北京市高考專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)部分

2016屆高考專題1、（2015年北京高考）已知函數(shù)f(x)ln1x．1x（Ⅰ）求曲線f(x)在點0,f0處的切線方程；（Ⅱ）求證：當(dāng)xx30,1時，f(x)2x；3（Ⅲ）設(shè)實數(shù)x30,1恒建立，求k的最大值．k使得f(x)kx對x32、（2014年北京高考）已知函數(shù)f(x)xcosxsinx,x[0,]，2（1）求證：f(x)0；sinxb在(0,)上恒建立，求a的最大值與b的最小值.（2）若ax23、（2013年北京高考）設(shè)L為曲線C：ylnx在點(1,0)處的切線．x求L的方程；(2)證明：除切點(1,0)以外，曲線C在直線L的下方．4、（旭日區(qū)2015屆高三一模）已知函數(shù)1）當(dāng)a=?1時，求函數(shù)f(x)的最小值；2）當(dāng)a≤1時，議論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)。5、（東城區(qū)2015屆高三二模）已知函數(shù)f(x)xaex．（Ⅰ）當(dāng)ae2時，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求證：存在實數(shù)x0[3,3]，有f(x0)a.6、（房山區(qū)2015屆高三一模）已知f(x)1ax2xln(1x)，此中a0．2(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點(3,f(3))處切線斜率為0，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的單一區(qū)間；(Ⅲ)若f(x)在0,上的最大值是0，求a的取值范圍．7、（豐臺區(qū)2015屆高三一模）設(shè)函數(shù)f(x)exax，xR．（Ⅰ）當(dāng)a2時，求曲線f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f(x)0；（Ⅲ）當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)在[0,a]上的最大值．8、（海淀區(qū)2015屆高三二模）已知函數(shù)f(x)1lnx.x2（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的零點及單一區(qū)間；（Ⅱ）求證：曲線ylnx存在斜率為6的切線，且切點的縱坐標(biāo)y01.x9、（石景山區(qū)2015屆高三一模）已知函數(shù)f(x)xalnx,g(x)1a(a0)．x(Ⅰ)若a1，求函數(shù)f(x)的極值；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，求函數(shù)h(x)的單一區(qū)間；(Ⅲ)若存在x0[1,e]，使得f(x0)g(x0)建立，求a的取值范圍．10、（西城區(qū)2015屆高三一模）設(shè)n∈N*，函數(shù)，函數(shù)，x∈(0，+∞)，（1）當(dāng)n=1時，寫出函數(shù)y=f(x)?1零點個數(shù)，并說明原因；（2）若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)分別位于直線l:y=1的雙側(cè)，求n的全部可能取值。11、（北京四中2015屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)f(x)ln(2ax1)x322ax(a0).3x（Ⅰ）若x2為f(x)的極值點，務(wù)實數(shù)a的值；（Ⅱ）若yf(x)在3,上為增函數(shù)，務(wù)實數(shù)a的取值范圍.12、（旭日區(qū)2015屆高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)x2,a?R.f(x)=x-a(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間;（Ⅱ）若f(x)在(1,2)上是單一函數(shù)，求a的取值范圍.13、（東城區(qū)示范校2015屆高三上學(xué)期綜合能力測試）已知定義在1,上的函數(shù)fxxlnx2，gxxlnxx。（I）求證：fx存在獨一的零點，且零點屬于（3，4）；（II）若kZ且gxkx1對隨意的x1恒建立，求k的最大值。14、（昌平區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(I)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，務(wù)實數(shù)a的取值范圍．15、（旭日區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）設(shè)函數(shù)f(x)eax,aR．2x1（Ⅰ）當(dāng)

a

3時,

求函數(shù)

f(x)的單一區(qū)間；5（Ⅱ）設(shè)

g(x)

為

f(x)

的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)

x

[1,2e]時，函數(shù)

f(x)

的圖象總在

g(x)

