并且運(yùn)動(dòng)平面與質(zhì)量對(duì)稱平面互相平行。對(duì)于這種情形，先將剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)簡(jiǎn)化，得到這一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對(duì)平面慣性力系作向質(zhì)心簡(jiǎn)化。CaCMgC第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題5已知：m,h,,l。求：A、D處約束反力。mgFNFAxFAyFgBDCA解：取AB桿為研究對(duì)象BADah其中：第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中：mgFNFAxFAyFgBDCA第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一CDahbCmgFFg例題6已知：m,h,a,b,f。求：為了安全運(yùn)送貨物，小車的amax。解：取貨箱為研究對(duì)象FNd貨物不滑的條件：F≤fFN，a

≤fg貨物不翻的條件：d≤b/2

，a

≤bg/h為了安全運(yùn)送貨物，應(yīng)取兩者中的小者作為小車的amax。第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題7已知：質(zhì)量為m

、長(zhǎng)為l=2r的均質(zhì)桿

AB,

焊在半徑為r的圓盤上，其角速度為ω，角加速度為α。求：A端的約束反力。OrlAB解：取AB桿為研究對(duì)象FAxFAymgABCOMgOMA（1）分析運(yùn)動(dòng)，向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化，慣性力的主矢和主矩分別為：第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一FAxFAymgABCOMgOMA由達(dá)朗伯原理，有第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一FAxFAymgABCMAMgC（2）將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，其主矢主矩分別為：由達(dá)朗伯原理，有第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一練習(xí)已知,均質(zhì)圓盤均質(zhì)桿純滾動(dòng).

求:F

多大,能使桿B

端剛好離開地面?純滾動(dòng)的條件?解得得解:剛好離開地面時(shí),地面約束力為零.第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一得

解得由第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一ABCMlMAC例題8已知：A物體與輪C的質(zhì)量求：

（1）A

物體上升的加速度；（2）B端的約束反力。均為m，BC桿的質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為l，在輪C上作用一主動(dòng)力偶M。解：（1）取A物體與輪C為研究對(duì)象mgmgFAgMgCFCxFCy其中：第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中：MACmgmgFAgMgCFCxFCy第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一（2）取BC桿為研究對(duì)象BCFCx'FCy'MBFBxFBym1g第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題9已知：兩均質(zhì)且長(zhǎng)度為l直桿自水平位置無初速地釋放。求：兩桿的角加速度和

O、A處的約束反力。解:(1)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象ABOMg1Mg2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12其中第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一BAO12CaABA2CaAaCAaA由加速度基點(diǎn)法有aC所以代入第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)取AB桿為研究對(duì)象Mg2mgFgR2FAyFAxBA2第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

(3)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象Mg1Mg2mgmgFgR2FgR1FOyFOxBAO12第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例題10質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)度分別為l和2l的勻質(zhì)細(xì)桿OA和AB在A點(diǎn)光滑鉸接，OA桿的A端為光滑固定鉸鏈，AB桿的B端放在光滑水平面上。初瞬時(shí)，OA桿水平，AB桿鉛直。由于初位移的微小擾動(dòng)，AB桿的B端無初速地向右滑動(dòng)，試求當(dāng)OA桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，A點(diǎn)處的約束反力。ABO解:(1)

取系統(tǒng)為研究對(duì)象，由動(dòng)能定理得：第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFgRxFAy′FAx′(2)

取OA桿為研究對(duì)象(3)

取AB桿為研究對(duì)象FAyMgC第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一ABC2OAAB21(4)

對(duì)AB桿進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究B點(diǎn)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，研究C點(diǎn)第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(2)

取OA桿為研究對(duì)象(3)

取AB桿為研究對(duì)象FAxOA1ABCFNB22mgFgRyFAy′FAx′FAyMgC第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一解得：FAxOA1FAyFAx′ABCFNB22mgFgRyFgRxFAy′MgC第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§11.4靜平衡與動(dòng)平衡的概念A(yù)BmmFg1Fg1＝Fg2理想狀態(tài)Fg2第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一mmABFg1>Fg2FRAFRBFg2偏心狀態(tài)Fg1由慣性力引起的軸承約束反力FRA、FRB都不等于零，他們稱之為附加動(dòng)反力。第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一ABmmFRBFRA偏角狀態(tài)Fg1Fg2第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一ABmmFRAFRB既偏心又偏角狀態(tài)Fg2Fg1第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§11-4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一解得第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一即:必有通過質(zhì)心的慣性主軸稱為中心慣性主軸因此,避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是:剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸.引起的軸承約束力稱動(dòng)約束力,由稱滿足的軸z為慣性主軸動(dòng)約束力為零的條件為:第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

結(jié)論與討論

引進(jìn)慣性力的概念，將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的二階運(yùn)動(dòng)量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動(dòng)力學(xué)問題——達(dá)朗伯原理(動(dòng)靜法)。

達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題提供了有別于動(dòng)力學(xué)普遍定理的另外一類方法。

達(dá)朗伯原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動(dòng)力學(xué)求解動(dòng)約束力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性