的圖象e的上方，求a的取值范圍．16、（大興區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）已知f(x)ax22(a0).(x1)（Ⅰ）若a1，求f(x)在x1處的切線方程；（Ⅱ）確立函數(shù)f(x)的單一區(qū)間，并指出函數(shù)f(x)能否存在最大值或最小值．參照答案1、分析:（Ⅰ）因為f(x)ln(1x)ln(1x)，所以f'(x)11，f'(0)2．1x1x又因為f(0)0，所以曲線yf(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y2x．（Ⅱ）令g(x)f(x)2(xx3)，3則g'(x)f'(x)2(1x2)2x42．1x因為g'(x)0(0x1)，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單一遞加．所以g(x)g(0)0,x(0,1),即當(dāng)x(0,1)x3時，f(x)2(x)．3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)k2時，f(x)k(xx3)對x(0,1)恒建立．3當(dāng)k2時，令h(x)f(x)k(xx3)，則3h'(x)f'(x)k(1x2)kx4(k2)．1x2所以當(dāng)0x4k2時，h'(x)0，所以h(x)在區(qū)間(0,4k2)上單一遞減．kk當(dāng)0xk2x34時，h(x)h(0)0，即f(x)k(x)．k3所以當(dāng)kx3(0,1)恒建立．2時，令f(x)k(x)并不是對x3綜上可知，k的最大值為2．2、⑴證明：fxcosxxsinxcosxxsinx，x0π時，fx≤0，進(jìn)而fx在0π上單一遞減，22所以fx在0π上的最大值為f00，2所以fx≤f00.法二：令gxsinxx0π，x2則gxcosxx2sinx，由⑴知，gx≤0，x故gx在0π上單一遞減，進(jìn)而gx的最小值為gπ2，22π故a≤2，a的最大值為2.ππb的最小值為1，下邊進(jìn)行證明：hxsinxbx，x0π，則hxcosxb，2當(dāng)b1時，hx≤0，hx在0π上單一遞減，進(jìn)而hxmaxh00，2所以sinxx≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號.進(jìn)而當(dāng)x0π時，sinx1.故b的最小值小于等于1。2x若b1，則hxcosxb0在0π上有獨一解x0，且x0x0時，hx0，2故hx在0x0上單一遞加，此時hxh00,sinxbx0sinx，b與恒建立矛盾，故b≥1x綜上知：b的最小值為1.3、解：(1)設(shè)fxlnx，則fx1lnx.xx2所以f′(1)＝1.所以L的方程為y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點以外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)＞0(x＞0，x≠1)．2x1lnxg(x)知足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.當(dāng)0＜x＜1時，x2－1＜0，lnx＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)單一遞減；當(dāng)x＞1時，x2－1＞0，lnx＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)單一遞加．所以，()＞(1)＝0(x＞0，≠1)．gxgx所以除切點以外，曲線C在直線L的下方．4、5、解：（Ⅰ）當(dāng)ae2時，f(x)xe2x，x[1,3].因為f'(x)1e2x，由f(x)0，x2.則x，f(x)，f(x)關(guān)系以下：x(1,2)2(2,3)f(x)0所以當(dāng)x2時，f(x)有最小值為極小f(x)↘↗值3.5分（Ⅱ）“存在實數(shù)x0[3,3]，有f(x)a”等價于f(x)的最大值大于a.因為f'()1ex，xa所以當(dāng)a0時，x[3,3]，f'(x)0，f(x)在(3,3)上單一遞加，所以f(x)的最大值為f(3)f(0)a.所以當(dāng)a0時命題建立.當(dāng)a0時，由f(x)0得xlna.則xR時，x，f(x)，f(x)關(guān)系以下：（1）當(dāng)ae3時，lna3，f(x)在(3,3)上單一遞減，所以f(x)的最大值f(3)f(0)a.所以當(dāng)ae3時命題建立.（2）當(dāng)e3ae3時，3lna3，所以f(x)在(3,lna)上單一遞減，在(lna,3)上單一遞加.所以f(x)的最大值為f(3)或f(3).且f(3)f(0)a與f(3)f(0)a必有一建立，所以當(dāng)e3ae3時命題建立.（3）當(dāng)0ae3時，lna3，所以f(x)在(3,3)上單一遞加，所以f(x)的最大值為f(3)f(0)a.所以當(dāng)0ae3時命題建立.綜上：對隨意實數(shù)a都存在x[3,3]使f(x)a建立.13分6、解：(Ⅰ)由題意得f′(x)＝－ax2－?a－1?x，x∈(－1，＋∞)，x＋1由f′(3)＝0?a＝13分4．1(Ⅱ)令f′(x)＝0?x1＝0，x2＝a－1，①當(dāng)0<a<1時，x1<x2，f(x)與f′(x)的變化狀況以下表x(－1,0)0(0，1－1)1－1(1－1，＋∞)aaaf′(x)－0＋0－1f(x)]f(0)Zf(a－1)]1∴f(x)的單一遞加區(qū)間是(0，a－1)，1f(x)的單一遞減區(qū)間是(－1,0)和(a－1，＋∞)；②當(dāng)a＝1時，f(x)的單一遞減區(qū)間是(－1，＋∞)；③當(dāng)a>1時，－1<x2<0f(x)與f′(x)的變化狀況以下表x1110(0，＋∞)(－1，－1)－1(－1,0)aaaf′(x)－0＋0－1f(x)]f(a－1)Zf(0)]1∴f(x)的單一遞加區(qū)間是(a－1,0)，1(x)的單一遞減區(qū)間是(－1，a－1)和(0，＋∞)．1綜上，當(dāng)0<a<1時，f(x)的單一遞加區(qū)間是(0，a－1)．1f(x)的單一遞減區(qū)間是(－1,0)，(a－1，＋∞)，1當(dāng)a>1，f(x)的單一遞加區(qū)間是(a－1,0)．1(x)的單一遞減區(qū)間是(－1，a－1)，(0，＋∞)．當(dāng)∞)．

a

＝

1

時，f(x)的

單一遞9分

減區(qū)間為

(

－1，＋(Ⅲ)由(Ⅱ)可知1當(dāng)0<a<1時，f(x)在(0，＋∞)的最大值是f(a－1)，1但f(a－1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合題意，當(dāng)a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上單一遞減，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞)上的最大值為f(0)＝0，切合題意，∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值為0時，a的取值范圍是a≥1．13分7、解：（Ⅰ）當(dāng)a2時，f(x)ex2x，f(0)1，所以f(x)ex2．因為f(0)e021，即切線的斜率為1，所以切線方程為y1(x0)，即xy10．4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)ex2．令f(x)0，則x0ln2．當(dāng)x(,ln2)時，f'(x)0，f(x)在(,ln2)上單一遞減，當(dāng)x(ln2,)時，f'(x)0，f(x)在(ln2,)上單一遞加，所以當(dāng)xln2時，函數(shù)最小值是f(ln2)eln22ln222ln20．命題得證．8分（Ⅲ）因為f(x)exax，所以f(x)exa．令f(x)0，則xlna0．當(dāng)a1時，設(shè)M(a)alna，因為M(a)11a10，aa所以M(a)alna在(1,)上單一遞加，且M(1)1ln11，所以M(a)alna0在(1,)恒建立，即alna．所以當(dāng)x(0,lna)，f(x)0，f(x)在(0,lna)上單一遞減；當(dāng)x(lna,a)，f(x)0，f(x)在(lna,a)上單一遞加．所以f(x)在[0,a]上的最大值等于max{f(0),f(a)}，因為f(0)e0a01，f(a)eaa2，不如設(shè)h(a)f(a)f(0)eaa21(a1)，所以h(a)ea2a．由（Ⅱ）知h(a)ea2a0在(1,)恒建立，所以h(a)f(a)f(0)eaa21在(1,)上單一遞加．又因為h(1)e1121e20，所以h(a)f(a)f(0)eaa210在(1,)恒建立，即f(a)f(0)．

a1

f(x)

[0,a]

f(a)

ea

a2

138f(x)0xe.f(x)e.1(1)x2(1lnx)2x2lnx3f'(x)x(x2)x0.32x33f'(x)0xe2.xf'(x)f(x)f(x)333(0,e2)e2(e2,)f'(x)0f(x)3f(x)(0,e2)3(e2,).6lnx1x1lnx1lnx.g'(x)xf(x).7g(x)x2x2x11f(e)0f(x)(0,e)f()44ln244622x0(1,e)g'(x0)f(x0)6.2x[e,)f(x)0.ylnx(x0,g(x0))6x.101lnx02g'(x0)x02600.lnx16xlnx016x021g(x0)x06x0.x0x01x0,16x03.2x0y0g(x0)1.139f(x)xalnx(0,)1分當(dāng)a1時，f(x)x1．2x分由f(x)0，解得x1.當(dāng)0x1時，f(x)0,f(x)單一遞減；當(dāng)x1時，f(x)0,f(x)單一遞加；所以當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)獲得極小值，極小值為f(1)=1ln11；..4分（Ⅱ）h(x)f(x)g(x)xalnx1a，其定義域為(0,)．x又h(x)x2ax(1a)(x1)[x(1a)]．..6分x2x2由a0可得1a0，在x(0,1a)上h(x)0，在x(1a,)上h(x)0，所以h(x)的遞減區(qū)間為(0,1a)；遞加區(qū)間為(1a,)．..7分（III）若在[1,e]上存在一點x0，使得f(x0)g(x0)建立，即在[1,e]上存在一點x0，使得h(x0)0．即h(x)在[1,e]上的最小值小于零．8分①當(dāng)1ae，即ae1時，由（II）可知h(x)在[1,e]上單一遞減．故h(x)在[1,e]上的最小值為h(e)，1ae21．9分由h(e)ea0，可得a1ee因為e21e1．所以ae21；10e1e1分②當(dāng)11ae，即0ae1時，由（II）可知h(x)在(1,1+a)上單一遞減，在(1a,e)上單一遞加．h(x)在[1,e]上最小值為h(1a)2+aaln(1a)．11分因為0ln(1a)1，所以0aln(1a)a．2+aaln(1a)2，即h(1a)2不知足題意，舍去．12分綜上所述:a(e21,)．13分e110、11、（Ⅰ）解：f(x)2ax22x2ax[2ax2(14a)x(4a22)]1分2ax12ax1因為x=2為f(x)的極值點，所以f(2)02分即2a2a0，解得：a=034a1分又當(dāng)a=0時，f(x)x(x2)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)0,x(2,)時，f(x)0,進(jìn)而x=2為f(x)的極值點建立．6分（Ⅱ）解：∵f(x)在區(qū)間[3，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)x[2ax2(14a)x(4a22)]≥0在區(qū)間[3，+∞)上恒建立．8分2ax1①當(dāng)a=0時，f(x)x(x2)≥0在[3，+∞)上恒建立，所以f(x)在[3，+∞)上為增函數(shù)，故a=0符合題意．9分②當(dāng)a>0時，2ax2(14a)x(4a22)≥0在區(qū)間[3，+∞)上恒建立．令g(x)2ax2(14a)x(4a22)，其對稱軸為114a∵a>0，∴11g(3)≥0即可，1，進(jìn)而g(x)≥0在[3，+∞)上恒建立，只需4a由g(3)4a26a1≥0，解得：313≤a≤31344∵a>0，∴0a≤313．13分4綜上所述，a的取值范圍為[0，313]144分12、(Ⅰ)f(x)的定義域為xxa.￠x(x-2a).f(x)=(x-a)2（1）當(dāng)a=0時，f(x)￠，則x,0，0,時，f(x)為x(x0),f(x)=1增函數(shù)；￠得，x2a或x0，因為此時0a2a，（2）當(dāng)a>0時，由f(x)>0所以x2a時,f(x)為增函數(shù)，x0時，f(x)為增函數(shù)；￠得，0x2a，考慮定義域，當(dāng)0xa，f(x)為減函數(shù)，由f(x)<0x2a時，f(x)為減函數(shù)；￠得，x0或x2a，因為此時2aa0，所以（3）當(dāng)a<0時，由f(x)>0當(dāng)x<2a時，f(x)為增函數(shù)，x0時，f(x)為增函數(shù).￠得，2ax0，考慮定義域，當(dāng)2axa,f(x)為減函數(shù)，由f(x)<0x0時，f(x)為減函數(shù).綜上，當(dāng)a=0時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(-?,0),(0,+?).當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為x?(?,0)，(2a,+?),單一減區(qū)間為(0,a)，(a,2a).當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為x?(?,2a)，(0,+?)單一減區(qū)間為(2a,a)，(a,0)..7分（Ⅱ）解：（1）當(dāng)a0時，由(Ⅰ)可得，f(x)在(1,2)單一增，且x?(1,2)時xa.（2）當(dāng)02a1時，即0a1時，由(Ⅰ)可得，f(x)在(2a,+?)單一增，即2在(1,2)單一增，且x?(1,2)時xa.(3)當(dāng)12a2時，即1a1時，由(Ⅰ)可得，f(x)在(1,2)上不擁有單一性，不2合題意.當(dāng)2a2，即a1時，由(Ⅰ)可得，f(x)在(0,a),(a,2a)為減函數(shù)，同時需注意a1,2，知足這樣的條件時f(x)在(1,2)單一減，所以此時a1或a2.綜上所述，a1或a1或a2.2.14分13、解：（I）fxxlnx2，x1,，則fx110，x故fx在1,上單一遞加，（3分）而f31ln30,f42ln40，所以fx存在獨一的零點x03,4。（6分）（II）由（I）fx存在獨一的零點x0明顯知足：x0lnx020，且當(dāng)x1,x0時，fxfx00；當(dāng)xx0,時，fxfx00，當(dāng)x1時，gxkx1等價于xlnxxk，x1設(shè)hxxlnx1x。x則hxxlnx2fx，故hx與fx同號，所以當(dāng)x1,x0時，x12x21hx0；當(dāng)xx0,時，hx0，所以hx在1,x0上單一遞減，在x0,上單調(diào)遞加，（10分）故hxminx0lnx01x0x01，hx01x0x0x01由題意有khxminx0，又kZ，而x03,4，故k的最大值是3。（13分）14、解：（Ⅰ）當(dāng)a1時，f(x)lnxx2x，定義域是(0,).f'(x)12x1，x由f'(x)0，解得0x1；由f'(x)0，解得x1；所以函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間是0,1，單一遞減區(qū)間是1,.5分f(x)(1,)f'(x)01,f'(x)12a2xa0g(x)2a2x2ax101,x.7①a0g(x)10a0.9②a0g(x)2a2x2ax19a20xa2.4ag(1)0g(1)2a2a10a1或a1a2214a21a4aa0或a4a113a,a1.2f'(x)12a2xa2a2x2ax1(0,).xxa0f(x)lnx(1,)a0.8a0f'(x)02a2x2ax10x11,x2192aaia0f'(x)0x1af(x)1,.af(x)(1,)+11aa1.11iia0f'(x)0x12af(x)1,.2af(x)(1,)11a1.2a2aa11.13或a23x15a3f(x)e5(3x210x3)55(x21)2f(x)03x210x30x1x33f(x)03x210x301x33所以函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為1)，單一減區(qū)間為1．(,),(3,(,3)33..5分（Ⅱ）因為g